“有趣的勾股數(shù)”探究活動(dòng)方案

艾文娟

一、 活動(dòng)的提出

古往今來(lái)，勾股數(shù)被太多的人津津樂(lè)道，可見(jiàn)其神秘性和趣味性. 《周髀算經(jīng)》記載的“勾三股四弦五”中的（3，4，5）就是一組最簡(jiǎn)單的勾股數(shù). 當(dāng)然，勾股數(shù)遠(yuǎn)遠(yuǎn)不止這些，由此足見(jiàn)“有趣的勾股數(shù)”探索的價(jià)值和必要性.

二、 活動(dòng)的目的

（1） 由簡(jiǎn)單的勾股數(shù)發(fā)現(xiàn)其內(nèi)在的規(guī)律，進(jìn)而對(duì)勾股數(shù)計(jì)算公式進(jìn)行證明，增強(qiáng)方程和分類(lèi)討論思想方法的培養(yǎng)和提升；

（2） 利用類(lèi)比思想將平面上的問(wèn)題拓展到空間立體圖形上，初步感受科學(xué)思維的價(jià)值，發(fā)展合情推理能力.

三、 活動(dòng)的過(guò)程

[創(chuàng)設(shè)問(wèn)題]解不定方程x2+y2=z2，寫(xiě)出盡可能多的解.

[活動(dòng)說(shuō)明]呈現(xiàn)勾股數(shù)和方程之間的聯(lián)系，體會(huì)“數(shù)”與“形”的緊密結(jié)合，學(xué)生通過(guò)動(dòng)手嘗試，增強(qiáng)了對(duì)數(shù)的規(guī)律的探究欲望.

[活動(dòng)1]觀察符合要求的勾股數(shù)，嘗試找出勾股數(shù)的基本特征.

（3，4，5） （5，12，13） （6，8，10） （10，24，26）

（7，24，25） （8，15，17）（9，40，41）……

[活動(dòng)說(shuō)明]通過(guò)呈現(xiàn)全班同學(xué)所寫(xiě)出來(lái)的勾股數(shù)，去發(fā)現(xiàn)勾股數(shù)應(yīng)滿足的性質(zhì)和特征，進(jìn)一步提升學(xué)生的分類(lèi)討論能力.

[活動(dòng)2]根據(jù)勾股數(shù)的特點(diǎn)，制造出勾股數(shù)生成器.

（1） 當(dāng)a為奇數(shù)時(shí)，寫(xiě)出數(shù)b和c之間的數(shù)量關(guān)系；若設(shè)a=2n+1，用n表示b和c.（n為正整數(shù)）

（2） 當(dāng)a為偶數(shù)時(shí)，寫(xiě)出數(shù)b和c之間的數(shù)量關(guān)系；若設(shè)a=2n，用n表示b和c.（n≥2，n為正整數(shù)）

[活動(dòng)說(shuō)明]在活動(dòng)1了解a分奇偶性討論的前提條件下，運(yùn)用方程的思想，得到用n表示b和c的代數(shù)式，從而在隨意給出一個(gè)a值的條件下，能快速說(shuō)出b和c的值，讓學(xué)生在探究過(guò)程中體會(huì)成功的樂(lè)趣和發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的奧秘.

[活動(dòng)3]若a=m2-n2，b=2mn，c=m2+n2（m>n，m，n為正整數(shù)），a，b，c是勾股數(shù)嗎？若是請(qǐng)驗(yàn)證，不是請(qǐng)說(shuō)明理由.

[活動(dòng)說(shuō)明]從乘法公式入手，得到這種表達(dá)式是勾股數(shù)，所以任意給出兩個(gè)數(shù)，我們可以通過(guò)這個(gè)生成器得到一組勾股數(shù). 讓學(xué)生體會(huì)創(chuàng)新精神的新鮮和成功.

四、 活動(dòng)創(chuàng)新

四邊形ABCD是矩形，AC為對(duì)角線，則有AB2+BC2=AC2，即AB、BC、CA的數(shù)量關(guān)系符合勾股定理.

ABCD-A1B1C1D1是長(zhǎng)方體，若長(zhǎng)方體的面ABB1A1、面BCC1B1、面ACC1A1的面積分別用α，β，γ表示，則是否有α2+β2=γ2成立？請(qǐng)說(shuō)明理由.

[活動(dòng)說(shuō)明]從平面圖形到立體圖形的變化，告知學(xué)生，在數(shù)學(xué)中，我們常運(yùn)用類(lèi)比方法，從低維向高維發(fā)展，用已有的知識(shí)解決新的問(wèn)題.

五、 活動(dòng)收獲

回顧本次活動(dòng)對(duì)勾股數(shù)深入探究的心路歷程，相信你有滿滿的收獲，勾股數(shù)內(nèi)在的規(guī)律幫助我們辨別一組數(shù)是否勾股數(shù)，可以省去很多復(fù)雜的計(jì)算.

（作者單位：江蘇省鎮(zhèn)江市外國(guó)語(yǔ)學(xué)校）