聚焦難點(diǎn) 逐個(gè)擊破

齊雯逸

本章是“空間與圖形”的最基礎(chǔ)部分，與后續(xù)將學(xué)習(xí)的幾何知識(shí)有著密切的關(guān)系，對(duì)大家的空間觀念的發(fā)展起到一定的作用，是初中階段的重點(diǎn)之一. 下面與同學(xué)們一起解讀以下難點(diǎn).

難點(diǎn)一：常見幾何體的特征

常見考查的是棱柱，n棱柱有兩個(gè)底面，n個(gè)側(cè)面，共（n+2）個(gè)面；3n條棱，n條側(cè)棱；2n個(gè)頂點(diǎn). 棱柱的所有側(cè)棱長(zhǎng)都相等，棱柱的上、下兩個(gè)底面是相同的多邊形，直棱柱的側(cè)面是長(zhǎng)方形. 棱柱的側(cè)面有可能是長(zhǎng)方形，也有可能是平行四邊形.

例1 長(zhǎng)方體由______個(gè)面圍成. 五棱柱有______個(gè)頂點(diǎn)，______條棱，______個(gè)面.

【分析】 長(zhǎng)方體由6個(gè)長(zhǎng)方形組成，所以由6個(gè)面圍成. 五棱柱上、下底面為五邊形，有5條側(cè)棱，5個(gè)側(cè)面，共7個(gè)面，15條棱，10個(gè)頂點(diǎn).

【點(diǎn)評(píng)】 了解各立體圖形的展開圖，分清它們的幾何特征.特別要記住最基本的棱柱和棱錐立體圖形.

難點(diǎn)二：三種圖形變換的特點(diǎn)和判定

圖形的翻折：將平面內(nèi)的一個(gè)圖形沿某條直線對(duì)折，得到一個(gè)與原圖完全相同的圖形，圖形的翻折不改變圖形的形狀與大小，但改變了圖形的位置和方向.

圖形的平移：在平面內(nèi)，將某個(gè)平面圖形沿著一定的方向移動(dòng)（不一定是水平方向和豎直方向，可以是任意方向），圖形的平移與平移的方向、平移的距離有關(guān).

圖形的旋轉(zhuǎn)：將一個(gè)圖形繞一個(gè)定點(diǎn)（或定直線）沿著某個(gè)方向（順時(shí)針或逆時(shí)針）轉(zhuǎn)動(dòng)一定的角度，旋轉(zhuǎn)是圖形的重要變換.

例2 下列圖形中形成過程與其他幾個(gè)不同的是（ ）.

【分析】 A、B、D均可通過旋轉(zhuǎn)得到. 因此選C.

【點(diǎn)評(píng)】 抓住三種變化的不同點(diǎn)進(jìn)行判定.

例3 如圖1，把一張正方形對(duì)折三次后沿虛線剪開，展開后所得圖形是（ ）.

【分析】 由最后的剪法和翻折的性質(zhì)逐一向前推斷形狀. 因此選C.

【點(diǎn)評(píng)】 該類問題最簡(jiǎn)單且不易出錯(cuò)的解決辦法為動(dòng)手操作.

難點(diǎn)三：正方體的表面展開圖的11種情況

如圖2，正方體的表面展開圖有三類共11種情況，第一類是：同一層中最多有四個(gè)正方形，另外兩層，固定一個(gè)不變，變化另一個(gè)的位置；第二類是：同一層中最多有三個(gè)正方形，兩個(gè)正方形在同一層是固定不變的，另一個(gè)正方形的位置有三種情況；第三類是：二面三行，像樓梯，三面二行，兩臺(tái)階.

例4 正方體的平面展開圖可以是下列圖形中的（ ）.

【分析】 學(xué)習(xí)時(shí)對(duì)正方體展開圖進(jìn)行討論，探索得到規(guī)律. 了解有以下幾種形狀的圖形是不能拼出正方體（六面體）的：田字形，大“L”形，“U”字形. 因此選C.

【點(diǎn)評(píng)】 體會(huì)立體圖形與平面圖形轉(zhuǎn)換的過程，必要時(shí)可以通過模型操作感受其可行性.

難點(diǎn)四：從正方體（六面體）展開圖判斷對(duì)面

通過動(dòng)手實(shí)踐探索規(guī)律可得：“目”字兩端是對(duì)面，“Z”字兩端是對(duì)面.

例5 如圖3，當(dāng)右面這個(gè)圖案被折成一個(gè)正方體時(shí)，數(shù)字1對(duì)面的數(shù)字是幾？

【分析】 先確定某一個(gè)數(shù)的位置，以免引起混亂. 想象折疊后的正方體圖形，設(shè)定3處于底面，判斷各個(gè)數(shù)字所在的面的位置. 1的對(duì)面數(shù)字是4.

難點(diǎn)五：正方體的展開與折疊

立體圖形的展開與折疊是經(jīng)?？疾榈闹R(shí)點(diǎn). 審題時(shí)要明確到底是展開的過程還是折疊的過程.

例6 如圖4，右邊的正方體展開得到的圖形是（ ）.

A B C D

【分析】 根據(jù)箭頭的朝向和對(duì)角線的方向，將四個(gè)選項(xiàng)的圖形折疊成立體圖形，只有B選項(xiàng)正確. 該種問題也可以通過具體操作驗(yàn)證.

難點(diǎn)六：立體圖形與平面圖形之間的相互轉(zhuǎn)化

三視圖是本章的重點(diǎn)和難點(diǎn).要學(xué)會(huì)從不同方向觀察幾何體，明確主視圖、左視圖、俯視圖的概念，注意立體圖形與平面圖形之間的相互轉(zhuǎn)化. 從多角度觀察物體到利用三視圖刻畫一個(gè)幾何體，這是蘊(yùn)含著構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，以及如何把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題來處理這樣一種深層次的數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)活動(dòng).

例7 圖5分別是幾個(gè)小立方塊所搭幾何體的俯視圖，小正方形中的數(shù)字表示在該位置小立方塊的個(gè)數(shù). 請(qǐng)分別畫出相應(yīng)幾何體的主視圖和左視圖.

【答案】

例8 請(qǐng)根據(jù)圖中的三視圖，想象物體的形狀，用小立方塊搭出這個(gè)物體，數(shù)一數(shù)有多少個(gè)小立方塊.

【分析】 在俯視圖上標(biāo)注每個(gè)位置可能的正方體數(shù)量，看是否確定且唯一，由此確定總共需要的小正方體數(shù)量.根據(jù)題意，構(gòu)成幾何體所需正方體最多情況如圖6所示，構(gòu)成幾何體所需正方體最少情況如圖7所示：

所以最多需要11個(gè)，最少需要9個(gè)小正方體.

【點(diǎn)評(píng)】 根據(jù)三種視圖，確定搭成幾何體的小正方形體個(gè)數(shù)，一般從俯視圖入手. 口訣為“俯視圖打地基，主視圖瘋狂蓋，左視圖拆違章”.

（作者單位：江蘇省常州市武進(jìn)區(qū)湖塘實(shí)驗(yàn)中學(xué)）