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    選修4-2《矩陣與變換》與《高等代數(shù)》

    2014-12-27 05:25:12
    科技視界 2014年5期

    田 瑩

    (沈陽師范大學,遼寧 沈陽110034)

    1 選修4-2《矩陣與變換》中矩陣的引入

    對于高中生它們對于矩陣沒有接觸過,是一個新的概念,非常的陌生。

    其引入過程如下:設直線l在平面α內,那么對與平面α內任意一點p,都存在平面α內唯一一點p',使p'與p關于直線l對稱,我們稱這樣的對稱關系為平面α關于直線l的反射變換。進一步,如果在平面α內建立直角坐標系xoy,那么平面內的點與有序實數(shù)對(x,y)之間就建立了一一對應。這樣,我們又可以從代數(shù)的角度來研究反射變換,例如,關于x軸的反射變換,把平面α內的任意點p(x,y)變成它關于x軸的對稱點,p'(x',y'),對于坐標p(x,y)與p'(x',y')可以得到:

    顯然,表達式①完全刻畫了關于x軸的反射變換,因此,也稱①為關于x軸的反射變換。

    我們將反射變換①變形為:

    由于②式由右端式子中x,y系數(shù)唯一確定,我們把它們按原來的順序寫出來,并在兩端分別加上一個括號,就得到正方形數(shù)表,正方形數(shù)表也完全刻畫了關于x軸的反射變換,我們把這種正方形數(shù)表稱為二階矩陣,這樣關于x軸的反射變換就可以有二階矩陣完全確定。事實上,在平面直角坐標系xoy內,很多兒何變換都具有下列形式:

    其中系數(shù)a,b,c,d均為常數(shù),我們把形如③的兒何變換叫做線性變換,③式叫做這個線性變換的坐標變換公式。我們引進正方形數(shù)表],那么線性變換③可以由唯一確定。像這樣,由4個數(shù)a,b,c,d排成的正方形數(shù)表]稱為二階矩陣。

    2 《高等代數(shù)》中矩陣的引入

    《高等代數(shù)》由多項式、行列式、線性方程組、矩陣、二次型、線性空間、λ-矩陣、歐幾里得空間、雙線性函數(shù)與辛空間十個章節(jié)組成,是中學代數(shù)的繼續(xù)和提高,是大學數(shù)學專業(yè)的基礎課之一。在其中線性方程和矩陣一直貫穿始終。對于大學生的學習是在第一章多項式的鋪墊下,在第二章行列式中直接定義矩陣的符號。

    對于二元線性方程組

    當a11a22-a12a21≠0時,次方程組有唯一解,即

    我們稱a11a22-a12a21為二級行列式,用符號表示為:

    于是上述解可以用二級行列式敘述為:

    當二級行列式

    時,該方程組有唯一解,即

    同理由三元線性方程組,定義了三級行列式。在其后,應用排列對矩陣的意義進一步對矩陣進行解釋。

    n級行列式

    等于所有取自不同行不同列的n個元素的乘積

    的代數(shù)和,這里j1,j2…jn是1,2,…,n的一個排列

    接著就是學習對行列式的變形與展開,線性方程組的一些重要性質反映在它的系數(shù)矩陣和增廣矩陣的性質上,并且解方程組的過程也表現(xiàn)為變換這些矩陣的過程,除線性方程組之外,還有大量的各種各樣的問題也都提出矩陣的概念,并且這些問題的研究常常反映為有關矩陣的某些方面的研究,甚至于有些性質完全不同的、表面上完全沒有聯(lián)系的問題,歸結成矩陣問題以后卻是相同的,這就使矩陣成為數(shù)學中一個極其重要的應用廣泛的概念。

    [1]劉紹學.矩陣與變換[M].人民教育出版社.

    [2]王鄂芳,石生明.高等代數(shù)[M].3版.高等教育出版社.

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