選修4-2《矩陣與變換》與《高等代數(shù)》

田 瑩

（沈陽師范大學(xué)，遼寧 沈陽110034）

1 選修4-2《矩陣與變換》中矩陣的引入

對于高中生它們對于矩陣沒有接觸過，是一個新的概念，非常的陌生。

其引入過程如下：設(shè)直線l在平面α內(nèi)，那么對與平面α內(nèi)任意一點p，都存在平面α內(nèi)唯一一點p'，使p'與p關(guān)于直線l對稱，我們稱這樣的對稱關(guān)系為平面α關(guān)于直線l的反射變換。進(jìn)一步，如果在平面α內(nèi)建立直角坐標(biāo)系xoy，那么平面內(nèi)的點與有序?qū)崝?shù)對（x，y）之間就建立了一一對應(yīng)。這樣，我們又可以從代數(shù)的角度來研究反射變換，例如，關(guān)于x軸的反射變換，把平面α內(nèi)的任意點p（x，y）變成它關(guān)于x軸的對稱點，p'（x'，y'）,對于坐標(biāo)p（x，y）與p'（x'，y'）可以得到：

顯然，表達(dá)式①完全刻畫了關(guān)于x軸的反射變換，因此，也稱①為關(guān)于x軸的反射變換。

我們將反射變換①變形為：

由于②式由右端式子中x，y系數(shù)唯一確定，我們把它們按原來的順序?qū)懗鰜?，并在兩端分別加上一個括號，就得到正方形數(shù)表,正方形數(shù)表也完全刻畫了關(guān)于x軸的反射變換，我們把這種正方形數(shù)表稱為二階矩陣，這樣關(guān)于x軸的反射變換就可以有二階矩陣完全確定。事實上，在平面直角坐標(biāo)系xoy內(nèi)，很多兒何變換都具有下列形式：

其中系數(shù)a，b，c，d均為常數(shù)，我們把形如③的兒何變換叫做線性變換，③式叫做這個線性變換的坐標(biāo)變換公式。我們引進(jìn)正方形數(shù)表]，那么線性變換③可以由唯一確定。像這樣，由4個數(shù)a，b，c，d排成的正方形數(shù)表]稱為二階矩陣。

2 《高等代數(shù)》中矩陣的引入

《高等代數(shù)》由多項式、行列式、線性方程組、矩陣、二次型、線性空間、λ-矩陣、歐幾里得空間、雙線性函數(shù)與辛空間十個章節(jié)組成，是中學(xué)代數(shù)的繼續(xù)和提高，是大學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)的基礎(chǔ)課之一。在其中線性方程和矩陣一直貫穿始終。對于大學(xué)生的學(xué)習(xí)是在第一章多項式的鋪墊下，在第二章行列式中直接定義矩陣的符號。

對于二元線性方程組

當(dāng)a11a22-a12a21≠0時，次方程組有唯一解，即

我們稱a11a22-a12a21為二級行列式，用符號表示為：

于是上述解可以用二級行列式敘述為：

當(dāng)二級行列式

時，該方程組有唯一解，即

同理由三元線性方程組，定義了三級行列式。在其后，應(yīng)用排列對矩陣的意義進(jìn)一步對矩陣進(jìn)行解釋。

n級行列式

等于所有取自不同行不同列的n個元素的乘積

的代數(shù)和，這里j1，j2…jn是1,2，…，n的一個排列

接著就是學(xué)習(xí)對行列式的變形與展開，線性方程組的一些重要性質(zhì)反映在它的系數(shù)矩陣和增廣矩陣的性質(zhì)上，并且解方程組的過程也表現(xiàn)為變換這些矩陣的過程，除線性方程組之外，還有大量的各種各樣的問題也都提出矩陣的概念，并且這些問題的研究常常反映為有關(guān)矩陣的某些方面的研究，甚至于有些性質(zhì)完全不同的、表面上完全沒有聯(lián)系的問題，歸結(jié)成矩陣問題以后卻是相同的，這就使矩陣成為數(shù)學(xué)中一個極其重要的應(yīng)用廣泛的概念。

［1］劉紹學(xué).矩陣與變換[M].人民教育出版社.

［2］王鄂芳,石生明.高等代數(shù)[M].3版.高等教育出版社.