提高解題效度的五種習(xí)慣

印冬建

近期，我市舉行了中考模擬考試，筆者參與了試卷的批閱工作.批閱時，我們發(fā)現(xiàn)，一些同學(xué)因解題習(xí)慣差導(dǎo)致了大量失分，這讓筆者十分痛心.為此，認(rèn)真梳理了試卷中的“無謂失誤”，并找出了與之對應(yīng)的解題范例.在試卷講評課上，對“無謂失誤”精準(zhǔn)點(diǎn)評的同時，還將這些規(guī)范的解題過程呈現(xiàn)，供學(xué)生觀摩欣賞，彰顯范例的“正向”示范作用.本文就結(jié)合筆者講評中呈現(xiàn)的部分案例來談?wù)剬W(xué)生應(yīng)具備的五種良好解題習(xí)慣.

1審題標(biāo)記，實現(xiàn)文圖呼應(yīng)

試題解答的第一關(guān)就是審題，它是學(xué)生解題的起點(diǎn)，也是成功解題的關(guān)鍵.初中數(shù)學(xué)的學(xué)科特點(diǎn)，決定了試題應(yīng)具備學(xué)段特色和數(shù)學(xué)特色，一些試題除了有文字說明外，還配有與之對應(yīng)的圖形.因此，在初中階段的數(shù)學(xué)考試中，審題絕不是簡單地讀題，在讀的同時，我們應(yīng)將文字信息中的關(guān)鍵詞進(jìn)行標(biāo)記（標(biāo)著重號或畫線），同時，還應(yīng)將文字信息在圖形中對應(yīng)標(biāo)注，實現(xiàn)文圖呼應(yīng)，為分析和獲取解題思路等做好基礎(chǔ)性工作.

案例1如圖1，點(diǎn)P為⊙O外一點(diǎn)，PA切⊙O于點(diǎn)A，且OP=5，PA=4，則sin∠APO等于（）.

A.45B.35C.43D.34

審題后如圖1（說明：學(xué)生標(biāo)注見圖2），點(diǎn)P為⊙O外一點(diǎn)，PA切⊙O于點(diǎn)A，且OP=5，PA=4，則sin∠APO等于（）.

A.45B.35C.43D.34

案例分析這道試題條件并不多，一幅圖，一段文字.這樣的簡單文圖組合，讓試題的解答看似十分簡單.然而，如果不將題目中的文字信息和圖形信息對應(yīng)標(biāo)注，這道試題的解答很可能會出現(xiàn)失誤.事實也正如筆者所言，一些同學(xué)審題時，不僅文字中未做任何標(biāo)記，連圖形上也未進(jìn)行標(biāo)注，這樣的解題習(xí)慣下選錯答案并不意外.筆者呈現(xiàn)的這則范例中，學(xué)生審題后，將題中的幾個關(guān)鍵信息“相切”（即題中的“切”）、“正弦”（sin）、“∠APO”等進(jìn)行了標(biāo)記，將“相切”通過“連接OA”和“標(biāo)記直角”在圖2中體現(xiàn)，將“OP=5，PA=4”在圖中的相應(yīng)線段旁進(jìn)行了標(biāo)注，將“∠APO”用“弧”在圖中標(biāo)注.這樣的文圖呼應(yīng)，讓試題條件和結(jié)論變得非常清晰，線段AO旁標(biāo)注的“？”說明學(xué)生已經(jīng)深刻領(lǐng)會了題意，并已經(jīng)找到了正確的解題思路，問題很快得到化解！

2適時梳理，修正解題思路

在模擬考試和中考中，中等以上難度的試題散布在試卷的不同題型之中，這些試題常有“欲解不能，放手不甘”的感覺，解答中不可避免遇到一些“挫折”.面對此類的試題，當(dāng)“解題不能”時，應(yīng)及時梳理題中的條件和結(jié)論，反思解題思路分析中的得與失，發(fā)現(xiàn)被遺漏的條件并努力挖掘出隱含條件.這樣的梳理，可以彌補(bǔ)“解題不能”狀態(tài)下思路分析的“缺陷”，及時修正解題思路，從而找出正確的解法.

案例2試卷講評課片斷

如圖3，在直角坐標(biāo)系xOy中，直線y=mx與雙曲線y=nx相交于點(diǎn)A和點(diǎn)B（b，-2），矩形OCDE的邊CD恰好被點(diǎn)B平分，邊DE交雙曲線于F點(diǎn)，四邊形OBDF的面積為2.求m，n的值.

教師：解答這道試題的關(guān)鍵是什么？

學(xué)生1：將“四邊形OBDF的面積”轉(zhuǎn)化為含有n的方程.

教師：怎么轉(zhuǎn)化？

學(xué)生2：連接OD.根據(jù)“邊CD恰好被點(diǎn)B平分”可得S△BOC=S△BOD=12n，根據(jù)矩形的對稱性可得S△DOC=S△EOD=n，△EOF是“建構(gòu)在雙曲線和坐標(biāo)軸上的直角三角形”，它的面積也是12n，所以，S四邊形OBDF=n=2.

教師：非常棒，根據(jù)你的思路，接下來我們就可以順利地求出m，n的值了！還有其他得到方程的方法嗎？

學(xué)生陳述不同的方法，10分鐘后，方法交流結(jié)束.

教師（看著學(xué)生3）：老師發(fā)現(xiàn)你的解題過程有一些改動，解題時是不是走了一些“彎路”呀？能把你解答這道試題的經(jīng)驗與大家分享一下嗎？

學(xué)生3：好吧！根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)的意義，我先將點(diǎn)B的坐標(biāo)（b，-2）代入到y(tǒng)=nx中，得到-2=nb，整理得b=-12n，這樣，我就用含有n的式子表示出了點(diǎn)B的坐標(biāo)（-12n，-2）.接下來，根據(jù)“頂點(diǎn)建構(gòu)在坐標(biāo)軸和雙曲線上的直角三角形”面積求法，我用含有n的式子表示出了△BOC的面積為-12n.再往下，我有一種直覺，四邊形OBDF的面積是△BOC的面積的2倍，但是我說不出理由.

教師：那你接下來是怎么做的呢？

學(xué)生3：我再讀了一下題目.

教師：有什么新的發(fā)現(xiàn)嗎？

學(xué)生3：剛才解題時，有個條件沒看到.

教師：哪個條件？

學(xué)生：“CD恰好被點(diǎn)B平分”！這讓我想到了“三角形的中線將三角形分割為兩個面積相等的三角形”.所以，在連接OD后，得到了S△BOD=S△BOC=

-12n.此時，思路一下子就打開了.

教師：你還有什么發(fā)現(xiàn)？

學(xué)生3：△DOC和△DOE的面積相等，都是-n.我還發(fā)現(xiàn)了△EOF也是“頂點(diǎn)建構(gòu)在坐標(biāo)軸和雙曲線上的直角三角形”，其面積也是-12n.到這兒，我發(fā)現(xiàn)△BOC的面積實際上與題目中所給的點(diǎn)B的坐標(biāo)并沒太大關(guān)系，所以，我刪去了最初的解題過程，給出了和學(xué)生2差不多的解題過程！

教師：很好，你給我們大家做出了很好的示范！當(dāng)我們解題遇到“障礙”時，就要和學(xué)生3一樣，不要恐慌，重新梳理一下題目，細(xì)讀文字，剖析圖形，在“文圖呼應(yīng)”中找尋遺漏條件和隱含條件.充分利用這些條件，及時修正思路，正確的解法很快就能發(fā)現(xiàn)！

案例分析初次解題時，由于忽略“邊CD恰好被點(diǎn)B平分”這一條件，讓學(xué)生3的求解遇到了“障礙”，雖然寫出了一些看似正確的過程，但始終無法求解.當(dāng)他再度審題后，發(fā)現(xiàn)了這個條件，并且將它與已有知識“三角形的中線將三角形分割為兩個面積相等的三角形”聯(lián)系起來，找到了解題的輔助線.這樣一來，“思路一下子就打開了”，隱含條件“△EOF是頂點(diǎn)建構(gòu)在坐標(biāo)軸和雙曲線上的直角三角形”很快“浮出水面”，解題分析被拉回到“正道”.案例中，學(xué)生3經(jīng)歷了“遭遇困境—再度審題—脫困得解”的過程.事實上，每一名學(xué)生都有過這樣的經(jīng)歷，然而能在“磨難”中形成良好的解題習(xí)慣的人卻很少.基于此，在日常教學(xué)中，筆者經(jīng)常會象案例2中這樣，從學(xué)生的解題中挖掘出正反兩面的教學(xué)資源，通過學(xué)生求解歷程的自主陳述，在全班范圍內(nèi)分享解題的經(jīng)驗，突出“適時梳理”在問題解決中的作用，讓這一解題行為成為學(xué)生的自覺習(xí)慣，提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力.endprint

3窮盡結(jié)論，力求踩點(diǎn)掙分

基于試題必須有一定區(qū)分度這一客觀現(xiàn)實，與中考試題一樣，模擬考試試題中也會存在一些用以控制滿分的難題.因此，要求學(xué)生解答這些試題時，一定要有“寬容心”，允許自己出現(xiàn)無法求解的情形.作為考試，多掙分是考試的目標(biāo).試題解答時，當(dāng)確實無法給出正確解題過程時，我們應(yīng)盡可能多地將由條件可以得出的結(jié)論寫出來，生成一些可能在“得分點(diǎn)”上的步驟，多少挽回一點(diǎn)“損失”.

案例3在分析下面這道試題時，筆者發(fā)現(xiàn)一些同學(xué)只給出了“零星”步驟，也得到了一些分?jǐn)?shù).

如圖4，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，分別以AB，CD為邊向外側(cè)作等邊三角形ABE和等邊三角形CDF，連接AF，DE.

（1）求證：AF=DE；（2）略.

命題者給出的第（1）題的評分標(biāo)準(zhǔn)如下：

證明：∵在梯形ABCD中，AB=CD，∴∠BAD=∠CDA（1分），∵△ABE和△DCF是等邊三角形，∴AB=AE，DC=DF，∠BAE=∠CDF=60°，∴AE=DF（2分），∠EAB+∠BAD=∠FDC+∠CDA，即∠EAD=∠FDA（3分），∵AD=DA，∴△AED≌△DFA，∴AF=DE（4分）.

學(xué)生1只寫了一步：∵梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，∴∠BAD=∠CDA.根據(jù)“評分標(biāo)準(zhǔn)”，閱卷老師給了1分.

學(xué)生2在給出學(xué)生1的過程的基礎(chǔ)上，還增加了下面的步驟：

∵△ABE和△DCF是等邊三角形，

∴AB=AE=BE=DC=DF=CF，∠BAE=∠ABE=∠AEB=∠CDF=∠CFD=∠DCF=60°.

學(xué)生2給出的解題過程，得到2分.

案例分析汽車組裝車間，工人們將各種汽車零件緊密地整合在一起，就完成了一輛汽車的組裝.數(shù)學(xué)解題與此類似，學(xué)生將不同的數(shù)學(xué)知識“鏈接”成一個整體，就形成了完整的解題過程.然而，無法回避的是，有時我們真不能將題中的所有知識“鏈接”起來.此時我們應(yīng)告訴學(xué)生，不要灰心，出售汽車零件，同樣可以實現(xiàn)其市場價值.數(shù)學(xué)解題亦然，數(shù)學(xué)知識也可以單獨(dú)“銷售獲利”的.案例中的學(xué)生1，利用“等腰梯形同一底上兩個底角相等”得出了“∠BAD=∠CDA”，拿到1分；學(xué)生2，不僅給出了學(xué)生1的過程，他還根據(jù)“等邊三角形的三條邊相等，三個角相等”得出了另外兩組結(jié)論，順利拿到2分.學(xué)生1、2緊扣題中的條件，生成的這些結(jié)論恰好都在本題的“得分點(diǎn)”上，閱卷老師的評判恰到好處地呈現(xiàn)出了這些考點(diǎn)的“價值”.因此，我們要鼓勵學(xué)生在“解題無果”的情況下，將解題的中間過程盡可能多地呈現(xiàn)出來，以求踩在“得分點(diǎn)”上，實現(xiàn)所獲知識的解題價值，拿到該拿的分?jǐn)?shù).

4重建圖形，剔除干擾信息

數(shù)學(xué)考試中，綜合問題一直都是學(xué)生解題的難點(diǎn).這些試題一般包括題干和問題兩部分，具有很強(qiáng)的綜合性，信息量大，不僅包含豐富的文字信息，還有復(fù)雜的圖形信息.試題一般會給出的兩到三個問題，問題之間用并列或遞進(jìn)的方式銜接，存在著某種內(nèi)在的聯(lián)系.一般地，上一問題的順利解決可能會為下一問題的求解提供一些有用的條件或共性的方法.因此，在試題解答時，不僅要從原題中捕捉有用的解題信息，還應(yīng)從已經(jīng)化解的數(shù)學(xué)問題中挖掘可用的條件或結(jié)論，將題目中與問題解決無關(guān)的條件剔除，簡化問題情境，建構(gòu)有效圖形，讓思路的分析和過程的書寫不繞“彎子”、“干凈利落”.

案例4如圖5所示，直線l：y=3x+3與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B.把△AOB沿y軸翻折，點(diǎn)A落到點(diǎn)C，拋物線過點(diǎn)B，C和D（3，0）.

（1）求直線BD和拋物線的解析式.

（2）若BD與拋物線的對稱軸交于點(diǎn)M，點(diǎn)N在坐標(biāo)軸上，以點(diǎn)N，B，D為頂點(diǎn)的三角形與△MCD相似，求所有滿足條件的點(diǎn)N的坐標(biāo).

（3）略.

在試卷講評時，一學(xué)生陳述了自己解答第（2）題的過程：

根據(jù)第（1）題得出的解析式和“BD與拋物線的對稱軸交于點(diǎn)M”，求得點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2，1）.然后，在草稿紙上作出草圖，如圖6.利用這幅“簡圖”，結(jié)合點(diǎn)M，C，D的坐標(biāo)，我發(fā)現(xiàn)，△MCD是一個等腰直角三角形.根據(jù)這一發(fā)現(xiàn)，我在坐標(biāo)軸上找到了三個符合要求的點(diǎn)N.在得出正確的解題思路后，回到答卷，我將符合要求的三個N點(diǎn)標(biāo)注到答題紙的圖上（即圖5），并給出了完整的解題過程.

案例分析在數(shù)學(xué)考試中，復(fù)雜的問題情境，會成為很多學(xué)生解題的“障礙”.因此，為了讓學(xué)生形成自主跨越“障礙”的能力，筆者將“重建圖形”作為學(xué)生簡化問題情境的“抓手”，通過日常教學(xué)的不斷強(qiáng)化，促進(jìn)學(xué)生形成解題應(yīng)用的“慣性”.案例中，學(xué)生將與解決問題（2）無關(guān)的拋物線、拋物線的對稱軸、直線AB等圖形信息“剔除”，留下解題必備的“點(diǎn)B，D”和“△MCD”，形成圖6.在無關(guān)信息被刪除后，新圖變得非常簡單，對學(xué)生分析問題和解決問題十分有利.接下來，學(xué)生充分利用△MCD的特征，在新圖中“找出了符合要求的三個點(diǎn)N”，并給出了完整的解題過程.這樣的解題行為值得稱贊，然而要想讓學(xué)生能在考試中自覺生成這一行為，教師就必須通過解題教學(xué)對學(xué)生進(jìn)行長期訓(xùn)練，訓(xùn)練方式很多，案例4中的求解過程的自主陳述是最常見的一種，通過分享“重建圖形”解題成功經(jīng)驗，彰顯出“重建圖形”的解題價值，促進(jìn)學(xué)生“重建圖形”應(yīng)用意識的形成，培養(yǎng)全體學(xué)生的良好解題習(xí)慣.

5規(guī)范書寫，追求有序呈現(xiàn)

答卷是學(xué)生與閱卷老師之間對話的唯一“工具”，它是學(xué)生展示自己知識技能的“舞臺”，也是老師了解學(xué)生學(xué)習(xí)狀況的“平臺”.近幾年，網(wǎng)上閱卷成為了中考閱卷的主要方式.在這樣的閱卷方式下，考生想要順利完成師生之間的“對話”，呈現(xiàn)自己在初中階段的學(xué)習(xí)收獲，答卷的規(guī)范與工整顯得特別重要.因此，模擬考試試卷講評課上，應(yīng)將“規(guī)范書寫，有序呈現(xiàn)”作為一種解題習(xí)慣加以培養(yǎng)，要讓學(xué)生知曉，“答卷，如同作畫，要‘謀篇布局”，在工工整整呈現(xiàn)解題過程的前提下，應(yīng)力求解答過程的有序呈現(xiàn)，“自左往右，從上往下”書寫，決不能象畫“作戰(zhàn)圖”一樣將解題過程在答卷上隨意“調(diào)動”.endprint

案例5在案例4中，呈現(xiàn)的綜合題是這次模擬考試的壓軸題，題目難度較大，解題步驟很多.試卷講評課上，筆者選擇了學(xué)生解題中的部分范例進(jìn)行了點(diǎn)評，進(jìn)一步強(qiáng)化“規(guī)范書寫，有序呈現(xiàn)”解題習(xí)慣的養(yǎng)成.現(xiàn)呈現(xiàn)一則范例的交流片斷如下.

投影：一位同學(xué)的解題過程.

教師：請說說你是怎么解第（1）題的？

學(xué)生1：根據(jù)直線解析式y(tǒng)=3x+3，可以得到點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)分別為（0，3），（-1，0），由于點(diǎn)C是把△AOB沿y軸翻折得到的，所以C點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0）.接下來用待定系數(shù)法分別求出“直線BD和拋物線的解析式”.

教師：不錯，你說出了第（1）題的解法.說說在答題紙上，你是如何呈現(xiàn)解題過程的.

學(xué)生2：我先用鉛筆將答題區(qū)域“自上而下”分割成寬度差不多的三塊.然后，按照“自左往右，從上往下”的順序書寫解題過程.

教師：這么呈現(xiàn)解題過程，有什么好處呢？

學(xué)生3：答題區(qū)域的劃分，讓答題在限制的區(qū)域內(nèi)，給人以條理清晰的感覺.

學(xué)生4：“自左往右，從上往下”書寫解題過程，我們平時就是這么做的.這樣呈現(xiàn)的解題過程，不僅寫得方便，而且檢查起來也很方便.我估計，這樣寫，閱卷老師看起來一定很舒服！

教師：很不錯，這樣的“有序呈現(xiàn)”不僅便于檢查，更為老師閱卷提供了方便.在他的解題過程中，還有什么值得我們學(xué)習(xí)的呢？

學(xué)生5：解題結(jié)論的呈現(xiàn)很清晰，“拋物線的解析式為y=（x-3）（x-1），即y=x2-4x+3”是對前面解題過程的總結(jié)，即時呈現(xiàn)解題結(jié)論是很好的習(xí)慣，值得學(xué)習(xí)！

學(xué)生6：解題的過程很簡潔，寫出的幾乎都是本題的關(guān)鍵步驟，失分很少.我覺得，答題時，應(yīng)寫出解題的關(guān)鍵點(diǎn)，不在關(guān)鍵點(diǎn)上的步驟少寫，甚至可以不寫.這樣一來，自己寫得輕松，老師批閱也舒服，減少了無謂失分！

……

在學(xué)生發(fā)表自己的見解后，筆者表揚(yáng)了這位同學(xué)的“規(guī)范書寫，有序呈現(xiàn)”的良好解習(xí)慣，對書寫中的一些細(xì)節(jié)，如“自左往右，從上往下”、寫關(guān)鍵步驟等進(jìn)一步強(qiáng)調(diào)，要求全班同學(xué)能在考試中反復(fù)演練，保證中考時能“自動化”應(yīng)用，同學(xué)們對此深表贊同.

案例分析規(guī)范書寫解題過程，不僅節(jié)省了答題時間，減少了答題失誤，還讓閱卷老師看著舒心，批閱省心.案例顯示，解題前，學(xué)生1對答題區(qū)域進(jìn)行了合理“分割”，初步“圈定”了解題過程的書寫范圍.接下來，學(xué)生1按照“自左往右，從上往下”的順序書寫解題過程，呈現(xiàn)出的解題過程整齊有序，得到了很多同學(xué)的贊賞.此外，學(xué)生1給出的解題步驟直指“要害”，呈現(xiàn)出的都是解題的關(guān)鍵步驟，清晰明了地呈現(xiàn)出了命題者期待的每一個考點(diǎn)，無關(guān)步驟的“缺失”，節(jié)約了答題的空間，同時還為學(xué)生爭取到了寶貴的答題時間.顯然，解題范例的展示交流，喚醒了學(xué)生的解題經(jīng)驗，讓學(xué)生體會到良好解題習(xí)慣對數(shù)學(xué)問題解決巨大作用的同時，進(jìn)一步強(qiáng)化了“規(guī)范書寫，有序呈現(xiàn)”的解題行為向解題習(xí)慣的轉(zhuǎn)化，將學(xué)生分析問題和解決問題的能力又提升了一個檔次！

解題習(xí)慣內(nèi)涵十分豐富，不僅包括閱讀審題的習(xí)慣，還包括思路分析、過程書寫等方面的習(xí)慣，它是學(xué)生數(shù)學(xué)解題能力的重要組成部分.良好的解題習(xí)慣，是學(xué)生有效解決數(shù)學(xué)問題的保障，是有效規(guī)避解題風(fēng)險的“抓手”.任何一種良好習(xí)慣的形成，都非朝夕之功，需要我們在日常教學(xué)中借助一切可用的教學(xué)契機(jī)強(qiáng)化培養(yǎng)，讓學(xué)生知道怎么做，是習(xí)慣培養(yǎng)的第一步，鼓勵學(xué)生對好的解題經(jīng)驗和解題行為的反復(fù)應(yīng)用，是習(xí)慣養(yǎng)成的關(guān)鍵.“正向”示范，榜樣引領(lǐng)，是習(xí)慣養(yǎng)成的“推進(jìn)劑”.在數(shù)學(xué)課上，我們應(yīng)為學(xué)生樹立解題的“榜樣”，讓他們在觀察交流中，感知到良好解題習(xí)慣的價值，逐步形成習(xí)慣養(yǎng)成的自覺意識，提高問題解決的成效.

以上所述，僅是筆者的一點(diǎn)個人感悟，不足之處，敬請批評指正！endprint