基于末段修正迫彈命中概率的射角優(yōu)化

李興隆，于紀(jì)言，姚文進(jìn)，王曉鳴，吳 巍

（1.南京理工大學(xué) 智能彈藥技術(shù)國防重點(diǎn)學(xué)科實(shí)驗(yàn)室，南京210094；2.中國人民解放軍63863部隊(duì)，吉林 白城137001）

激光半主動末段修正迫彈的工作原理是利用彈外目標(biāo)指示器發(fā)射激光束照射目標(biāo)，然后彈載激光探測器通過接收的目標(biāo)反射激光信號得到目標(biāo)方位信息，彈載處理器生成修正指令控制執(zhí)行機(jī)構(gòu)（如舵機(jī)或脈沖發(fā)動機(jī)）工作，實(shí)現(xiàn)對末段彈道的修正［1］。

常規(guī)迫彈發(fā)射時以無控彈道落點(diǎn)為目標(biāo)點(diǎn)，在理想情況下，迫彈能夠捕獲并命中目標(biāo)，但在實(shí)際發(fā)射和飛行過程中受到多種隨機(jī)干擾，導(dǎo)致彈道偏離名義彈道，末修迫彈導(dǎo)引頭有可能一直無法捕獲目標(biāo)，造成脫靶，尤其是在小射角范圍45°～57°內(nèi)，影響效果明顯；在大射角范圍57°～85°內(nèi)，由于落角較大，導(dǎo)引頭在地面的視場一般都會覆蓋目標(biāo)，不易脫靶。導(dǎo)引頭的視場角、作用距離、彈體姿態(tài)角和彈體位置坐標(biāo)都與捕獲概率有關(guān)［2］，修正執(zhí)行機(jī)構(gòu)的啟控時間、最大修正能力、末制導(dǎo)律和控制策略［3－5］等都與命中概率有關(guān)，而以上因素均受到彈丸發(fā)射角的影響。因此，本文主要從優(yōu)化發(fā)射角的角度研究了提高末修迫彈對目標(biāo)命中概率的方法。

1 末段修正彈命中過程建模

1.1 末段修正彈命中目標(biāo)的物理過程

彈丸出炮口后進(jìn)行無控飛行，在彈道末段，當(dāng)目標(biāo)進(jìn)入導(dǎo)引頭最大作用距離Lmax內(nèi)，且目標(biāo)在導(dǎo)引頭視場內(nèi)，即跟蹤誤差角ε小于導(dǎo)引頭探測器視場角φ時，可認(rèn)定導(dǎo)引頭捕獲目標(biāo)，其表達(dá)式為［6］

文中取Lmax＝3km，φ＝±6°。末段修正彈導(dǎo)引頭捕獲域示意圖如圖1所示。

圖1 捕獲域示意圖

導(dǎo)引頭捕獲到目標(biāo)后由彈上計(jì)算機(jī)決定啟控時機(jī)，進(jìn)入有控飛行階段，由執(zhí)行機(jī)構(gòu)修正末段彈道。若目標(biāo)在最大修正區(qū)域內(nèi)，則有可能命中目標(biāo)。令事件A為捕獲目標(biāo)，事件B為命中目標(biāo)，兩事件相互獨(dú)立，末修迫彈總命中概率的數(shù)學(xué)模型可表述為

式中：P（A）為捕獲概率，P（B｜A）為已捕獲目標(biāo)的條件下命中目標(biāo)的概率。

1.2 捕獲概率模型

末修迫彈導(dǎo)引頭的捕獲概率和命中概率都與啟控距離有關(guān)，啟控距離越大，修正能力越強(qiáng)。若啟控距離過大，則末段修正彈道越長，受到的不確定因素的影響就越大，修正精度就越低；若啟控距離過小，則修正執(zhí)行機(jī)構(gòu)來不及響應(yīng)，或者由于啟控過晚導(dǎo)致最大修正量小于落點(diǎn)偏差量，都會導(dǎo)致脫靶。為研究導(dǎo)引頭捕獲概率的一般規(guī)律，經(jīng)估算后，取啟控距離δ＝1km，此時修正能力基本滿足要求，且δ＜Lmax。若此刻跟蹤誤差角ε≤｜φ｜，則捕獲到目標(biāo)，反之則未捕獲。

由于彈丸發(fā)射和飛行過程中受到各種隨機(jī)擾動，在啟控距離δ＝1km時刻，誤差角ε服從正態(tài)分布，ε～N（με，σ2ε）。將初始擾動模型和飛行過程中隨機(jī)擾動模型［7］引入到彈丸六自由度彈道模型［8］中，利用蒙特卡洛方法模擬打靶n次，可得出跟蹤誤差角均值με和標(biāo)準(zhǔn)差σε。

跟蹤誤差角ε≤｜φ｜的概率即為導(dǎo)引頭對目標(biāo)的捕獲概率，可由下式求?。?/p>

可轉(zhuǎn)化為下式查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表進(jìn)行求解：

由式（5）可知，捕獲概率是關(guān)于誤差角ε的函數(shù)。由激光探測器模型［9］可知，誤差角是由質(zhì)心位置（x，y，z）和姿態(tài)角（?，ψ）決定的（?為俯仰角，ψ為偏航角），在6DOF彈道方程中，若時間確定，則（x，y，z）和（?，ψ）只與初始條件有關(guān)，若初速一定，不考慮初始擾動誤差，則在δ＝1km時刻彈丸捕獲目標(biāo)的概率P（A）＝f（θ）是關(guān)于發(fā)射角θ的函數(shù)。

1.3 捕獲條件下命中概率模型

彈丸在發(fā)射和飛行過程中受到的擾動越大，則彈道偏離名義彈道越大，即使在導(dǎo)引頭探測器作用距離內(nèi)捕獲到目標(biāo)，也可能由于修正能力不夠?qū)е旅摪?。為研究已捕獲目標(biāo)條件下彈丸能否命中目標(biāo)問題，取彈丸在啟控距離δ＝1km處的最大修正量為lx＋，lx－ ，lz＋，lz－ 。lx＋，lx－ ，lz＋，lz－ ，分別 表 示 射程x向正向、射程x向負(fù)向、偏流z向正向、偏流z向負(fù)向4個方向上的最大修正距離。

令目標(biāo)的有效毀傷幅員是以目標(biāo)點(diǎn)為中心的矩形，矩形的邊分別平行于x軸、z軸，正面為2Lz，縱深為2Lx。只要彈丸落在該幅員內(nèi)，目標(biāo)必然被毀傷。

由射擊理論的假設(shè)可知，無控彈道的落點(diǎn)x，z服從二維正態(tài)分布定律，且相互獨(dú)立，概率論中這種分布概率密度f（x，z）的數(shù)學(xué)描述式為

類似于1.2節(jié)，通過蒙特卡洛法模擬打靶，若在啟控距離δ＝1km時導(dǎo)引頭捕獲目標(biāo)，則轉(zhuǎn)入命中概率的計(jì)算，得到已捕獲目標(biāo)情況下落點(diǎn)坐標(biāo)均值（μx，μz）和 標(biāo) 準(zhǔn) 差 （σx，σx）。 記 目 標(biāo) 點(diǎn) 坐 標(biāo) 為（xT，zT），若 無 控 彈 道 落 點(diǎn) （xi，zi）滿 足，則在距離δ＝1km時啟控，彈丸能命中目標(biāo)。

因此，命中概率就等于概率密度函數(shù)f（x，z）在此區(qū)間的積分：

可轉(zhuǎn)化為下式查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表進(jìn)行求解：

由于彈丸落點(diǎn)與發(fā)射角θ有關(guān)，因此，命中概率P（B｜A）＝g（θ）是關(guān)于θ的函數(shù)。

1.4 命中概率計(jì)算流程

根據(jù)上述命中目標(biāo)的物理過程和數(shù)學(xué)模型，結(jié)合蒙特卡洛法仿真數(shù)據(jù)，即可求解命中概率，計(jì)算流程圖如圖2所示。

圖2 命中概率計(jì)算流程圖

1.5 平均落點(diǎn)偏差計(jì)算模型

令目標(biāo)點(diǎn)坐標(biāo)為（xT，zT），取發(fā)射角為θ，用蒙特卡洛法模擬打靶n次，得到彈丸無控飛行的n個落點(diǎn)，平均落點(diǎn)偏差用R表示，其計(jì)算公式如下：

顯然，平均落點(diǎn)偏差R是關(guān)于發(fā)射角θ的函數(shù)，即R＝h（θ）。落點(diǎn)偏差越大，則表明實(shí)際彈道偏離名義彈道越多，彈丸命中目標(biāo)所需的修正量也越大；落點(diǎn)偏差越小，則所需修正量越小，則越容易修正。修正量的大小與命中率直接相關(guān)，因此，平均落點(diǎn)偏差也是研究命中概率不可忽略的因素。

2 優(yōu)化數(shù)學(xué)模型的建立

2.1 設(shè)計(jì)變量及目標(biāo)函數(shù)的確定

單發(fā)命中率是評價末修迫彈性能優(yōu)劣的指標(biāo)之一，同時，彈丸無控飛行的平均落點(diǎn)偏差越小，則越容易修正。因此，以末修迫彈最大命中率maxP（X）和最小落點(diǎn)偏差minR（X）為目標(biāo)函數(shù)。由前文得P＝P（A）P（B／A）＝f（θ）g（θ），R＝h（θ），末修迫彈總命中率P和平均落點(diǎn)偏差R均是關(guān)于發(fā)射角θ的函數(shù)，因此，以發(fā)射角為優(yōu)化設(shè)計(jì)變量，即X＝θ，此問題轉(zhuǎn)化為單變量雙目標(biāo)函數(shù)的優(yōu)化問題。

2.2 約束條件

常規(guī)迫彈命中誤差在70～80m以上，要命中目標(biāo)常常需要較大的火力密集度才能完成，而末修迫彈殺傷力要求是2發(fā)或更少就能命中目標(biāo)［10］，令2發(fā)末修迫彈命中目標(biāo)的概率大于90%即可認(rèn)為達(dá)到精度要求，根據(jù)1－（1－P（X））2≥90%，可得到單發(fā)末修迫彈命中概率約束條件為P（X）≥68.38%。令給定射程的名義發(fā)射角為θ＊，變量的取值約束條件為θ＊－4≤X≤θ＊＋4。

2.3 優(yōu)化算法

多目標(biāo)規(guī)劃解法的基本思想是轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)規(guī)劃問題，功效系數(shù)法就是其中的一種方法。其主要內(nèi)容是對不同類型的目標(biāo)函數(shù)統(tǒng)一量綱，分別得到一個功效系數(shù)函數(shù)，然后求所有功效系數(shù)乘積的最優(yōu)解。

命中概率單項(xiàng)功效系數(shù)為

平均落點(diǎn)偏差單項(xiàng)功效系數(shù)為

總功效系數(shù)為

式中：ω1，ω2分別為單個評價指標(biāo)的權(quán)重系數(shù)，當(dāng)總功效系數(shù)D取最大值時，對應(yīng)的X即為問題的最優(yōu)解。

3 算例分析

根據(jù)以上優(yōu)化模型可對給定射程的發(fā)射角進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)。以某型末修迫彈為研究對象，導(dǎo)引頭視場角φ＝±6°，目標(biāo)點(diǎn)坐標(biāo)為xT＝7 189m，zT＝－19m，名義發(fā)射角θ＊＝49°，啟控距離δ＝1km，對應(yīng)啟控距離下4個方向上的最大修正量［11］為lx＋＝169m，lx－ ＝143m，lz＋＝133m，lz－ ＝133m，武器系統(tǒng)綜合可靠性為95%，蒙特卡洛法計(jì)算機(jī)模擬打靶次數(shù)n＝200，單個評價指標(biāo)的權(quán)重系數(shù)ω1＝0.5，ω2＝0.5。

3.1 計(jì)算結(jié)果

通過第2章的數(shù)學(xué)模型計(jì)算得出命中概率和平均落點(diǎn)偏差，結(jié)果如表1所示。

表1 命中概率和平均落點(diǎn)偏差計(jì)算結(jié)果

由表1得知，以名義射角49°發(fā)射的迫彈平均落點(diǎn)偏差最小，但其命中概率不及射角50°和射角51°的高，原因在于以名義射角發(fā)射的炮彈落點(diǎn)散布在目標(biāo)點(diǎn)周圍，部分彈道偏差過于靠前，這導(dǎo)致彈丸在整個末段彈道飛行過程中目標(biāo)都不會進(jìn)入導(dǎo)引頭視場域中或進(jìn)入視場域的時機(jī)過晚，彈道偏差無法得到及時修正，以至于脫靶。而增加射角后彈丸落點(diǎn)偏后，目標(biāo)進(jìn)入視場內(nèi)的時機(jī)更早，捕獲目標(biāo)的概率更大［12］，但若落點(diǎn)偏差過大，超過最大修正能力，也會導(dǎo)致脫靶，因此存在一個最優(yōu)射角，使捕獲和命中的概率最大。

3.2 多項(xiàng)式擬合

為研究最優(yōu)射角，需要得到目標(biāo)函數(shù)，利用多項(xiàng)式擬合得到的函數(shù)能較準(zhǔn)確地描述變量與函數(shù)值的關(guān)系。以發(fā)射角為自變量，對表1中的命中概率和平均落點(diǎn)偏差進(jìn)行多項(xiàng)式擬合，得到的多項(xiàng)式分別為

圖3、圖4中虛線表示計(jì)算結(jié)果數(shù)據(jù)，曲線為擬合值，結(jié)果顯示多項(xiàng)式擬合與計(jì)算值能較好地符合。

圖3 不同發(fā)射角命中概率

圖4 不同發(fā)射角平均落點(diǎn)偏差

3.3 優(yōu)化結(jié)果

將3.2節(jié)得到的2個目標(biāo)函數(shù)代入到功效系數(shù)表達(dá)式中，可得到總功效系數(shù)關(guān)于射角的函數(shù)。圖5給出了不同發(fā)射角下總功效系數(shù)曲線。通過一維搜索黃金分割法可求出最大總功效系數(shù)max［D（X）］＝0.917，對應(yīng)的射角X＝49.87°，即為最優(yōu)射角，射角優(yōu)化后命中概率為P（X）＝0.767。

圖5 不同發(fā)射角總功效系數(shù)

3.4 結(jié)果對比

分別以射程方向x＝6 616，6 967，7 198，7 310m處為目標(biāo)點(diǎn)，通過以上方法對其射角進(jìn)行優(yōu)化，優(yōu)化前后的命中率如表2所示。結(jié)果表明，射角優(yōu)化的方法對提高命中率效果顯著。

表2 不同目標(biāo)距離射角優(yōu)化前后命中率對比

4 結(jié)束語

本文考慮了末修迫彈發(fā)射時初始隨機(jī)誤差和飛行過程中隨機(jī)擾動的情況，推導(dǎo)了命中目標(biāo)概率的計(jì)算模型，以發(fā)射角為優(yōu)化變量，提出了以最大命中率和最小平均落點(diǎn)偏差為目標(biāo)函數(shù)的優(yōu)化算法。仿真和計(jì)算結(jié)果表明，當(dāng)目標(biāo)在6 600～7 300m遠(yuǎn)處，通過射角優(yōu)化，命中概率可提高10%以上，當(dāng)目標(biāo)距離小于6 600m時，命中概率已經(jīng)很高，優(yōu)化意義不大。該方法有效地彌補(bǔ)了利用常規(guī)射表發(fā)射末修迫彈時，激光導(dǎo)引頭對目標(biāo)捕獲率低導(dǎo)致脫靶的問題，對于提高激光半動末修迫彈的命中精度具有重要意義。同時該方法對編制激光半主動末修彈藥的射表具有一定的參考價值。

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