彈道導(dǎo)彈彈道面轉(zhuǎn)移變換規(guī)劃方法

王繼平，王安民，魏詩卉，張憲偉

（1.第二炮兵裝備研究院，北京100085；2.中國人民解放軍96271部隊(duì)，河南 洛陽471000）

傳統(tǒng)的彈道導(dǎo)彈飛行過程分為助推段、中段和再入段，助推段動(dòng)力系統(tǒng)各子級(jí)連續(xù)工作，即使有間隔，也只是間隔幾s時(shí)間，中段和再入段合稱被動(dòng)段，被動(dòng)段在地球引力作用下沿拋物線軌跡慣性飛行，占整個(gè)飛行彈道的90%左右，整個(gè)飛行彈道近似在發(fā)射點(diǎn)、目標(biāo)點(diǎn)、地心構(gòu)成的彈道面內(nèi)［1］?？梢?，傳統(tǒng)彈道導(dǎo)彈存在以下缺陷：①中段慣性飛行時(shí)間長、彈道高，易被導(dǎo)彈防御系統(tǒng)探測(cè)、跟蹤和攔截。以傳統(tǒng)彈道為基礎(chǔ)的中段變軌機(jī)動(dòng)能力有限，只能實(shí)現(xiàn)有限范圍內(nèi)的機(jī)動(dòng)，突防能力有限；②傳統(tǒng)彈道導(dǎo)彈一般通過改變飛行程序角來調(diào)整發(fā)動(dòng)機(jī)能量分配，從而控制彈道高低，實(shí)現(xiàn)射程遠(yuǎn)近的調(diào)節(jié)。因而，在總體結(jié)構(gòu)和彈頭特性一定的情況下，存在最大射程與最小射程的限制。

為此，基于衛(wèi)星軌道面轉(zhuǎn)移思想［2］，提出了一種彈道導(dǎo)彈彈道面轉(zhuǎn)移的策略，通過彈道轉(zhuǎn)移變換規(guī)劃可獲得合適的再入速度、再入傾角和中段慣性飛行時(shí)間，實(shí)現(xiàn)最大射程范圍內(nèi)的任意射程控制，可有效克服上述缺陷。

傳統(tǒng)彈道導(dǎo)彈的飛行通常在一個(gè)彈道面內(nèi)進(jìn)行制導(dǎo)控制，由于導(dǎo)彈發(fā)動(dòng)機(jī)能量是固定的，能夠提供的速度大致確定，即關(guān)機(jī)點(diǎn)速度大小確定，通常先通過射程和關(guān)機(jī)點(diǎn)速度，根據(jù)橢圓彈道理論確定關(guān)機(jī)點(diǎn)彈道傾角，然后以關(guān)機(jī)點(diǎn)彈道傾角為約束設(shè)計(jì)助推段的飛行程序，從而調(diào)整發(fā)動(dòng)機(jī)能量分配［1，3］。而對(duì)于彈道面轉(zhuǎn)移飛行導(dǎo)彈，除各彈道面內(nèi)通過飛行程序設(shè)計(jì)分配能量外，還要同時(shí)設(shè)計(jì)彈道面轉(zhuǎn)移變換來分配能量。此時(shí)導(dǎo)彈各級(jí)發(fā)動(dòng)機(jī)能量的分配除了要確定各彈道面內(nèi)關(guān)機(jī)點(diǎn)彈道傾角外，還需確定各彈道面導(dǎo)彈的射程角和彈道面變換夾角，采用傳統(tǒng)的方法無法實(shí)現(xiàn)。由于彈道面轉(zhuǎn)移飛行導(dǎo)彈轉(zhuǎn)移飛行在大氣層外，與助推－滑翔導(dǎo)彈相比，不需考慮大氣的氣動(dòng)影響和熱燒蝕，因而助推－滑翔導(dǎo)彈的彈道優(yōu)化方法也不適應(yīng)彈道面轉(zhuǎn)移變換的規(guī)劃與設(shè)計(jì)［4］。本文基于橢圓彈道理論［1］，采用優(yōu)化方法對(duì)彈道面轉(zhuǎn)移變換進(jìn)行規(guī)劃，確定各彈道面彈道參數(shù)和彈道面變換夾角，為Ⅱ級(jí)、Ⅲ級(jí)助推段飛行程序即轉(zhuǎn)移飛行程序設(shè)計(jì)［2］提供基準(zhǔn)，簡化了整條彈道優(yōu)化。

1 彈道面轉(zhuǎn)移變換規(guī)劃思想

以三級(jí)固體發(fā)動(dòng)機(jī)導(dǎo)彈為例，如圖1所示，是導(dǎo)彈兩次變彈道面飛行的一條彈道，各級(jí)發(fā)動(dòng)機(jī)非連續(xù)點(diǎn)火，具有3個(gè)助推段和3個(gè)轉(zhuǎn)級(jí)飛行段，Ⅱ級(jí)、Ⅲ級(jí)發(fā)動(dòng)機(jī)在大氣層外為導(dǎo)彈變彈道面飛行提供動(dòng)力。圖中，ΔA為初始彈道面與傳統(tǒng)彈道面的夾角，Λ為彈道面變換夾角。

圖1 三級(jí)發(fā)動(dòng)機(jī)導(dǎo)彈飛行彈道面轉(zhuǎn)移示意圖

如圖2所示，設(shè)各級(jí)發(fā)動(dòng)機(jī)動(dòng)力能提供的速度分別為v1、v2、v3。它們由下式近似確定：

式中：Is1、Is2、Is3分別為第Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ級(jí)真空比沖；m01、m02、m03分別為第Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ級(jí)點(diǎn)火質(zhì)量；mk1、mk2、mk3分別為第Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ級(jí)熄火質(zhì)量；ks1、ks2、ks3分別為第Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ級(jí)速度損耗系數(shù)經(jīng)驗(yàn)值。ks1為考慮Ⅰ級(jí)飛行出大氣層前氣動(dòng)力和引力造成的速度損失，ks2是考慮Ⅱ級(jí)助推段引力假定為恒值造成的速度損失，ks3是考慮Ⅲ級(jí)助推段引力假定為恒值造成的速度損失，ks1相比ks2、ks3較大。

為了方便各彈道面發(fā)動(dòng)機(jī)能量的規(guī)劃，假設(shè)Ⅱ級(jí)和Ⅲ級(jí)助推段提供的速度大小瞬間完成，即有下式成立：

式中：rc1為第一彈道面彈道終點(diǎn)地心矢；rk2為第二彈道面彈道關(guān)機(jī)點(diǎn)地心矢；rc2為第二彈道面彈道終點(diǎn)地心矢；rk3為第三彈道面彈道關(guān)機(jī)點(diǎn)地心矢。

圖2 彈道面變換夾角和各彈道面彈道參數(shù)示意圖

假設(shè)第一彈道面與第二彈道面夾角為Λ2，第二彈道面與第三彈道面夾角為Λ3。第一彈道面彈道Ⅰ級(jí)助推出大氣層時(shí)的速度大小為vk1，傾角為Θk1，地心距為rk1，橢圓彈道面起始點(diǎn)K1處與正北方向夾角為ΛA，射程角為βc1；第二彈道面彈道關(guān)機(jī)點(diǎn)速度大小為vk2，傾角為Θk2，地心距為rk2，橢圓彈道面起始點(diǎn)K2處與正北方向夾角為ΛB，由Λ2確定，射程角為βc2；第三彈道面彈道關(guān)機(jī)點(diǎn)速度大小為vk3，傾角為Θk3，地心距為rk3，橢圓彈道面起始點(diǎn)K3處與正北方向夾角為ΛC，可由Λ3確定，射程角為βc3。

若已知Θk1、ΛA、βc1、Θk2、Λ2、βc2、Θk3、Λ3、βc3，可采用橢圓彈道理論計(jì)算各彈道面彈道參數(shù)。在給定發(fā)射點(diǎn)與目標(biāo)點(diǎn)的情況下，只要確定參數(shù)Θk1、ΛA、βc1、Θk2、Λ2、βc2、Θk3，Λ3、βc3，使其滿足各級(jí)發(fā)動(dòng)機(jī)能量運(yùn)用要求，就可以設(shè)計(jì)出一條變彈道面飛行彈道。但上述參數(shù)均是未知量，受各級(jí)發(fā)動(dòng)機(jī)能量和突防要求、射程等約束，求解這些參數(shù)的問題是一個(gè)優(yōu)化問題，采用優(yōu)化方法對(duì)其進(jìn)行確定。

2 彈道面轉(zhuǎn)移變換規(guī)劃模型

2.1 第一彈道面彈道參數(shù)計(jì)算

1）由發(fā)射點(diǎn)求K1點(diǎn)參數(shù)。

先計(jì)算彈道傾角為Θk1時(shí)，大層外飛行最大射程角βc1max。橢圓彈道能量參數(shù)為［1］

式中：fM為地球引力常數(shù)；vk1＝v1。

橢圓彈道偏心率為

橢圓長半軸為

半通徑為

則：

式中：ˉR為地球平均半徑；Hc1為第一彈道面彈道終點(diǎn)高程，為保證Ⅱ級(jí)助推段飛行在大氣層外，Hc1取為120km；rk1取為80km。

然后，估算由發(fā)射點(diǎn)到K1點(diǎn)的射程角［1］：

式中：kL為射程比例系數(shù)，kL＝0.1～0.28，根據(jù)彈道高低選取適應(yīng)的值。

從而，由下式可計(jì)算出K1點(diǎn)的經(jīng)、緯度和方位角：

式中：ω為地球自轉(zhuǎn)角速度，tk1為K1點(diǎn)導(dǎo)彈飛行時(shí)間，λsk1、φsk1為K1點(diǎn)經(jīng)、緯度，λs0、φs0為經(jīng)、緯度，ψ0為K1點(diǎn)彈道面與正北方向夾角，即方位角。

2）彈道終點(diǎn)參數(shù)計(jì)算。

①首先，由導(dǎo)彈自由段射程角βc1求彈道終點(diǎn)地心矢徑rc1。

當(dāng)Θk1≥0時(shí)，有：

當(dāng)Θk1＜0時(shí)，有：

②求彈道終點(diǎn)速度vc1。

③求彈道終點(diǎn)傾角Θc1。

當(dāng)Θk1≥0時(shí)，有：

當(dāng)βc1≥ββ時(shí)，Θc1≤0；當(dāng)βc1＜ββ時(shí)，Θc1＞0。

當(dāng)Θk＜0時(shí)，有：

④求自由段飛行時(shí)間tc1。

當(dāng)Θk1≥0時(shí)，

式中：

當(dāng)ββ≥βc時(shí)，令β1＝－β1，進(jìn)行計(jì)算。

當(dāng)Θk＜0時(shí)，令ββ＝－ββ，進(jìn)行計(jì)算。

⑤彈道終點(diǎn)經(jīng)緯度λsc1、φsc1計(jì)算。

⑥彈道終點(diǎn)處與正北方向夾角ψ1。

2.2 第二彈道面彈道參數(shù)計(jì)算

Ⅱ級(jí)助推段是恒定推力的持續(xù)作用，為了方便各彈道面發(fā)動(dòng)機(jī)能量的規(guī)劃，假設(shè)Ⅱ級(jí)助推段提供的速度大小瞬間完成，即第一彈道面彈道終點(diǎn)地心距rc1與第二彈道面關(guān)機(jī)點(diǎn)地心距rk2相等，那么，重力持續(xù)作用方向可假定為朝第一彈道面彈道終點(diǎn)地心方向，設(shè)Ⅱ級(jí)助推段重力造成的速度損失為δvgc1，δvgc1＝gc1tg2，tg2為二級(jí)發(fā)動(dòng)機(jī)工作時(shí)間。以此假設(shè)為前提對(duì)第二彈道面彈道參數(shù)進(jìn)行計(jì)算。

1）第二彈道面關(guān)機(jī)點(diǎn)K2處方位角ΛB計(jì)算。

2）關(guān)機(jī)點(diǎn)速度計(jì)算。

第一彈道面彈道終點(diǎn)速度和位置在慣性地心大地直角坐標(biāo)系Osxsyszs下的分量由下式計(jì)算：

式中：tc＝tk1＋tc1。

δvgc1在慣性地心大地直角坐標(biāo)系下的分量由下式計(jì)算：

式中：tc＝tk1＋tc1。

設(shè)第二彈道面彈道關(guān)機(jī)點(diǎn)速度在慣性地心大地直 角 坐 標(biāo) 系Osxsyszs下 的 分 量 為vk2，xs、vk2，ys、vk2，zs，則有如下關(guān)系式成立：

令：

則：

式中：

令：

通過Matlab符號(hào)方程求解可得：

3）彈道終點(diǎn)參數(shù)計(jì)算。

彈道終點(diǎn)參數(shù)計(jì)算同2.1節(jié)。

2.3 優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)計(jì)算

假設(shè)v1、v2耗完，要打到目標(biāo)，第三彈道面彈道采用閉路迭代求關(guān)機(jī)點(diǎn)需要速度，再與第二彈道面彈道終點(diǎn)參數(shù)配合計(jì)算Ⅲ級(jí)發(fā)動(dòng)機(jī)應(yīng)提供的速度v3p。

關(guān)機(jī)點(diǎn)需要速度迭代計(jì)算方法如下［5］：

式中：j為迭代次數(shù)；下標(biāo)k3代表第三彈道面關(guān)機(jī)點(diǎn)；下標(biāo)c代表第三彈道面橢圓彈道落點(diǎn)，見圖2；為導(dǎo)彈關(guān)機(jī)點(diǎn)K3與第三彈道面彈道落點(diǎn)的絕對(duì)經(jīng)度差；為發(fā)射點(diǎn)與關(guān)機(jī)點(diǎn)K3的絕對(duì)經(jīng)度差；λoc為發(fā)射點(diǎn)與第三彈道面橢圓彈道落點(diǎn)的經(jīng)度差；tc3為第三彈道面橢圓彈道飛行時(shí)間；φsk3為導(dǎo)彈關(guān)機(jī)點(diǎn)K3地心緯度；φc為第三彈道面橢圓彈道落點(diǎn)地心緯度；βc3，j為第三彈道面橢圓彈道射程角；Θk3為關(guān)機(jī)點(diǎn)K3處彈道傾角；rk3為關(guān)機(jī)點(diǎn)K3處地心距；rc為第三彈道面橢圓彈道落點(diǎn)地心距；p3，j為第三彈道面橢圓彈道半通徑；e3，j為第三彈道面橢圓彈道偏心率。

給定tc3初值進(jìn)行需要速度迭代，當(dāng)｜p3，j＋1－p3，j｜＜ε＝1.0時(shí)，結(jié)束迭代，可求得需要速度大小vR：

第三彈道面關(guān)機(jī)點(diǎn)K3處與正北方向夾角為

需要速度在慣性直角坐標(biāo)系下的分量為

式中：tc＝tk1＋tc1＋tc2。

第二彈道面彈道終點(diǎn)速度在慣性直角坐標(biāo)系下的分量為

設(shè)Ⅲ級(jí)助推段重力造成的速度損失為δvgc2，在慣性地心大地直角坐標(biāo)系下的分量為δvgc2，xs、δvgc2，ys、δvgc2，zs，δvgc2＝gc2tg3，tg3為三級(jí)發(fā)動(dòng) 機(jī) 工 作時(shí)間。

需要速度增量為

以Δv＝v3p－v3最小為優(yōu)化目標(biāo)，當(dāng)｜Δv｜＜ε且Δv＜0時(shí)，停止搜索，ε是一小量正數(shù)。Δv＜0表明能量滿足要求，導(dǎo)彈能打到目標(biāo)；｜Δv｜＜ε表示導(dǎo)彈發(fā)動(dòng)機(jī)能量充分應(yīng)用。

3 彈道面轉(zhuǎn)移變換優(yōu)化

彈道面轉(zhuǎn)移變換的優(yōu)化問題是：給定發(fā)射點(diǎn)與目標(biāo)點(diǎn)，在搜索空間約束下，以發(fā)動(dòng)機(jī)能量充分應(yīng)用為優(yōu)化目標(biāo)，優(yōu)選的參數(shù)有7個(gè)：Θk1、ΛA、βc1、Θk2、Λ2、βc2、Θk3。其中給定Θk1、ΛA、βc1、Θk2、Λ2、βc2，根據(jù)2.2節(jié)方法能求得第二彈道面彈道終點(diǎn)參數(shù)，Θk3為第三彈道面彈道關(guān)機(jī)點(diǎn)需要速度迭代提供傾角，βc3可由2.3節(jié)的需要速度迭代確定，Λ3由需要速度方向確定，Λ3＝Λc＋（π－ψ2），ψ2為第二彈道面彈道終點(diǎn)處與正北方向的夾角，根據(jù)需要速度方向算出。

彈道面轉(zhuǎn)移變換優(yōu)化方法可以采用各種優(yōu)化計(jì)算方法，本文采用隨機(jī)方向法［6］，經(jīng)驗(yàn)證也能達(dá)到很好的搜索效果。搜索空間根據(jù)突防、制導(dǎo)等要求確定。

4 仿真算例

4.1 仿真條件

給定發(fā)射點(diǎn)經(jīng)度105°，緯度30°；目標(biāo)點(diǎn)經(jīng)度210°，緯度30°，射程約9 600km。假設(shè)導(dǎo)彈有四級(jí)發(fā)動(dòng)機(jī)，一、二級(jí)發(fā)動(dòng)機(jī)考慮空氣動(dòng)力和重力損失后能提供的總速度大小為5 800m／s，三級(jí)發(fā)動(dòng)機(jī)能提供的速度大小為3 900m／s，工作時(shí)間約為60s，四級(jí)發(fā)動(dòng)機(jī)能提供的速度大小為3 000m／s，工作時(shí)間約為60s。實(shí)施兩次彈道面轉(zhuǎn)移變換，一、二級(jí)發(fā)動(dòng)機(jī)連續(xù)點(diǎn)火工作，為初始彈道面飛行提供動(dòng)力；第一次彈道面轉(zhuǎn)移由三級(jí)發(fā)動(dòng)機(jī)提供動(dòng)力；第二次彈道面轉(zhuǎn)移由四級(jí)發(fā)動(dòng)機(jī)提供動(dòng)力。

搜索空間假設(shè)：ΛA搜索范圍為70°～90°，Λ2搜索范圍為160°～180°，Θk1搜索范圍為20°～30°，Θk2搜索范圍為0°～40°，Θk3搜索范圍為20°～40°；βc1和βc2的搜索范圍選?。菏紫雀鶕?jù)Θk1和Θk2確定自由段（大氣層外）飛行最大射程βc1max和βc2max，設(shè)βc1＝l1βc1max，βc2＝l2βc2max，l1范圍選取為0.8～0.99，l2范圍選取為0.5～0.99。

隨機(jī)方向法調(diào)優(yōu)矢量參數(shù)A初值選為0.2，當(dāng)A＜1×10－8時(shí)，若滿足－5＜Δv＜0，停止計(jì)算，否則A選為0.2，重新選擇初值計(jì)算。

4.2 仿真結(jié)果

通過隨機(jī)方向法進(jìn)行優(yōu)化計(jì)算，得到彈道面轉(zhuǎn)移變換規(guī)劃結(jié)果如表1所示。

表1 兩次彈道面轉(zhuǎn)移變換規(guī)劃結(jié)果

從上表可以看出，在給定的搜索空間內(nèi)，采用彈道面轉(zhuǎn)移規(guī)劃模型可以規(guī)劃各彈道面參數(shù)，驗(yàn)證了模型的正確性。采用隨機(jī)方向法優(yōu)化計(jì)算，經(jīng)統(tǒng)計(jì)搜索次數(shù)為1 532次，搜索時(shí)間約790ms，可見規(guī)劃模型的計(jì)算量不大，驗(yàn)證了隨機(jī)方向法的有效性。

傳統(tǒng)彈道發(fā)射點(diǎn)方位角約56°，最佳彈道傾角約23°，慣性飛行時(shí)間約1 904s，比彈道面轉(zhuǎn)移變換彈道每段慣性飛行時(shí)間長得多，易被預(yù)測(cè)和攔截，不利于突防。

5 結(jié)束語

彈道導(dǎo)彈彈道面轉(zhuǎn)移變換，可以是一級(jí)發(fā)動(dòng)機(jī)提供動(dòng)力，也可以是多級(jí)發(fā)動(dòng)機(jī)連續(xù)工作提供動(dòng)力，可以進(jìn)行一次或多次彈道面轉(zhuǎn)移，規(guī)劃前提是要確定搜索空間，搜索空間根據(jù)需求如突防要求等確定。文中假設(shè)的搜索空間只為驗(yàn)證規(guī)劃方法的正確性，沒有通過需求給出。另外，在搜索前首先要確定導(dǎo)彈發(fā)動(dòng)機(jī)的能量是否充足，否則搜索不出結(jié)果，傳統(tǒng)彈道是最省能量彈道，按傳統(tǒng)彈道的耗能來確定是否有多余的能量用于彈道面轉(zhuǎn)移變換，后續(xù)在此方面加強(qiáng)研究，同時(shí)進(jìn)一步進(jìn)行轉(zhuǎn)移飛行程序的設(shè)計(jì)研究。

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