基于無(wú)偏灰色馬爾可夫鏈的吉林省降水量預(yù)測(cè)

張 茜，梁秀娟，杜 川

吉林大學(xué)環(huán)境與資源學(xué)院 長(zhǎng)春 130021

0 引言

降水量指從天空降落到地面上的液態(tài)或固態(tài)（經(jīng)融化后）水未經(jīng)蒸發(fā)、滲透、流失，而在水平面上積聚的深度。降雨經(jīng)過(guò)下墊面的調(diào)蓄作用產(chǎn)生徑流，降雨、徑流是水資源循環(huán)中的兩個(gè)核心環(huán)節(jié)，其大小直接影響農(nóng)業(yè)灌溉、河道航運(yùn)、水土保持等方面［1］。對(duì)于吉林省這樣以農(nóng)業(yè)為主產(chǎn)業(yè)的地區(qū)，準(zhǔn)確的降水量預(yù)測(cè)是合理調(diào)整種植結(jié)構(gòu)、提高產(chǎn)量、降低氣象災(zāi)害的最佳途徑。

國(guó)內(nèi)外有很多關(guān)于降水量預(yù)測(cè)的方法：肖長(zhǎng)來(lái)等［2］采用模糊均生函數(shù)殘差模型對(duì)吉林省西部降水量進(jìn)行了預(yù)報(bào)，數(shù)據(jù)證明這是一種理想而實(shí)用的方法；吳春勇等［3］采用頻譜分析以及自回歸模型對(duì)撓力河進(jìn)行了降水量預(yù)報(bào)，該方法利用傅里葉函數(shù)展開(kāi)理論建立模型，簡(jiǎn)單易懂、計(jì)算速度快、精度較高，但仍存在一定的缺點(diǎn)和不足，如傅里葉函數(shù)存在吉布斯效應(yīng)，使時(shí)間序列在極值處擬合較差；夏樂(lè)天等［4］采用加權(quán)馬爾可夫鏈對(duì)鄭州市的降水狀況進(jìn)行了預(yù)報(bào)，但其僅能預(yù)測(cè)降雨的豐枯狀態(tài)，不能計(jì)算準(zhǔn)確數(shù)值；Vahid Nourani等［5］采用基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的小波分析法對(duì)Ligvanchai流域降水量進(jìn)行預(yù)測(cè)，結(jié)果表明預(yù)測(cè)效果與時(shí)間序列長(zhǎng)度有關(guān)，大樣本容量會(huì)提高預(yù)報(bào)的準(zhǔn)確性；李生彪［6］運(yùn)用無(wú)偏灰色模糊馬爾可夫鏈對(duì)甘肅省人均GDP進(jìn)行了預(yù)測(cè)，其結(jié)果的準(zhǔn)確性和合理性明顯優(yōu)于傳統(tǒng)的灰色馬爾可夫模型。

因歷史資料所限，大多數(shù)研究者只對(duì)一個(gè)雨量站的降水情況進(jìn)行了預(yù)測(cè)，而筆者選用了吉林省分布在各市8個(gè)雨量站的長(zhǎng)系列資料，利用無(wú)偏灰色馬爾可夫鏈的方法，不僅縱向地進(jìn)行了降水量的預(yù)報(bào)，還將結(jié)果進(jìn)行橫向分析，得出全省的降水量時(shí)空分布變化特征，并且討論歷史數(shù)據(jù)波動(dòng)性與預(yù)報(bào)精度的關(guān)系，目的是提高農(nóng)業(yè)經(jīng)濟(jì)效益、提高水資源利用率、合理進(jìn)行水資源調(diào)度。

1 研究區(qū)概況

吉林省位于中國(guó)東北中部，東經(jīng)122°-131°、北緯41°-46°，面積18.74萬(wàn)km2。吉林省是河源省份，處于東北地區(qū)主要江河的上、中游地帶，省內(nèi)有5條河流（松花江、鴨綠江、圖們江、遼河、綏芬河）直接入海；地貌形態(tài)差異明顯，地勢(shì)由東南向西北傾斜，呈現(xiàn)明顯的東南高、西北低的特征；以中部大黑山為界，可分為東部山地和中西部平原兩大地貌區(qū)；東部山地分為長(zhǎng)白山中山低山區(qū)和低山丘陵區(qū)，中西部平原分為中部高平原區(qū)和西部低平原區(qū)。全省多年平均日照時(shí)數(shù)為2 259～3 016h，年平均降水量為400～600mm。

2 數(shù)據(jù)來(lái)源及研究方法

2.1 數(shù)據(jù)來(lái)源

筆者選取吉林省8個(gè)地級(jí)市具有代表性的雨量站，分別為白城市（白城站）、松原市（乾安站）、長(zhǎng)春市（長(zhǎng)春站）、吉林市（蛟河站）、延邊自治州（延吉站）、四平市（四平站）、通化市（通化站）和白山市（靖宇站），各雨量站的分布位置如圖1所示。數(shù)據(jù)為1957 -2010年平均降水量資料，其中1957 -2000年44a的時(shí)間序列為空間樣本，2001 -2010年10 a的時(shí)間序列為檢驗(yàn)樣本。

圖1 吉林省代表性雨量站分布圖Fig.1 Representative precipitation station in Jilin Province

2.2 研究方法

2.2.1 無(wú)偏灰色模型

灰色系統(tǒng)是指信息不完全的系統(tǒng)，灰色系統(tǒng)理論以信息不完全系統(tǒng)的行為表現(xiàn)、行為內(nèi)涵、行為關(guān)系、行為環(huán)境的層次性、動(dòng)態(tài)性、信息性、量化性為主要目的［7］。灰色理論由鄧聚龍教授［8］在1982年首度提出，而后得到了廣泛的應(yīng)用?；疑Ｐ停╣rey model，GM）使用的是微分方程的動(dòng)態(tài)建模方法，常用的GM是一個(gè)一階單變量的線性微分方程模型，它區(qū)別于一般的預(yù)測(cè)方法，是一種在“貧”信息下針對(duì)連續(xù)時(shí)間序列建模的思路［9］。

對(duì)于原始數(shù)據(jù)序列x（0）＝（x（0）（1），x（0）（2），…，x（0）（n）），利用該數(shù)據(jù)序列建立無(wú)偏 GM（1，1）模型［10－11］，步驟如下：

1）對(duì)原始數(shù)據(jù)進(jìn)行一階累加后，形成數(shù)列

2）確定數(shù)據(jù)矩陣B，Yn：

3）最小二乘估計(jì)一階線性微分方程的待估參數(shù)α，μ為

4）計(jì)算無(wú)偏GM（1，1）模型的參數(shù)b，A，對(duì)呈現(xiàn)指數(shù)變化趨勢(shì)的原始數(shù)據(jù)序列

作一次累加生成序列

按傳統(tǒng)方法建?？傻?/p>

進(jìn)而求得以參數(shù)α，μ表示的b，A的估計(jì)量：

5）建立原始數(shù)據(jù)序列模型：

其中，當(dāng)0＜k＜n時(shí)其為原始數(shù)據(jù)序列的擬合值，k≥n時(shí)為原始數(shù)據(jù)序列的預(yù)測(cè)值。

與傳統(tǒng) GM（1，1）模型相比，無(wú)偏 GM（1，1）模型不存在傳統(tǒng)GM（1，1）模型所固有的偏差，因而也就消除了傳統(tǒng)GM（1，1）模型在原始數(shù)據(jù)序列增長(zhǎng)率較大時(shí)的失效現(xiàn)象［12］，其應(yīng)用范圍較傳統(tǒng)GM（1，1）模型廣泛。此外，無(wú)偏GM（1，1）模型無(wú)需進(jìn)行累減還原，簡(jiǎn)化了建模步驟，提高了模型的計(jì)算速度。

2.2.2 灰色馬爾可夫鏈

馬爾可夫過(guò)程的定義如下：若隨機(jī)過(guò)程X（t）滿足

則X（t）被稱為馬爾可夫過(guò)程（馬氏過(guò)程）。公式（9）右端的條件分布函數(shù)

稱為馬爾可夫過(guò)程從時(shí)刻tn狀態(tài)Xn轉(zhuǎn)移到時(shí)刻tn＋k狀態(tài)Xn＋k的概率，簡(jiǎn)稱轉(zhuǎn)移概率。

從定義知，在tn時(shí)刻所處狀態(tài)已知的條件下，馬爾可夫過(guò)程在時(shí)刻tn＋k（k＞0）所處的狀態(tài)只與其在tn時(shí)刻所處狀態(tài)有關(guān)，而與其在tn時(shí)刻以前所處的狀態(tài)無(wú)關(guān)。這種特性稱為馬爾可夫過(guò)程的無(wú)后效性（馬氏性）。另外可以證明，馬爾可夫過(guò)程的統(tǒng)計(jì)特性完全由它的初始分布和轉(zhuǎn)移概率確定［13］。

馬爾可夫鏈預(yù)測(cè)是一種常用的方法，它指對(duì)于一系列相依的隨機(jī)變量，利用馬爾可夫鏈對(duì)無(wú)偏灰色模型預(yù)報(bào)值的殘差做改進(jìn)。其基本步驟可概括如下：

1）設(shè)原始數(shù)據(jù)的預(yù)報(bào)值為，狀態(tài)?i表示原始數(shù)據(jù)序列相對(duì)于預(yù)測(cè)值的偏離程度，即誤差大小，計(jì)算誤差序列的均值和均方差s，將其劃分為m個(gè)狀態(tài)，則任意狀態(tài)區(qū)間的表達(dá)式為

式中，?i1，?i2分別表示誤差區(qū)間的最小取值與最大取值。

2）根據(jù)已建立的分級(jí)標(biāo)準(zhǔn)確定各時(shí)刻誤差序列值所處的狀態(tài)。

3）計(jì)算得到不同步長(zhǎng)的馬爾可夫狀態(tài)轉(zhuǎn)移頻數(shù)矩陣，利用公式求轉(zhuǎn)移概率Pij（m），從而得到轉(zhuǎn)移概率矩陣。式中，fij為第i狀態(tài)經(jīng)一步轉(zhuǎn)移 為j狀態(tài)的頻數(shù)。

4）利用χ2檢驗(yàn)法進(jìn)行“馬氏性”檢驗(yàn)。

5）未來(lái)狀態(tài)?i和轉(zhuǎn)移概率Pij（m）確定之后，也就確定了預(yù)測(cè)誤差的變動(dòng)區(qū)間［?i1，?i2］，則預(yù)測(cè)值可按公式

計(jì)算。

6）對(duì)比預(yù)測(cè)值與實(shí)際觀測(cè)值，計(jì)算相對(duì)誤差，評(píng)價(jià)預(yù)測(cè)效果。

3 結(jié)果分析與討論

3.1 應(yīng)用無(wú)偏灰色模型進(jìn)行預(yù)測(cè)

以吉林市（蛟河站）降水量的預(yù)測(cè)為例介紹無(wú)偏灰色馬爾可夫鏈的應(yīng)用。首先依據(jù)灰色原理利用Matlab編程，根據(jù)1957 -2000年降水量預(yù)報(bào)2002-2010年的降水量，計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表1。

表1 蛟河站降水量預(yù)測(cè)結(jié)果及誤差Table 1 Results and error of predication of precipitation in Jiaohe station

由預(yù)測(cè)結(jié)果可知，利用灰色模型（GM（1，1））僅能判斷吉林市降水量多年呈遞減趨勢(shì)，預(yù)報(bào)結(jié)果相對(duì)誤差較大。因此不能直接利用該方法進(jìn)行預(yù)報(bào)，考慮用馬爾可夫鏈對(duì)誤差進(jìn)行改進(jìn)。

首先對(duì)原始數(shù)據(jù)進(jìn)行χ2檢驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)其符合“馬氏性”；然后計(jì)算預(yù)測(cè)誤差，其均值為19.57，均方差為124.94；再對(duì)誤差進(jìn)行狀態(tài)分級(jí)，依據(jù)分級(jí)標(biāo)準(zhǔn)（表2）確定2001 -2010年預(yù)測(cè)誤差值所處狀態(tài)，分別為1，4，3，2，3，2，4，3，2，5；一步狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣P1的第i行第j列元素表示由狀態(tài)i經(jīng)一步轉(zhuǎn)移至狀態(tài)j的概率，根據(jù)公式（12）計(jì)算可得。

此時(shí)便可根據(jù)公式（13），依據(jù)2001年的無(wú)偏灰色預(yù)測(cè)值及誤差狀態(tài)預(yù)報(bào)2002年的降水量；以此類推，可分別計(jì)算出2003 -2010年的降水量。計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表1。

表2 誤差狀態(tài)分級(jí)標(biāo)準(zhǔn)Table 2 Error status classification standard

通過(guò)計(jì)算，可得文中所選取的8個(gè)代表性雨量站2002 -2010年降水量預(yù)測(cè)情況，見(jiàn)圖2。

3.2 分析與討論

通過(guò)灰色模型預(yù)測(cè)結(jié)果可知：白城、乾安、長(zhǎng)春、蛟河、四平、通化6個(gè)地區(qū)降水量多年呈遞減趨勢(shì)，減幅 分 別 為 0.23%、0.09%、0.24%、1.01%、0.51%、0.54%；延吉、靖宇2個(gè)地區(qū)降水量多年呈遞增趨勢(shì)，增幅分別為2.60%、0.54%。其主要原因?yàn)椋貉蛹c靖宇位于吉林省東南部低山丘陵區(qū)，其地勢(shì)較高，地形起伏較大，水系發(fā)育，河流眾多；東南部為入海河流的發(fā)源地，水量較大，有利于水汽蒸發(fā)輸送，使氣塊能夠抬升并凝結(jié)，在小范圍的水氣循環(huán)中更易于降水的形成。

單純應(yīng)用灰色模型預(yù)測(cè)誤差較大，通過(guò)馬爾可夫鏈的改進(jìn)后，誤差明顯減小，大大提高了預(yù)測(cè)精度，使預(yù)測(cè)結(jié)果接近實(shí)測(cè)數(shù)值。筆者將預(yù)測(cè)精度等級(jí)分為4類：好、合格、勉強(qiáng)、不合格，其對(duì)應(yīng)的相對(duì)誤差（絕對(duì)值）分別為0.00～0.05，0.05～0.10，0.10～0.20，≥0.20。表3為各測(cè)站預(yù)測(cè)結(jié)果的統(tǒng)計(jì)情況，計(jì)算得知僅17%的預(yù)測(cè)結(jié)果為不合格，因此無(wú)偏灰色馬爾可夫鏈適用于吉林省各地降水量的預(yù)報(bào)。

圖2 2002 -2010年降雨量預(yù)測(cè)情況Fig.2 Predication of precipitation in 2002－2010

將8個(gè)測(cè)站的均方差與誤差（需取絕對(duì)值）均值進(jìn)行歸一化處理，見(jiàn)圖3，可見(jiàn)二者變化趨勢(shì)具有很強(qiáng)的一致性；同時(shí)利用SPSS統(tǒng)計(jì)分析軟件做相關(guān)性分析，采用Spearman分析方法計(jì)算得到相關(guān)系數(shù)為0.738，顯著水平0.037（小于0.050可以接受），說(shuō)明二者呈正相關(guān)，即時(shí)間序列的波動(dòng)性越大預(yù)測(cè)所產(chǎn)生的誤差越大，這就要求預(yù)測(cè)對(duì)象具有過(guò)程平穩(wěn)、等均值的特點(diǎn)［14］。

表3 各測(cè)站預(yù)測(cè)等級(jí)年數(shù)統(tǒng)計(jì)Table 3 Statistical date of predicting level of precipitation station

圖3 均方差與誤差均值變化趨勢(shì)圖Fig.3 Trend of mean square error and the error of the mean value

4 結(jié)論與建議

1）通過(guò)灰色模型對(duì)降水量變化趨勢(shì)的預(yù)測(cè)可知，在2002 -2010年這9年中，吉林省中西部地區(qū)降水量呈遞減趨勢(shì)，東部地區(qū)呈遞增趨勢(shì)，但變幅不大。

2）在宏觀趨勢(shì)預(yù)測(cè)方面，無(wú)偏灰色模型一定程度上消除了傳統(tǒng)模型本身固有的灰色偏差。在微觀波動(dòng)預(yù)測(cè)方面，無(wú)偏灰色馬爾可夫模型更具有抗干擾性。經(jīng)分析，無(wú)偏灰色馬爾可夫法適用于吉林省降水量的預(yù)測(cè)，精度較灰色模型法高。

3）當(dāng)降水量歷史數(shù)據(jù)波動(dòng)較大時(shí)預(yù)報(bào)精度會(huì)降低，因此擴(kuò)大樣本容量或?qū)v史數(shù)據(jù)進(jìn)行篩選、處理能一定程度上提高預(yù)報(bào)效果。

4）對(duì)未來(lái)降水量進(jìn)行預(yù)報(bào)時(shí)，可以根據(jù)已有歷史數(shù)據(jù)，重新選取樣本進(jìn)行模型構(gòu)建，重構(gòu)無(wú)偏灰色馬爾可夫鏈轉(zhuǎn)移概率矩陣，達(dá)到長(zhǎng)期的預(yù)測(cè)目的，從而為吉林省防洪抗旱工作確定方向。

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