利用地震波干涉法探求衰減結(jié)構(gòu)的理論背景

中原 恒

引言

基于地震波干涉法并利用振幅信息來推定介質(zhì)衰減構(gòu)造是否可行，已成為近年來的重大課題?；仡櫾撜n題截止到目前的研究，首先是理論探討：Snieder（2007）對衰減波動方程的相反定理進行證明，揭示了在非均勻介質(zhì)中，噪聲源只有在補償衰減效果后分布的情況下地震波干涉法才嚴密成立這一結(jié)果。Weavers（2008）應(yīng)用量子場論中的Ward恒等式與地震波干涉法的等價性，揭示了對于含有波動方程的一般線性微分方程，從場的相互作用中提取格林函數(shù)的方法。Margerin和Sato（2011）揭示了若要在非均勻的衰減性介質(zhì)中使地震波干涉法成立，那么也必須使廣義光學定理成立。不論哪一種理論都揭示出，只要滿足特定的條件，即使在衰減性介質(zhì)中，地震波干涉法也能成立。

此外，還通過數(shù)值計算進行了檢驗。例如，Cupillard和Capdeville（2010）揭示出：在考慮球狀地殼構(gòu)造的情況下，當噪聲源在地表呈空間均勻分布時，就可以正確推定其衰減，但當噪聲源為局部存在時，就無法進行正確推定了。相同的數(shù)值驗證也經(jīng)Weaver（2011）得出了結(jié)論。

在實際數(shù)據(jù)分析中，Snieder和Safak（2006）通過對同一建筑物內(nèi)不同樓層的地震記錄進行反褶積，把在建筑物內(nèi)呈上下傳播的波分離，由振幅比成功推定出了建筑物的Q值。另一方面，Prieto等（2009）基于地震波干涉法，推定了南加利福尼亞地區(qū)的衰減結(jié)構(gòu)。更嚴謹?shù)卣f，他是以物理性的直觀，根據(jù)Aki（1957）提出的非衰減性介質(zhì)中空間自相關(guān)法公式，提出了噪聲源在衰減性介質(zhì)中擴散的公式，并以此作為基礎(chǔ)。Tsai（2011）對其公式進行了理論上的探討，但這個公式是嚴密解還是近似解，仍未可知。最近，Nakahara（2012）針對一維、二維和三維的均質(zhì)衰減性介質(zhì)，已將空間自相關(guān)法的公式成功定式化。特別是基于針對二維的結(jié)果，Prieto等（2009）的公式并非嚴密解，但其在衰減較弱的情況下基本接近真實解，這已在理論上明確。在證明過程中，由于空間自相關(guān)法與地震波干涉法的理論關(guān)系起到了重要的作用，所以這部分不僅引用以往的論文，還向大家說明問題存在的客觀性。

本論文在重視理論連貫性的前提下，將采用地震波干涉法推定地下衰減構(gòu)造這一目標的理論背景進行明確。首先詳細證明衰減性介質(zhì)中的空間自相關(guān)法和地震波干涉法的理論關(guān)系式，在此基礎(chǔ)上，揭示了Prieto等（2009）提出的利用兩者之間關(guān)系推定衰減構(gòu)造的具體方法。

1 衰減性非均勻介質(zhì)中地震波干涉法的證明

首先對衰減性非均勻介質(zhì)中地震波干涉法進行證明。同時，采用以下的衰減波動方程：

式中，G是衰減波動方程式的格林函數(shù)，r是空間，t代表時間，v（r）代表速度，κ（r）代表衰減，考慮到了非均勻介質(zhì)的情況。這一方程，先被Margerin和Sato（2011）采用，然后既作為波動方程中的一例（今村，1978），又作為電報方程（Courant and Hilbert，1962）中的一例被研究。關(guān)于此方程各項物理意義，今村（1978）利用橡膠涂層包裹琴弦的振動進行了說明。根據(jù)這一說明，左邊第3項是與速度成正比的摩擦力，左邊第4項是由橡膠彈性決定的復原力。下面，證明的過程與Snieder（2007）相同，只是采用的衰減波動方程在形式上略有差異。本論文采用（1）的衰減波動方程的理由，也將在后面進行討論。Q值與頻率成正比，衰減時波形形狀不變，只有振幅發(fā)生變化，因此方程相對簡單。

將（1）式從空間—時間域變換到空間—頻率域，可得出下面的亥姆霍茲方程：

設(shè)震源為r1時，方程如下：

在頻率域采用的復共軛與時間域中的時間反轉(zhuǎn)相對應(yīng)。對于時間反轉(zhuǎn)場，若震源為r2時，

成立，其中＊代表復共軛。將（4）式與G＊的乘積和（5）式與G的乘積進行減法運算，并體積分，結(jié)果如下：

V表示體積分的積分域，對于左邊的第1項與第2項，還可以采用高斯散度定理將體積分轉(zhuǎn)變成面積分：

S為面積分的積分域，n為S的單位外法向量。綜上所述，可得出：

整理后如下式：

方程右邊，有關(guān)格林函數(shù)的方程，是利用了震源和觀測點可以互為替換的特性。鑒于無限介質(zhì)在放射條件下無限遠傳播的波動場為零，因面積分的影響可以忽略，僅用體積分就可以表示如下：

公式中，右邊的－iω表示與時間微分對應(yīng)，左邊還可以進一步替換，如下表示：

Im表示的是虛數(shù)部分，右邊再次將震源和觀測點進行替換。右邊的格林函數(shù)與其復共軛的積，是與位置r的脈沖震源觀測點r1，r2處波動場互相關(guān)的計算結(jié)果相對應(yīng)的。由公式可知，為使地震波干涉法成立（從互相關(guān)提取格林函數(shù)），在取得右邊互相關(guān)的同時，也要考慮對速度和衰減依存程度。也就是說，噪聲源的分布為2κ（r）／v（r），就是對衰減影響進行的適度補償。這在Snieder（2007）中最早被提出來。但是，在實際操作中，這種絕佳的平衡是很難達到的。特別在介質(zhì)構(gòu)造不均勻的情況下，復雜的噪聲源分布客觀存在，地震波干涉法能否嚴密地成立，還應(yīng)認真慎重地研究。

2 空間自相關(guān)法與地震波干涉法的理論關(guān)系

前面已經(jīng)對非均勻衰減性介質(zhì)中采用的地波干涉法進行了證明，接下來要探討空間自相關(guān)法與地震波干涉法之間的關(guān)系。這個問題的設(shè)立如圖1所示。首先，選取衰減性無限介質(zhì)中的兩個觀測點（三角形標記），假設(shè)噪聲源（星形標記）在介質(zhì)中呈體積分布。在這種情況下，可以對兩點間的波動場進行標準化的交叉譜分析，明確其與格林函數(shù)之間的理論關(guān)系。此外，在無衰減的情況下，由于假設(shè)平面波向觀測點各向同性入射（例如，Nakahara，2006；Sanchez－Sesma and Campillo，2006），因此必須注意條件的變化。

假設(shè)兩個觀測點的位置分別為r1、r2，這時頻率域的波動場用u（r1，ω）、u（r2，ω）表示。這兩點的波動場的標準化交叉譜C1，2（r，ω）可定義如下：

式中＜＞是樣本平均，用r＝r2－r1表示。在（12）式中取等號時，假設(shè)波動場的空間穩(wěn)定：

接下來分析由噪聲源生成的波動所構(gòu)成的波動場，可通過噪聲源光譜N（r，ω）與格林函數(shù)表示如下：

假設(shè)不同情況下的噪聲源無相關(guān)性，那么

式中，S（r）是噪聲源的分布強度，F(xiàn)（ω）是功率譜。假設(shè)所有噪聲源都具有共性，那么通過以上討論可得出：

雖然格林函數(shù)在頻率域略有扭曲，但由于SPAC法中（12）式的分母和分子可以約分，所以代入后可導出：

這就是空間自相關(guān)法與地震波干涉法相互關(guān)聯(lián)的理論關(guān)系式。也就是說，當（18）式成立時，（19）關(guān)系式也成立，但由于空間自相關(guān)法是對各頻率獨立進行計算，所以格式函數(shù)在頻率稍有扭曲也不構(gòu)成問題，與地震波干涉法相比，對條件的要求能略有寬容。另外，空間自相關(guān)法與地震波干涉法相互關(guān)聯(lián)的關(guān)系式在非衰減性介質(zhì)的情況下，已由Nakahara（2006）針對純量波以及 Sanchez－Sesma與Campillo（2006）和 Yokoi與 Margaryan（2008）針對向量波推導出來了。本研究的創(chuàng)新點在于，（19）關(guān)系式對于衰減性介質(zhì)也成立。這里特別需要強調(diào)的是有關(guān)噪聲源的分布。在非衰減性介質(zhì)中，必須是Aki（1957）中闡述的平面波入射（即遠處某噪聲源呈觀測點圍繞分布）；在衰減性介質(zhì)中，噪聲源必須呈體積分布。

3 關(guān)于Prieto等（2009）中算式的理解

前一節(jié)中針對非均勻的衰減性無限介質(zhì)，導出了空間自相關(guān)法和地震波干涉法的理論關(guān)系式。本節(jié)將基于上述結(jié)果來了解Prieto等（2009）中的算式。

目標確立，就必須要有附加條件。首先討論均勻的衰減性介質(zhì)（速度、衰減以及空間分布均勻的狀態(tài)下）。從（11）式可知，地震波干涉法嚴密成立時，要求噪聲源呈空間均勻分布狀態(tài)。也就是說κ、v都是不變的。在Nakahara（2012）中，（19）式對于均勻的衰減性無限介質(zhì)成立，已眾所周知。將（1）式的波動方程中的格林函數(shù)（參見今村，1978）代入（19）式后，就能成功地將空間自相關(guān)法擴展應(yīng)用到衰減性介質(zhì)。雖然其中包括一維、二維和三維不同情況下的特定應(yīng)用，但由于本文的目的是了解Prieto等（2009）的算式，所以僅針對二維情況下的結(jié)果進行簡單的討論。

在二維情況下，格式函數(shù)用0次的第1種漢克爾函數(shù)H（1）0（x）表示。將其帶入（19）式后，可導出以下嚴密式：

圖1 噪聲源（灰色星號）隨機空間分布的衰減性介質(zhì)模型設(shè)置。兩個臺站用實心三角表示。示意說明了三維坐標系

該算式可以進行定量評價，但很難進行深入分析。因此，要附加兩個條件：衰減要?。é剩痥?1）；觀測點之間的距離要遠大于波長（kr?1）。首先，格林函數(shù)的遠場近似如下：

而且（20）式的分母計算要使用到下面的關(guān)系式：

這與Nakahara（2012）的（27）式相對應(yīng)，但在弱衰減的近似計算中，格林函數(shù)要展開到κ／k的一次項為止，而且要取0次貝塞爾函數(shù)與一次紐曼函數(shù)參數(shù)設(shè)為零時的極限。利用以上算法，當只剩下κ／k的一次項后，由（20）可導出：

這里的J0（x）、Y0（x）分別是0次的貝塞爾函數(shù)、紐曼函數(shù)。算式的 ［ ］中，若滿足條件κ／k?1，那么就能導出下面Prieto等（2009）的算式：

綜上所述，對于（20）式的嚴密解來說，只要滿足衰減小、觀測點間距遠遠大于波長這兩個假設(shè)條件，理論上就能夠?qū)С鯬rieto等（2009）的算式。

4 討論

首先，要討論本研究的理論制約條件?？臻g自相關(guān)法與地震波干涉法的理論關(guān)系式（19），是在設(shè)定（1）式的衰減波動方程后，針對非均勻衰減性無限介質(zhì)導出的結(jié)果。要使這一結(jié)果成立，地震波干涉法也必須成立，要求噪聲源的分布能夠滿足較好補償衰減影響這一條件。當這一條件無法滿足時，就會出現(xiàn)假象。事實上，噪聲源的分布與所要探知的地下構(gòu)造有著復雜的聯(lián)系，由此可見，確認噪聲源分布的有效性并非易事。當然，噪聲源的分布要針對衰減性介質(zhì)和非衰減性介質(zhì)分情況考慮。但是，對于非衰減性介質(zhì)，我們都知道，像Aki（1957）那樣利用圓排列來計算方位角平均，就能夠消除假象。但是，對于衰減性介質(zhì)，即使利用圓排列也無法消除噪聲源分布的不均勻性。這就是（11）式有必要對噪聲源進行體積分的原因，因為通過方位角平均可以除去方位角方向的非均勻介質(zhì)，卻無法去除徑向方向的非均勻介質(zhì)。

接下來，（20）關(guān)系式是針對均勻衰減性介質(zhì)，由假定的衰減波動方程（1）推導出來的。（1）式只是衰減波動方程的形式之一，Snieder（2007）和 Tsai（2011）中所采用的波動方程去掉了（1）式的左邊最后一項。這種不同取決于Q值與頻率之間的依賴關(guān)系（Nakahara，2012）。算式（1）中，Q 值與頻率成正比，波形無變化，只有振幅有變化，所以是最簡單的情況。Snieder（2007）中采用的減衰波動方程式，由于Q值與頻率之間的依賴關(guān)系較復雜，所以解析起來很難。僅當衰減κ很小時，兩者的差異由于與κ2成正比，所以可以忽略不計。若能將衰減波動方程順利地轉(zhuǎn)換成線形微分方程，如Sato等（2012）所指出的那樣，利用Resalvent公式就可證明地震波干涉法的成立，但是若一般情況下Q值與頻率之間的依存關(guān)系無規(guī)律可循時，證明起來就會相當麻煩。

在本研究中，針對均勻衰減性介質(zhì)，在假設(shè)衰減很弱且觀測點間距遠遠大于波長的基礎(chǔ)上就能夠推導出Prieto等（2009）的算式。Nakahara（2012）針對衰減κ＝0.01k（Q＝50）和κ＝0.1k（Q＝5）兩種情況，在0≤kr≤10的范圍內(nèi)，對三個算式（20）、（23）、（24）對行了比較。確定了不論哪種情況下，當kr≠0時，三個算式在5%范圍內(nèi)均存在一致性。也就是說，當衰減很弱時（κ≤0.1k），Prieto等（2009）的算式結(jié)果是十分接近的。Prieto等（2009）利用周期在7.5s到20s區(qū)間，觀測點間距在500km以內(nèi)的數(shù)據(jù)進行了解析。相關(guān)參數(shù)如表1所示，kr的最大值為45～140，衰減系數(shù)與κ＝0.002k—0.01k相對應(yīng)。圖2是當κ＝0.01k和κ＝0.1k時，將（20）、（23）、（24）式的極小值（負值）絕對值與極大值用直線連結(jié)的包絡(luò)線用對數(shù)表示后的結(jié)果。這與Prieto等（2009）的圖6相對應(yīng)。由此可見，衰減的大小在kr?1的范圍內(nèi)可通過曲線的斜率進行推斷。此外，通過圖2的雙圖可知，3個公式幾乎一致。通過表1我們能夠確定，在左圖κ＝0.01k且逐漸減少的情況下，Prieto等（2009）的解析可以在近似成立的范圍內(nèi)進行。

表1 Prieto等（2009）使用的參數(shù)

圖2 包絡(luò)線歸一化互譜與歸一化臺站間距kr關(guān)系。方程（20）、（23）和（24）的包絡(luò)線分別用實線、點線和虛線表示。к＝0.01k（左圖）和к＝0.1k（右圖）

另一方面，近期Lawrence和Prieto（2011）基于Prieto等（2009）的算式，在美國西部對衰減構(gòu)造進行了層析成像研究。但是，一定要注意，采用的公式是針對均質(zhì)構(gòu)造進行理論推導的結(jié)果。在非均質(zhì)構(gòu)造情況下，不能采用（20）式，要在（19）式中針對非均質(zhì)構(gòu)造使用格林函數(shù)進行計算，但現(xiàn)在這方面的理論研究還不是很充分。也就是說，針對非均勻介質(zhì)的衰減構(gòu)造，基于（24）式進行衰減成像的合理性，今后還有必要進一步驗證。

5 結(jié)論

本論文對利用地震波干涉法推定衰減構(gòu)造的理論背景進行了考察。針對非均勻衰減性介質(zhì)的地震波干涉法進行了探討，證明了地震波干涉法在僅當噪聲源的分布能很好補償衰減時嚴密成立。進一步導出了空間自相關(guān)法與地震波干涉法的理論關(guān)系。在那之后，為進一步理解Prieto等（2009）的內(nèi)容，近來對采用空間自相關(guān)法推定衰減構(gòu)造的方法進行了檢查。其結(jié)果是：這一公式是針對均勻衰減性介質(zhì)，在衰減小且觀測點間距遠遠大于波長的情況下導出的是近似式。這一結(jié)果對空間自相關(guān)法和地震波干涉法的理論關(guān)系影響重大?；谶@一結(jié)果，Prieto等（2009）的公式也應(yīng)該適用于相對均勻的介質(zhì)。在非均質(zhì)領(lǐng)域中，層析成像的合理性還未明確，今后還要進行必要的理論探討。