失諧耦合擺運(yùn)動(dòng)規(guī)律的研究

陳 偉，劉 明，葛帥良，劉 芬，王愛芳

(山東大學(xué)，山東 威海 264209)

耦合擺是物理學(xué)中的一個(gè)重要的學(xué)習(xí)模型，有助于加深學(xué)生對(duì)耦合振動(dòng)的認(rèn)識(shí)和理解，也是大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)中一個(gè)重要的實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目。但是，在實(shí)際使用耦合擺時(shí)，因?yàn)殡p擺的質(zhì)量差異、彈簧兩端點(diǎn)的高度位置差異和彈簧的自然長度與雙擺間的距離差異等因素的存在，使得通常情況下耦合雙擺容易存在誤差。因此有必要考慮物理量的失調(diào)對(duì)雙擺運(yùn)動(dòng)規(guī)律的調(diào)制。錢斌等人對(duì)不同質(zhì)量的耦合擺運(yùn)動(dòng)規(guī)律進(jìn)行了討論［1-2］，路峻嶺等人對(duì)起耦合作用的彈簧進(jìn)行了改進(jìn)［3］，本文主要討論傾斜的彈簧對(duì)雙擺運(yùn)動(dòng)規(guī)律的影響。

1 傾斜的彈簧對(duì)耦合擺角頻率的影響

1.1 耦合擺振動(dòng)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)分析

圖1 傾斜的彈簧作用下的失諧擺

圖1為一個(gè)簡單失諧耦合擺系統(tǒng)，該系統(tǒng)由一勁度系數(shù)為k的彈簧弱耦合起來，兩個(gè)擺的質(zhì)量均為m，擺線總長均為L，其中，右擺耦合長度由l變?yōu)閘(1－ε)，ε反映了彈簧的傾斜情況，稱為傾斜因子，取向上為正。略去阻尼影響，取擺偏離平衡位置的角度分別為θ1、θ2，并以偏右為其正方向，取懸掛點(diǎn)水平線為零勢能線，則有

耦合擺動(dòng)能:

耦合擺的勢能為重力勢能V1和彈性勢能V2之和，即 V=V1+V2。其中，重力勢能 V1=－mgL cosθ1－ mgL cosθ2，由于 θ1、θ2很小，即sinθ1≈θ1，cosθ1≈1;sinθ2≈ θ2，cosθ2≈ 1，故有 V1≈－2mgL。

彈性勢能:

故雙擺總勢能:

由公式(1)－(2)可得系統(tǒng)的拉格朗日函數(shù):

由(4)和(5)式，知道:當(dāng)ε=0時(shí)，由于對(duì)稱性，則左、右兩擺的振動(dòng)狀態(tài)僅由初始條件(同相位運(yùn)動(dòng)或者反相位運(yùn)動(dòng))決定，此時(shí)是諧振狀態(tài)的耦合擺;當(dāng)ε≠0時(shí)，左、右兩擺的振動(dòng)狀態(tài)由初始條件和ε大小共同決定，并且隨著ε的變化，左、右兩擺的振動(dòng)頻率ω1和ω2改變幅值不同，此時(shí)耦合擺處于失諧狀態(tài)。

1.2 失諧耦合擺的數(shù)值模擬

下面用Fortran編程模擬雙失諧耦合擺的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。在程序中取勁度系數(shù)k=1.45 N/m，L=0.6 m，l=0.25 m，m=0.75 kg;傾斜因子 ε 取值范圍為 －2.5/25 ～ 2.5/25 cm，步長為0.5/25cm;取時(shí)間間隔τ=0.01 s，把30 s離散為3000個(gè)時(shí)間點(diǎn)。取ε為外生變量，繪出兩個(gè)擺瞬時(shí)角頻率之差ω1－ω2與時(shí)間t的關(guān)系曲線。圖2(a)和(b)中每條曲線代表不同的ε值對(duì)ω1－ω2的影響。(a)中ε取值范圍為正值［0，2.5/50］，(b)中ε取值范圍為負(fù)值［－2.5/50，0］。隨著 |ε|值的增大，ω1－ω2的值逐漸增大，即耦合擺的失諧程度增強(qiáng);當(dāng)ε=0時(shí)，ω1－ω2=0不隨時(shí)間變化，說明此時(shí)為諧振狀態(tài)的耦合擺。

圖2 雙擺的簡正頻率差值隨時(shí)間t的變化關(guān)系

1.3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

為進(jìn)一步確定失諧耦合擺在不同傾斜彈簧下對(duì)耦合擺的作用，實(shí)驗(yàn)測量了雙擺的振動(dòng)周期。在實(shí)驗(yàn)中，令左、右擺反向擺動(dòng)，且初始角θ10=－θ20＞0，初始角速度ω10=ω20=0，探究不同傾斜因子對(duì)兩擺振動(dòng)周期的影響。左、右擺的平均角速度ω1和ω2隨彈簧傾斜因子ε的變化曲線見圖3。

圖3 反向振動(dòng)情況下傾斜因子e對(duì)雙擺角頻率ω1和ω2的影響

隨著傾斜因子的增大，右擺上的彈簧自下向上移動(dòng)，雙擺的平均振動(dòng)角速度逐漸增大。而且平均角速度的增幅隨著ε的增大而減小，當(dāng)ε＜0時(shí)，即彈簧傾角向下的時(shí)候，對(duì)角頻率的影響較大。

2 彈簧的等效平衡

上述所討論的是失諧的一個(gè)簡化模型，要想使得雙擺再次諧振，必須添加另外的裝置使系統(tǒng)重新諧振。在本文中，嘗試增加另外一根性能完全一致的彈簧2抵消此失諧對(duì)耦合振動(dòng)的影響，鑒于彈簧的傾斜度對(duì)角頻率的影響是非線性的，故不能簡單地確定彈簧2的位置，下面將對(duì)雙傾斜彈簧作用的雙擺進(jìn)行運(yùn)動(dòng)分析。

2.1 耦合擺振動(dòng)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)分析

圖4所示為一個(gè)連接兩根彈簧的耦合雙擺系統(tǒng)，設(shè)該系統(tǒng)由兩個(gè)相同的勁度系數(shù)為k的彈簧弱耦合起來，兩個(gè)擺的質(zhì)量均為m，擺長均為L，則右擺耦合長度由 l分別變?yōu)?l(1－ε2)和l(1－ε1)，取向上為正。取擺偏離平衡位置的角度分別為θ1、θ2，并以偏右為其正方向，懸掛點(diǎn)水平線為零勢能線，由拉格朗日方法同理可得左、右擺的運(yùn)動(dòng)方程為:

圖4 雙彈簧作用下的耦合雙擺

由(6)和(7)兩式，當(dāng)ε1= ε2=0時(shí)，兩彈簧的作用可以等效為一根水平彈簧的作用效果，此時(shí)為諧振狀態(tài)的耦合擺;當(dāng)ε1=ε2≠0時(shí)，左、右兩擺的振動(dòng)狀態(tài)由初始條件和雙彈簧的傾斜因子的大小共同決定，此時(shí)左、右兩擺的角頻率不相同;當(dāng)ε1≠ε2時(shí)，隨著ε1和ε2的變化，左、右兩擺的振動(dòng)角頻率將有更復(fù)雜的變化。

2.2 雙彈簧耦合擺的數(shù)值模擬

圖5 不同ε2值作用下的雙擺振動(dòng)角頻率差值ε1=2.5/25 保持不變

用Fortran編程求解雙彈簧作用下耦合擺的振動(dòng)角頻率隨時(shí)間的變化，在程序中勁度系數(shù)k、擺長L、耦合長度l、擺的質(zhì)量m的取值仍然取 1.1中的數(shù)值;傾斜因子 ε1取定為 2.5/25，ε2的取值為 － 2.5/25 ～ 0.0/25，計(jì)算步長為0.5/25;時(shí)間間隔 τ =0.01 s，把30 s離散為3000個(gè)時(shí)間點(diǎn)。固定ε1，取ε2為外生變量，計(jì)算得出角頻率差值ω1－ω2隨時(shí)間的變化關(guān)系如圖5所示，圖中每條曲線代表不同的ε2對(duì)ω1－ ω2的影響。ε2的取值范圍為［－2.5/50，0］。根據(jù)圖5中模擬的結(jié)果也能看出傾斜因子的改變對(duì)雙擺振動(dòng)角頻率的影響是非線性的。由圖可知，當(dāng)ε2取 －2.3/25時(shí)，ω1－ ω2=0且隨時(shí)間的變化最小，此時(shí)可以視為諧振的耦合擺。并且由諧振時(shí)，ε2= －2.3/25 ＜ ε1可知，彈簧1的傾斜角大于彈簧2的傾斜角，所以相同大小的傾斜因子，取負(fù)值時(shí)對(duì)角頻率的改變量較取正值時(shí)大，與1.3中的實(shí)驗(yàn)結(jié)論相吻合。

2.3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

根據(jù)上文模擬數(shù)值的結(jié)果，可以得出，要想使得雙傾斜彈簧作用的耦合擺達(dá)到標(biāo)準(zhǔn)耦合擺的振動(dòng)效果，兩個(gè)彈簧的傾斜因子之間需要滿足條件－ε1＜0。在接下來的實(shí)驗(yàn)中，令雙擺由相同的初始角度(θ10=θ20)擺下，初始角速度ω10=ω20=0，固定左耦合長度l和ε1不變，將ε2的值由零逐漸增大，測量兩擺振動(dòng)規(guī)律。圖6給出了左右擺的振動(dòng)角頻率之差ω2－ω1隨二者的傾斜因子之差ε2－ε1變化的關(guān)系，由結(jié)果容易發(fā)現(xiàn)當(dāng)兩彈簧傾斜因子相同，即ε2－ε1=0時(shí)，左右擺并非諧振耦合擺，只有當(dāng)－ε1＜0時(shí)，雙擺的振動(dòng)角頻率才可能相等。因此，當(dāng)彈簧2與彈簧1對(duì)稱偏上的位置時(shí)，ε2補(bǔ)償因ε1的存在而引起的耦合擺的失調(diào)是可以實(shí)現(xiàn)的。此時(shí)，兩根彈簧的作用效果等效于一根水平彈簧的作用效果。［7-8］

圖6 雙彈簧連接時(shí)傾斜因子之差ε1－ε2對(duì)ω2－ω1的影響

3 結(jié) 論

本文利用拉格朗日方法、數(shù)值模擬和實(shí)驗(yàn)測量研究了傾斜彈簧作用下的耦合擺的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，當(dāng)雙擺之間連接一根傾斜彈簧時(shí)，左右擺的角頻率ω1和ω2隨傾斜因子的變化并非以相同幅值改變，并且當(dāng)彈簧傾角向下時(shí)較傾角向上時(shí)對(duì)振動(dòng)角頻率的影響大。對(duì)于雙傾斜彈簧作用下的雙擺，可以通過采取補(bǔ)償?shù)姆椒ㄕ{(diào)節(jié)耦合擺的振動(dòng)，并且雙彈簧傾斜因子在滿足一定的條件時(shí)，能夠?qū)崿F(xiàn)將非諧振雙擺調(diào)至諧振狀態(tài)。在實(shí)際應(yīng)用中，可以借助雙根彈簧共同調(diào)節(jié)和穩(wěn)定耦合振動(dòng)儀表，為提高測量精度提供新的可調(diào)節(jié)手段。

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