根據(jù)震源機(jī)制迭代聯(lián)合反演應(yīng)力和斷層取向

V.Vavryuk

引言

目前人們提出了幾種根據(jù)地震震源機(jī)制確定構(gòu)造應(yīng)力的方法（參見(jiàn) Maury et al，2013）。最普遍應(yīng)用的方法為 Michael（1984）、Gephart與Forsyth（1984）、Angelier（2002）提出并由Lund與Slunga（1999）、Hardebeck與 Michael（2006）、Arnold 與Townend（2007）、Maury等（2013）及他人修改和發(fā)展的方法。這些方法通常假定：（1）構(gòu)造應(yīng)力在區(qū)域內(nèi)均勻；（2）地震發(fā)生在方位變化的先期存在斷層上；（3）滑動(dòng)向量表明斷層上剪應(yīng)力的方向（所謂的 Wallace－Bott假 設(shè)；參 見(jiàn) Wallace 1951；Bott，1959）。如果上述假定得到滿足，應(yīng)力反演方法就能確定應(yīng)力張量的4個(gè)參數(shù)：確定主應(yīng)力方向的3個(gè)角度σ1、σ2、σ3和形狀比R（Gephart and Forsyth，1984）：

這些方法不能反演應(yīng)力張量的另外兩個(gè)參數(shù)。因此應(yīng)力張量的跡通常假定為零（Michael，1984）：

并且應(yīng)力張量是歸一化的。

然而，由震源機(jī)制反演應(yīng)力要面對(duì)一個(gè)共同的基本麻煩。為了應(yīng)用Wallace－Bott假設(shè)，應(yīng)力反演需要確定哪個(gè)節(jié)面為斷層。這是困難的，通常需要一些額外的信息（如，地質(zhì)證據(jù)或震源叢集的指示），因?yàn)檎鹪礄C(jī)制固有的模糊性不能區(qū)分?jǐn)鄬雍洼o助節(jié)面。不幸的是，如果斷層和輔助面在應(yīng)力反演中交換，結(jié)果會(huì)有偏差且不正確。由于這個(gè)原因，Lund和Slunga（1999）提出應(yīng)用所謂的斷層不穩(wěn)定性約束，并用給定應(yīng)力場(chǎng)中更不穩(wěn)定的那個(gè)節(jié)面確定斷層。采用該準(zhǔn)則，他們修改了Gephart和Forsyth（1984）的方法并提高了其效率。本文按照同樣的方式修改Michael（1984）的方法。這樣就導(dǎo)致應(yīng)力不再像Michael初始的方法那樣一步計(jì)算出，而是以迭代方式計(jì)算出。迭代過(guò)程需要區(qū)分?jǐn)鄬用?，并需要確定更準(zhǔn)確的應(yīng)力場(chǎng)。我們用數(shù)值試驗(yàn)表明，迭代聯(lián)合反演應(yīng)力和斷層取向的方法較Michael方法更穩(wěn)健，并且能夠得到更準(zhǔn)確的形狀比值。最后，采用克里特島中部和捷克共和國(guó)波希米亞西部震群的實(shí)際數(shù)據(jù)驗(yàn)證了所提反演方法的運(yùn)行效率。

1 MICHAEL方法

Michael（1984）提出的應(yīng)力反演方法采用斷層上的正應(yīng)力σn和剪應(yīng)力τ表達(dá)式：

式中δik為克羅內(nèi)克符號(hào)，T為沿?cái)鄬拥臓恳?，n為斷層法向，N為斷層剪應(yīng)力矢量的單位向量。隨后，（4）式修改為：

為了能估計(jì)（4）式右邊，Michael（1984）采用了Wallace－Bott假設(shè)并把沿?cái)鄬拥募魬?yīng)力方向N看作是剪切運(yùn)動(dòng)的滑動(dòng)方向s。他進(jìn)一步假定活動(dòng)斷層上的剪應(yīng)力τ對(duì)所有地震具有相同的值。因?yàn)樵摲椒ú荒艽_定絕對(duì)應(yīng)力值，τ在（5）式中歸一化為1。其后，（5）式寫成矩陣形式為：

式中t為應(yīng)力分量的向量。

A為根據(jù)斷層法向n計(jì)算的3×5矩陣，

s為滑動(dòng)向量的單位方向。將（8）式擴(kuò)展為已知斷層法向n和滑動(dòng)方向s的K 個(gè)地震震源機(jī)制，我們得到應(yīng)力張量的5個(gè)未知分量的3 K個(gè)線性方程組。最后，聯(lián)合（2）式，采用L2范數(shù)的廣義線性反演（Lay and Wallace，1995的6.4節(jié)）得到

根據(jù)以上方程，Michael方法的基本缺陷為需要知道斷層的取向（Michael，1987）。如果Michael方法采用不正確的斷層面取向，得到的應(yīng)力張量的準(zhǔn)確性就會(huì)降低。Michael（1987）進(jìn)行了一系列的數(shù)值試驗(yàn)并發(fā)現(xiàn)，形狀比很容易被扭曲。另一方面，該方法運(yùn)行速度很快，并能重復(fù)運(yùn)行。因此解的置信范圍可以根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)的重取樣方法估計(jì)（Michael，1987）。如果震源機(jī)制的斷層面取向未知，每個(gè)節(jié)面在重取樣過(guò)程中有50%被選為斷層的概率。

2 斷層不穩(wěn)定性約束

震源機(jī)制中斷層面的模糊性在其他的應(yīng)力反演方法中也引起了困難。例如，Gephart和Forsyth（1984）提出的計(jì)算斷層面上剪應(yīng)力牽引方向與斷層滑動(dòng)方向的方法是對(duì)兩個(gè)節(jié)面均做為斷層面進(jìn)行試算，選擇產(chǎn)生較小剪應(yīng)力牽引方向和斷層滑動(dòng)方向偏離較小的節(jié)面為斷層面。這種處理策略對(duì)于無(wú)噪聲數(shù)據(jù)容易求解，但不正式，并且對(duì)于有噪聲的實(shí)際數(shù)據(jù)效率較低（參見(jiàn)Lund and Slunga，1999）。Michael（1987）評(píng)述了一些其他‘?dāng)鄬舆x擇算法’并在斷層滑動(dòng)數(shù)據(jù)集進(jìn)行了檢測(cè)。他也提到采用斷層破裂準(zhǔn)則的可能性。Lund和Slunga（1999）進(jìn)一步詳盡說(shuō)明這種方法，他們分析應(yīng)力場(chǎng)中兩個(gè)節(jié)面的取向，發(fā)現(xiàn)兩個(gè)節(jié)面之一穩(wěn)定性更差，并且更容易受到剪切斷層活動(dòng)的影響。這種對(duì)破裂的敏感性采用莫爾―庫(kù)侖破裂準(zhǔn)則來(lái)量化（參見(jiàn)圖1）。根據(jù)該準(zhǔn)則（Beeler et al，2000；Scholz，2002；Zoback，2010），激活斷層上的剪切牽引力τ必須超過(guò)臨界值τc，τc根據(jù)內(nèi)聚力C、斷層摩擦系數(shù)μ、正應(yīng)力σn和孔隙壓力p計(jì)算，即：

式中

斷層面就是庫(kù)侖破裂應(yīng)力Δτ具有較大值的節(jié)面。在估計(jì)（10）式的過(guò)程中，我們需要（11）式中的摩擦系數(shù)μ。內(nèi)聚力C和孔隙壓力p并不需要，因?yàn)槲覀儽容^的是應(yīng)力的相對(duì)差別。裂紋的摩擦系數(shù)μ在實(shí)驗(yàn)室的巖石樣品中測(cè)定，范圍多數(shù)在0.6～0.8之間（Byerlee，1978）。地殼斷層的摩擦系數(shù)值是相似的（Vavrycˇuk，2011），但對(duì)于一些大尺度斷層，如圣安德烈斯斷層，也有0.2～0.4的較低值的報(bào)道（Scholz，2002）。

圖1 莫爾－庫(kù)侖破裂準(zhǔn)則。τ和σ分別為剪切和有效正應(yīng)力；σ1、σ2和σ3為有效主應(yīng)力。紅區(qū)（原圖為彩色圖——譯注）表示滿足莫爾―庫(kù)侖破裂準(zhǔn)則的可能斷層面取向。藍(lán)點(diǎn)表示應(yīng)力張量最優(yōu)取向主斷層，C表示內(nèi)聚力。圖的上、下半平面對(duì)應(yīng)于共軛斷層

圖2 斷層不穩(wěn)定性在莫爾圓中的定義。紅色實(shí)心圓（原圖為彩色圖——譯注）標(biāo)出主斷層上失穩(wěn)特征I＝1的牽引力。黑色實(shí)心圓標(biāo)出任意取向斷層上不穩(wěn)定性為I的牽引力

牽引力τ和τc在（10）和（11）式中總假定為正，因此原則上，僅繪出圖1中莫爾圓的上半平面就足夠了（參見(jiàn)Jaeger et al，2007，圖4.9；Zoback，2010，圖5.9）。按下列方式考慮剪切牽引力τ的符號(hào)可以獲得整個(gè)莫爾圓：

式中N為沿?cái)鄬拥募羟袪恳Ζ拥姆较颍琫（3）為最小主應(yīng)力的方向。繪出整個(gè)莫爾圓對(duì)于區(qū)分共軛斷層更方便（參見(jiàn)圖1的左圖）。

區(qū)分?jǐn)鄬用娴牧硪环N方法是估計(jì)Vavrycˇuk等（2013，式3）提出的斷層不穩(wěn)定性I：

式中τc及σc為最優(yōu)取向斷層面的剪切牽引力和有效正應(yīng)力（圖2的紅點(diǎn)），τ和σ為所分析斷層面上的剪切牽引力和有效正應(yīng)力（圖2的黑色實(shí)心圓）。因?yàn)椋?3）式與絕對(duì)應(yīng)力值不相關(guān)，斷層不穩(wěn)定性I僅由摩擦系數(shù)μ、形狀比R及定義為斷層面與主應(yīng)力偏離的方向余弦n來(lái)估計(jì)。如果我們按下式規(guī)定應(yīng)力張量：

式中正值表示壓縮，我們得到

并最終得到

式中

圖3 應(yīng)力反演數(shù)值試驗(yàn)所用的數(shù)據(jù)例子。該圖給出了滿足莫爾—庫(kù)侖破裂準(zhǔn)則的200個(gè)無(wú)噪聲震源機(jī)制數(shù)據(jù)。左右兩邊的圖為全部和減少震源機(jī)制多樣性的數(shù)據(jù)組。（a，b）莫爾圓圖；（c，d）P／T軸；（e，f）對(duì)應(yīng)節(jié)面。在（c）和（d）圖中，P軸用紅色圓圈（原圖為彩色圖——譯注）標(biāo)示，T軸用藍(lán)色十字標(biāo)示。在（c）中P／T軸組成了所謂的蝴蝶兩翼，（d）中為一翼，參見(jiàn)Vavrycˇuk（2011）。應(yīng)力軸σ1、σ2 和σ3 的方位角和傾角分別為：115°／65°，228°／10°和322°／23°。形狀比R為0.7，內(nèi)聚力C為0.85，孔隙壓力p為0，摩擦系數(shù)μ為0.6

因子R為（1）式所定義的形狀比，n為主應(yīng)力方向坐標(biāo)系中表示的斷層法向。斷層不穩(wěn)定性I范圍為0（最穩(wěn)定斷層）到1（最不穩(wěn)定斷層）。最不穩(wěn)定斷層為剪切斷層活動(dòng)的最優(yōu)取向斷層（圖2中的紅色實(shí)心圓），稱作主斷層（Vavrycˇuk，2011）。注意（16）式表達(dá)的斷層不穩(wěn)定性與Vavrycˇuk等（2013，式6）似乎不同，原因是那里的正應(yīng)力表示拉張，而不是本文中定義的壓縮。

3 迭代應(yīng)力反演

Lund和Slunga（1999）將斷層不穩(wěn)定性約束用于Gephart和Forsyth（1984）的應(yīng)力反演，提高了該方法的效率。這里我們將該約束用于 Michael（1984）的方法。因?yàn)镚ephart和Forsyth的算法為非線性算法，擬合差采用網(wǎng)格求得，斷層不穩(wěn)定性約束可以方便地用于擬合每次應(yīng)力的估計(jì)中。相對(duì)于Gephart和Forsyth的方法，Michael的方法為線性的，引入斷層不穩(wěn)定性約束會(huì)使應(yīng)力反演只能迭代求解。首先，采用標(biāo)準(zhǔn)的Michael方法，不考慮約束及斷層面取向的任何信息。找到主軸方向和形狀比后，用這些值估計(jì)所有震源機(jī)制節(jié)面（16）式的不穩(wěn)定性。斷層面就是穩(wěn)定性較差的節(jié)面。在第一次迭代過(guò)程中的斷層面取向用在第二次迭代的Michael方法中。這種步驟持續(xù)進(jìn)行直至應(yīng)力收斂于最優(yōu)值。

圖4 主應(yīng)力方向（左圖）和形狀比（右圖）作為震源機(jī)制數(shù)目和噪聲水平函數(shù)的平均誤差。采用減少震源機(jī)制多樣性的數(shù)據(jù)（單翼數(shù)據(jù)）進(jìn)行反演。上圖：Michael方法；下圖：迭代反演方法。應(yīng)力方向誤差為真實(shí)應(yīng)力軸和反演應(yīng)力軸的平均值。誤差在50次隨機(jī)重復(fù)反演中進(jìn)一步平均。應(yīng)力方向的誤差單位為度，形狀比的誤差單位為百分比

當(dāng)用（16）式估計(jì)斷層不穩(wěn)定性時(shí)，需要摩擦系數(shù)μ的值。正如前面所提到的，斷層摩擦系數(shù)范圍在0.2～0.8之間，但通常是未知的。然而數(shù)值試驗(yàn)表明，反演對(duì)摩擦系數(shù)μ相當(dāng)不敏感，因此在反演中給定摩擦系數(shù)為平均值，比如0.6即可。另外一種方法是選用不同的摩擦系數(shù)進(jìn)行反演，選取能夠產(chǎn)生反演數(shù)據(jù)的斷層的總體具有最高不穩(wěn)定性的摩擦系數(shù)。這種方法用于后面的合成數(shù)據(jù)測(cè)試及實(shí)際數(shù)據(jù)的應(yīng)用中。

4 精確度測(cè)試

迭代應(yīng)力反演的穩(wěn)健性和準(zhǔn)確性可以采用數(shù)值模擬來(lái)檢驗(yàn)。我們給出自20到200的不同震源機(jī)制數(shù)的數(shù)值試驗(yàn)表現(xiàn)。選擇的震源機(jī)制滿足莫爾—庫(kù)侖準(zhǔn)則（參見(jiàn)圖3）。而后，矩張量采用其范數(shù)的0～100%均勻噪聲進(jìn)行污染。這里的范數(shù)采用矩張量本征值的絕對(duì)最大值（所謂的 “譜范數(shù)”）來(lái)計(jì)算。矩張量的噪聲分解到被污染的震源機(jī)制的走向、傾角和滑動(dòng)角之中，采用這些震源機(jī)制反演應(yīng)力場(chǎng)。實(shí)際斷層法向和含有噪聲的斷層法向的偏離值范圍為0°到35°。因?yàn)橛糜诜囱莸恼鹪礄C(jī)制根據(jù)矩張量計(jì)算，因此沒(méi)有從兩個(gè)節(jié)面中區(qū)分?jǐn)鄬用娴男畔?。采?0次加入隨機(jī)噪聲，并采用震源機(jī)制兩種類型的子集進(jìn)行重復(fù)反演。第一個(gè)子集包含投影到莫爾圓圖的上半平面和下半平面（圖3a）。根據(jù) Vavrycˇuk（2011），P／T 軸組成了所謂的 “蝴蝶兩翼”模式（圖3c）。第二個(gè)數(shù)據(jù)子集包含了相同的震源機(jī)制數(shù)，但它們的多樣性大大減少。選擇的震源機(jī)制僅投影到莫爾圓的上半平面（圖3b），并在P／T軸繪圖中僅占了一翼（圖3d）。各種不同噪聲的兩組數(shù)據(jù)反演的主應(yīng)力方向和形狀比與真值進(jìn)行比較，并估計(jì)誤差（參見(jiàn)圖4，5）。與此相似，反演過(guò)程從節(jié)面中識(shí)別的斷層也與真值進(jìn)行比較，從而估計(jì)成功識(shí)別率（參見(jiàn)圖6）。

為了避免不穩(wěn)定性約束中摩擦系數(shù)對(duì)反演的影響，按照間隔為0.05自0.2到1.2的摩擦系數(shù)，重復(fù)多次反演。每次反演中識(shí)別出的斷層的總體不穩(wěn)定性在反演中可以給出。能夠產(chǎn)生最高總體斷層不穩(wěn)定性的摩擦系數(shù)看作最優(yōu)值。

圖5 與圖4標(biāo)注相同，但對(duì)應(yīng)的是完全震源機(jī)制多樣性的數(shù)據(jù)組（兩翼數(shù)據(jù)）

圖6 采用迭代反演得到的斷層成功識(shí)別率（左圖）及摩擦系數(shù)誤差（右圖）隨震源機(jī)制數(shù)目和噪聲水平的變化。上圖：減少震源機(jī)制多樣性的結(jié)果。下圖：完全震源機(jī)制多樣性結(jié)果。這些值是由50次隨機(jī)噪聲實(shí)現(xiàn)計(jì)算的。識(shí)別成功率為正確識(shí)別斷層的相對(duì)數(shù)目

數(shù)值試驗(yàn)表明，應(yīng)力反演的準(zhǔn)確性根據(jù)反演中所用的震源機(jī)制數(shù)目變化和數(shù)據(jù)的噪聲水平而變化。Michael方法和迭代反演方法對(duì)于斷層法向和滑動(dòng)方向誤差為20°的20個(gè)污染的震源機(jī)制數(shù)據(jù)均能得到誤差小于12°的主軸方向（參見(jiàn)圖4和圖5的左圖）。對(duì)于更準(zhǔn)確的震源機(jī)制或更大的數(shù)據(jù)集，精確度會(huì)更高。兩種方法的差別幾乎看不到，迭代方法對(duì)于較低噪聲水平的數(shù)據(jù)的結(jié)果精度略高。其理由比較簡(jiǎn)單。如果斷層沒(méi)有識(shí)別出，Michael反演永遠(yuǎn)不能得到正確的應(yīng)力方向，即使是采用大量無(wú)噪聲的震源機(jī)制數(shù)據(jù)也是如此。相對(duì)而言，迭代應(yīng)力反演克服了這種缺陷，因?yàn)閿鄬尤∠蛟诘^(guò)程中確定。然而，Michael方法和迭代聯(lián)合反演方法的明顯差別表現(xiàn)在形狀比的確定上（參見(jiàn)圖4和圖5的右圖）。即使采用大量的無(wú)噪聲震源機(jī)制數(shù)據(jù)，得到的形狀比的平均誤差差不多為Michael反演誤差的20%。采用有噪聲的震源機(jī)制數(shù)據(jù)誤差會(huì)更大。除了反演震源機(jī)制的數(shù)目較少和噪聲較大的情況，迭代方法得到的平均誤差小10%。

另外，迭代反演方法能夠區(qū)分震源機(jī)制中的斷層面及斷層的總體摩擦系數(shù)。圖6（左圖）表明，采用單翼平均誤差為15°的噪聲震源機(jī)制數(shù)據(jù)，斷層識(shí)別正確率大于85%。對(duì)于雙翼震源機(jī)制，成功率達(dá)90%。估計(jì)的摩擦系數(shù)的值對(duì)于相同類型的數(shù)據(jù)精度為10%～15%（圖6，右圖）。

5 在實(shí)際數(shù)據(jù)中的應(yīng)用

5.1 里克特島中部

迭代聯(lián)合反演的效率采用Angelier（1979）和 Michael（1984，1987）已經(jīng)分析的里克特島中部的數(shù)據(jù)來(lái)證實(shí)。該數(shù)據(jù)為現(xiàn)場(chǎng)測(cè)量的38個(gè)斷層取向和滑動(dòng)方向，所以震源機(jī)制中的斷層面和輔助面是已知的。在應(yīng)力反演過(guò)程中，我們通過(guò)隨機(jī)選擇兩個(gè)節(jié)面的斷層修改輸入數(shù)據(jù)，并檢驗(yàn)迭代過(guò)程能否識(shí)別出正確的斷層面。

圖7給出了輸入震源機(jī)制的P／T軸、節(jié)線及應(yīng)力反演結(jié)果。得到的最大壓縮軸幾乎垂直（圖7a），莫爾圓表明（圖7c）輸入數(shù)據(jù)覆蓋了兩個(gè)蝴蝶翼。從38個(gè)震源機(jī)制中，成功識(shí)別了36個(gè)斷層面（圖7d）。形狀比為0.88，最優(yōu)摩擦系數(shù)為0.75。這里形狀比的定義與 Michael（1984）定義的φ＝（σ2－σ3）／（σ1－σ3）不同，按照 Michael的定義為0.12。

為了分析主軸方向和形狀比的不確定性，用有噪聲的震源機(jī)制重復(fù)進(jìn)行應(yīng)力反演。我們重復(fù)反演了噪聲數(shù)據(jù)1 000次。斷層取向和滑動(dòng)方向的平均誤差為6°。因?yàn)槲覀儾恢垒斎霐?shù)據(jù)的精度，因此該值看上去有些任意。因?yàn)槲覀兊哪康氖潜容^兩種反演方法的效率，更為精確地確定誤差并不是關(guān)鍵。

表1和圖8表明，不管斷層面從節(jié)面中隨機(jī)選擇（圖8a）還是在反演過(guò)程中正確區(qū)分（圖8b），主應(yīng)力方向均具有相似的精度。然而形狀比的行為明顯不同。隨機(jī)選擇斷層面的數(shù)據(jù)得到的形狀比分布相當(dāng)寬廣，其最大值隨著反演中選擇斷層的正確性而明顯不同。最大誤差對(duì)于隨機(jī)選擇斷層和正確選擇斷層分別為44%和12%。

圖7 用克里特島中部數(shù)據(jù)迭代反演的應(yīng)力（Angelier，1979；Michael，1984，1987）。（a）得到的主軸方向及P／T軸。（b）節(jié)線。（c）斷層在莫爾圓上的位置（藍(lán)加號(hào)）（原圖為彩色圖——譯注）。（d）應(yīng)力反演中識(shí)別的斷層。（a）中的P軸和T軸分別采用紅空心圓和藍(lán)加號(hào)表示

表1 應(yīng)力反演結(jié)果

圖8 用Michael方法（a）和迭代反演方法（b）得到的主應(yīng)力方向的置信范圍和形狀比的直方圖（c）。（a）和（b）中的紅、綠、藍(lán)色（原圖為彩色圖——譯注）分別對(duì)應(yīng)于σ1、σ2和σ3應(yīng)力方向。（c）中的灰色和紅色直方圖分別給出了Michael方法和迭代方法得到的形狀比直方圖

5.2 波希米亞西部震群區(qū)

迭代聯(lián)合應(yīng)力反演進(jìn)一步用捷克共和國(guó)波希米亞西部2008年的震群數(shù)據(jù)舉例說(shuō)明（Fischer et al，2010；Vavrycˇuk，2011；Davi and Vavrycˇuk，2012；Vavrycˇuk et al，2013；Fischer et al，2014）。由于微震被很多地方地震臺(tái)記錄到，在震源球上有很好的臺(tái)站覆蓋，高質(zhì)量的數(shù)據(jù)較為適合精確提取震源機(jī)制和構(gòu)造應(yīng)力場(chǎng)。

我們選擇了具有較高信噪比的所有WEBNET臺(tái)站記錄的167個(gè)微震，對(duì)直達(dá)P波的垂直分量進(jìn)行矩張量反演。格林函數(shù)采用射線方法計(jì)算（Cˇerveny，2001），完全矩張量在時(shí)間域采用廣義線性反演確定（Vavrycˇuk and Kühn，2012）。震源機(jī)制的精度采用輸入數(shù)據(jù)加噪聲和位置偏離（震中誤差為250m，深度誤差為500m）的重復(fù)反演進(jìn)行評(píng)估。斷層法向和滑動(dòng)方向的平均誤差估計(jì)為6°。

震源區(qū)的構(gòu)造應(yīng)力根據(jù)167個(gè)震源機(jī)制分別用Michael（1984）方法和迭代聯(lián)合應(yīng)力反演方法計(jì)算（圖9；參見(jiàn)表1）。誤差的計(jì)算與克里特島中部數(shù)據(jù)相似，采用反演添加噪聲的震源機(jī)制數(shù)據(jù)給出。我們加入噪聲計(jì)算了1 000次，得到了與震源機(jī)制相似的精度（斷層法向和滑動(dòng)方向的平均誤差為6°）。在迭代應(yīng)力反演中，最終的應(yīng)力通過(guò)3～4次迭代得到。斷層面覆蓋了蝴蝶兩翼（圖9c）。應(yīng)力以水平σ3軸為特征，σ1和σ2軸明顯偏離了水平和垂直方向（圖9a）。主應(yīng)力軸的方向及其不確定性對(duì)于Michael方法和迭代應(yīng)力反演方法幾乎一致（圖10a和b）。這兩種方法的主要差別在于形狀比。與合成數(shù)據(jù)檢驗(yàn)結(jié)果一樣，Michael方法得到了具有較大誤差的形狀比偏差值（圖10c）。迭代反演既能得到精確的主應(yīng)力方向，也能得到精確的形狀比值（表1）。此外，迭代反演還能夠區(qū)分?jǐn)鄬用妗Ｕ缙谕哪菢樱瑪鄬用婕墼谀獱枴獛?kù)侖破裂準(zhǔn)則的有效區(qū)內(nèi)（圖9c）。估計(jì)得到的斷層取向被震源叢集分析所確認(rèn)（Vavrycˇuk et al，2013）。震源沿兩個(gè)斷層系叢集（圖9d）被認(rèn)為 與 該 區(qū) 域 的 主 斷 層 有 關(guān) （Vavrycˇuk，2011，圖10）。反演中發(fā)現(xiàn)最優(yōu)的摩擦系數(shù)為0.85。

圖9 與圖8相同，但對(duì)應(yīng)于波希米亞西部的數(shù)據(jù)。（d）中的藍(lán)色線（原圖為彩色圖——譯注）給出了根據(jù)地震震源叢集分析得到的波希米亞西部地區(qū)的主斷層（參見(jiàn)Vavrycˇuk et al，2013）

6 討論

Michael方法獲取主應(yīng)力方向快速而準(zhǔn)確。即使隨機(jī)選擇震源機(jī)制節(jié)面作為斷層面也可以得到相當(dāng)合理的結(jié)果。然而，當(dāng)斷層面沒(méi)有正確選擇時(shí)，形狀比的準(zhǔn)確性大大下降。即使采用大量精確的震源機(jī)制數(shù)據(jù)，估計(jì)的形狀比值也是非常粗略的。因此，比起主應(yīng)力方向，形狀比的值對(duì)于是否正確選擇斷層面更加敏感，將輔助節(jié)面代替斷層面將導(dǎo)致較大誤差。

形狀比的精確值可以用聯(lián)合反演應(yīng)力和斷層取向的迭代算法求得。在反演中，采用斷層不穩(wěn)定性約束，將那些更不穩(wěn)定、更易于斷裂的節(jié)面作為斷層面。在反演中加入斷層不穩(wěn)定性約束會(huì)導(dǎo)致必須采用迭代算法，不是一步就計(jì)算出應(yīng)力，而是迭代計(jì)算出應(yīng)力。在初始迭代時(shí)，隨機(jī)選擇斷層面，采用Michael方法求解。在第二次或高次迭代中，通過(guò)非穩(wěn)定性約束區(qū)分?jǐn)鄬用?，然后采用Michael方法進(jìn)行求解。數(shù)值實(shí)驗(yàn)表明，經(jīng)過(guò)3～4次迭代就可以收斂。因?yàn)橹鲬?yīng)力方向即使第一次迭代也很容易獲得，后續(xù)迭代主要是區(qū)分出斷層面，并提高形狀比精度。這就是收斂如此之快的原因。

在分析實(shí)際數(shù)據(jù)集時(shí)，獲得的應(yīng)力方向、形狀比、斷層面選擇及總體摩擦系數(shù)的不確定性不像 Michael（1987）那樣用重取樣技術(shù)計(jì)算。這里計(jì)算的不確定性是無(wú)噪聲數(shù)據(jù)和有噪聲數(shù)據(jù)反演1 000次所得結(jié)果之間的最大差別。該方法由于下述原因而具有優(yōu)勢(shì)：首先，該方法考慮了由于對(duì)斷層取向和滑動(dòng)方向施加了不同的噪聲水平，一些節(jié)面相對(duì)于其他節(jié)面更加不確定。其次，得到的不確定性更加實(shí)際。例如，形狀比的直方圖可以非常寬廣（圖8c和10c），并且真值不必靠近直方圖的最大值。

迭代反演方法的效率用克里特島中部和捷克共和國(guó)波希米亞西部的數(shù)據(jù)進(jìn)行了檢驗(yàn)。對(duì)于這兩組數(shù)據(jù)，該方法效果很好，得到了明顯比從震源機(jī)制中隨機(jī)選擇斷層面進(jìn)行反演更準(zhǔn)確的形狀比結(jié)果。在繪制莫爾圓圖時(shí)，反演中識(shí)別的斷層表現(xiàn)了較高的斷層不穩(wěn)定性，并且集中在莫爾—庫(kù)侖破裂準(zhǔn)則有效區(qū)內(nèi)。這就清楚地表示數(shù)據(jù)與斷層不穩(wěn)定性模型一致，應(yīng)用迭代應(yīng)力反演是合適的。如果反演中識(shí)別的斷層沒(méi)有表現(xiàn)出較高的不穩(wěn)定性，斷層不穩(wěn)定性模型可能不完全適合，迭代反演的結(jié)果將不可靠。這可能是研究區(qū)的震源機(jī)制具有較大誤差，或者應(yīng)力場(chǎng)更加復(fù)雜，或者當(dāng)?shù)貥?gòu)造應(yīng)力環(huán)境所致。

Michael方法非常流行，已用在數(shù)個(gè)應(yīng)力反演軟件中，如SATSI（Hardebeck，2006；Hardebeck and Michael，2006）或其Matlab修改版本 MSATSI（Martínez－Garzón et al，2013，2014；Ickrath et al，2014）。由于迭代應(yīng)力反演基于的是Michael方法，因此可以很容易地用于這些軟件中，提高結(jié)果的精度。本研究反演的Matlab軟件叫做STRESSINVERSE，在 網(wǎng) 頁(yè) 上 提 供 （http：／／www.ig.cas.cz／stress－inverse，最后訪問(wèn)時(shí)間2014年6月27日）。