天體運動專題教學探究

陳偉山

（鹽城高等師范學校，江蘇 鹽城224005）

航天是當代非常熱門而又現(xiàn)實的話題之一。隨著該話題的不斷升溫，天體運動問題在近幾年的高考中，牢牢占據(jù)了一定的比例，知識考查點逐步深入，題型也在創(chuàng)造性地發(fā)生變革。如何讓學生正確認識，準確把握這一知識模塊？ 筆者在教學中作了如下探究。

1 認清一個本質(zhì)

由運動學、牛頓力學知識可以知道，運動中存在因果關(guān)系。物體的運動狀態(tài)，與物體所受的內(nèi)因和外因有必然的因果聯(lián)系。 即物體在某一時刻的運動狀態(tài)(位移、速度、加速度等)由物體的內(nèi)因（初始位移、初始速度、質(zhì)量）和外因（所受力、受力時間等）決定。 其數(shù)學表現(xiàn)形式：

天體運動作為一個具體的運動形式，必然遵循上述因果關(guān)系。 只不過，此時的物體是某些具體的天體，起主導作用的作用力為萬有引力而已。因此，在天體運動問題的教與學的過程中，要牢牢把握住這樣一個本質(zhì)特征：天體運動的位移（軌跡）、速度等運動參量由天體的質(zhì)量、初始位移、初始速度、所受的力及受力時間等共同決定。

認識到這一點，就不難理解天體為何或做圓周運動、或做橢圓運動、或做拋物線運動。人造天體在繞地運行中發(fā)生變軌，也是因為人造天體的速度與受力的關(guān)系發(fā)生了變化。通過改變?nèi)嗽焯祗w的速度大小或方向，就可以提升或降低天體運行的軌道。

2 融合三大定律

從該專題在教材中出現(xiàn)的位置來看， 天體運動為開普勒三定律、牛頓三大運動定律及萬有引力定律的綜合應用。它綜合了經(jīng)典力學中的力、運動、能量等多方面的知識，是對力、運動、能量等知識加深理解的絕好楔入點。

2.1 開普勒三定律從運動學的角度闡述了天體運動過程中的軌道、速度、周期等參數(shù)的數(shù)學特性，又分別稱為軌道定律、面積定律和周期定律。其核心是周期定律，即：。其中，a 為橢圓軌道半長軸，T 為周期，，M 為中心天體的質(zhì)量。

2.2 牛頓三大運動定律從動力學的角度闡述了物體運動與受力之間的關(guān)系，表明力是物體運動狀態(tài)改變的原因。其核心是牛頓第二定律，即：。 其中，F(xiàn) 為物體受到的外力，m 為物體的慣性質(zhì)量。

2.3 萬有引力定律則給出了天體間相互作用的具體形式——萬有引力。 其大小的表達形式：，其中M、m 分別為兩相互作用天體的質(zhì)量，r 為兩相互作用天體間的距離；方向：由受力天體指向施力天體。

可見，開普勒三定律、牛頓三大運動定律及萬有引力定律三者之間是一般規(guī)律（牛頓三大運動定律）與具體運動形式（天體運動）之間的關(guān)系。 由此，可以得到以下關(guān)系圖：

再結(jié)合重力、圓周運動等相關(guān)概念，就會形成一系列較為復雜的特別具體的天體運動情形，從而就有了相當多的計算公式。 如何恰當使用有關(guān)公式，分析某個天體運動情形，就成了一個重點和難點。這也是不少學生害怕天體運動這一類問題的根本原因。

在教學中，就是要引導學生在厘清三大定律的基礎(chǔ)上，緊扣F向=F萬這一核心關(guān)系，理解各類天體運動情形的分析過程，掌握相關(guān)公式的推演。 在此基礎(chǔ)上，引導學生甄別天體運動情形，恰當使用有關(guān)公式，提升分析解決問題的能力。

3 掌握五類典型問題

為進一步加強教學效果， 加深對天體運動專題的理解和認識，這里列舉天體運動五個典型問題說明。

3.1 計算天體質(zhì)量或密度

通過物體在某個天體表面所受的“重力”或圍繞某個天體運動的情形，利用萬有引力計算該天體質(zhì)量或密度。 這里以計算天體質(zhì)量為例。

情形一：通過物體在某個天體表面所受的“重力”，利用萬有引力計算該天體質(zhì)量。

物體在天體表面所受到的萬有引力近似等于物體的“重力”，不考慮天體自傳影響。

其中，G 為萬有引力常數(shù)，g 為天體表面的“重力”加速度，R 為天體的半徑。

需要指出的是，這一近似在其他涉及近天體表面問題中也被廣泛使用。

情形二：通過物體圍繞某個天體運動，利用萬有引力計算該天體質(zhì)量。

可以先將物體圍繞某個天體運動近似地看成圓周運動，此時萬有引力充當向心力。

其中，r、v、ω、T 分別為物體圍繞某個天體運動的半徑、線速度、角速度和周期。

3.2 同步衛(wèi)星

所謂“同步衛(wèi)星”，通常以地球為例，指人造衛(wèi)星繞地球的周期和地球的自轉(zhuǎn)周期相同，又稱“靜止衛(wèi)星”?？梢宰C明，此時人造衛(wèi)星的動行軌道只能在赤道上方，且T衛(wèi)=T自。

這樣，同步衛(wèi)星距離地面的高度：h=r-R。

3.3 雙星運動

兩顆質(zhì)量可以相比的恒星相互繞著旋轉(zhuǎn)的現(xiàn)象，叫雙星運動。 雙星運動問題是萬有引力定律在天文學上的應用的一個重要內(nèi)容，雙星中兩顆子星相互繞著旋轉(zhuǎn)可看作勻速圓周運動，且周期相等，其向心力由兩恒星間的萬有引力提供。

設(shè)雙星的兩子星的質(zhì)量分別為M1和M2，相距L，M1和M2的線速度分別為v1和v2，角速度分別為ω1和ω2（ω1=ω2，T1=T2），由萬有引力定律和牛頓第二定律得：

從而可以推得：v1∶v2=r1∶r2=m2∶m1

在這里要特別注意：兩子星間的距離L 與兩子星做圓周運動的軌道半徑r1、r2之間的約束關(guān)系：L=r1+r2。

3.4 變軌問題

衛(wèi)星在軌期間自主改變運行軌道的過程稱為變軌。 變軌的動力學原因在于：衛(wèi)星在軌運行時，由于某種需要， 改變了衛(wèi)星的線速度大小及方向，從而改變了所需的向心力；又因為其運動的向心力由萬有引力提供， 所以其所需的軌道半徑也相應地發(fā)生變化，這就形成了變軌。如圖：

需要指出的是， 在切點（P、Q）處， 衛(wèi)星處在兩個不同軌道上的速度是不同的。以Q 點為例，當衛(wèi)星處在軌道1 時做圓周運動，可以求得其線速度為（v1Q表示在軌道1 的Q 點處的線速度大小，下同。）而當衛(wèi)星處在軌道2 時做橢圓運動，盡管高中階段不要求精確計算v2Q，我們還是可以定性地加以分析，可以這樣看，因v1Q變化到了v2Q， 衛(wèi)星必不能保持原有軌道1 的圓周運動， 而發(fā)生了離心運動，即v2Q＞v1Q；同理可知：v3P＞v2P。

由圓周運動線速度公式，可知v1Q＞v3P，所以就有：v2Q>v1Q>v3P＞v2P

3.5 能量轉(zhuǎn)化

在天體運動問題中，還有一類涉及到能量轉(zhuǎn)化。 視衛(wèi)星與地球構(gòu)成一獨立系統(tǒng)，萬有引力為保守力，取無窮遠處為該系統(tǒng)零勢能點，則衛(wèi)星在距離地球r 處的勢能為：

設(shè)衛(wèi)星在距離地球r 處的圓周軌道上運行， 則此時衛(wèi)星的動能為：

則系統(tǒng)機械能為：

可以看出，隨著軌道上升，r 增大，Epr增大，Ekr減小，Er增大。

所以，衛(wèi)星軌道越高，發(fā)射時所需要的能量就越多，火箭的推力要求也就越大。

除上述的五類典型問題外，近幾年的高考還相繼出現(xiàn)了新的考查點，如Lagrange 點、地球自轉(zhuǎn)效應、黑洞等。

但萬變不離其宗，在分析具體問題時，只要深刻領(lǐng)悟天體運動的本質(zhì)特征，將三大定律與其它相關(guān)知識融會貫通，緊扣F向=F萬這一核心關(guān)系，便可抓住問題實質(zhì)，起到事半功倍的效果。

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［2］王曉輝.萬有引力學習中的地球自轉(zhuǎn)[J].物理教學探討,2013(4).

［3］王萬林.萬有引力復習中簡約不簡單的“一式三?！狈╗J].中學物理,2013(6).

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