彈性體受熱沖擊作用的熱力耦合特性分析

王穎澤，宋新南

(江蘇大學(xué)能源與動力工程學(xué)院，江蘇鎮(zhèn)江212013)

彈性體熱沖擊問題的研究對于各種承受變溫載荷結(jié)構(gòu)的疲勞分析和壽命預(yù)測具有重要的實用價值.在熱沖擊下，材料變形加速誘發(fā)的動態(tài)熱應(yīng)力的幅值遠大于穩(wěn)態(tài)熱應(yīng)力，為此在研究熱沖擊問題時，首先考慮彈性體的動態(tài)響應(yīng).但當(dāng)熱作用周期急劇縮短以至于達到甚至小于材料的熱松弛時間時，熱量將以有限的波速傳遞，熱量傳遞呈現(xiàn)延遲特性并誘發(fā)有別于傳統(tǒng)導(dǎo)熱的非傅里葉效應(yīng)［1-2］.此時，要想全面的揭示熱沖擊的本質(zhì)特征，除了考慮材料變形的加速過程外，還要計及快速加熱過程的非傅里葉效應(yīng)以及材料變形率與溫度場之間的耦合效應(yīng).H.M.Lord等［3］充分考慮快速加熱過程的非傅里葉效應(yīng)，提出了能夠描述熱以有限速度傳播的L-S理論，同時文獻［4］和［5］也分別基于雙延遲效應(yīng)和能量非耗散假設(shè)先后提出了能夠刻畫固體“次聲”效應(yīng)的G-L理論和G-N理論.在這些理論中，由于控制方程中需要引入延遲項和耦合項，在準確描述快速傳熱過程的同時，加大了問題求解的數(shù)學(xué)難度.為此，當(dāng)前圍繞熱沖擊問題的求解分析主要從2種途徑展開，第1種是采用直接解耦的方法，在忽略耦合項的基礎(chǔ)上單獨求解溫度場，然后在求解應(yīng)力-應(yīng)變場時計入溫度的影響，從而得到數(shù)學(xué)上的簡化［6-8］;第2種則是借助于積分變換及數(shù)值反演技術(shù)或直接采用數(shù)值模擬手段對控制方程進行耦合求解［9-11］.從工程角度來看，第1種處理方法可以得到便于分析的解析解，但由于其弱化了耦合項的作用，為此得到的相關(guān)結(jié)論具有一定的局限性，而第2種方法則可以給出計及耦合效應(yīng)的熱彈性響應(yīng)的分布規(guī)律，但在數(shù)值求解過程中無法避免的離散誤差和截斷誤差將導(dǎo)致溫度場和應(yīng)力場的波動效應(yīng)無法充分展現(xiàn)，同時也不便于深入研究各種因素對熱彈性響應(yīng)的影響［12］.為此，文中基于L-S廣義熱彈性理論，在現(xiàn)有研究的基礎(chǔ)上，針對熱沖擊問題的瞬時特性，借助于積分變換的極限性質(zhì)，推導(dǎo)計及非傅里葉效應(yīng)以及變形率與溫度間耦合效應(yīng)的一維熱彈性響應(yīng)的漸進解.通過求解分析，得到快速加熱條件下熱彈性響應(yīng)的分布規(guī)律，并給出延遲項和耦合項對熱彈性響應(yīng)的影響規(guī)律.

1 問題的數(shù)學(xué)描述

考慮一均質(zhì)、各向同性，初始時刻均勻分布溫度T0的半無限大體，當(dāng)t＞0時刻，邊界突然施加一個溫度為T1的作用，如圖1所示.

圖1 半無限體的熱沖擊問題示意圖

根據(jù)材料的本構(gòu)關(guān)系可有

式中:u(x，t)為彈性體的位移;T(x，t)為彈性體的溫度分布.

根據(jù)L-S理論，考慮加熱過程中的非傅里葉效應(yīng)和熱力耦合效應(yīng)，在描述位移場和溫度場的控制方程中引入延遲項和耦合項，則可得到如下的描述熱沖擊問題的廣義耦合熱彈性控制方程:

相應(yīng)的初始、邊界條件為

式中H(t)為單位Heaviside函數(shù).

2 熱彈性響應(yīng)的耦合求解

2.1 控制方程的量綱一化

為了便于分析，引入以下量綱一變量:

式中ε和δ分別表征延遲和耦合效應(yīng)的量綱一特征參量.

將上述量綱一變量分別代入控制方程(3)和(4)以及初始、邊界條件(5)和(6)中，進行量綱一化可得(為了便于表達去掉量綱一變量右上角的星號)

相應(yīng)的量綱一應(yīng)力可寫成如下的形式:

2.2 變換域內(nèi)控制方程的求解

分別對量綱一化的控制方程(8)和(9)進行

式中ri為系數(shù)方程r4-s［(1+εs)(1+ δ)+s］r2+s3(1+εs)=0的特征根.

根據(jù)邊界條件:當(dāng) ξ→0 時，φ(ξ，s)和 φ'(ξ，s)均為零，由此可推得通解(17)中所有正實數(shù)根所對應(yīng)的系數(shù)均為0，則其通解可改寫為

式中Laplace變換可得

式中 φ(ξ，s)為)或

方程(16)為一4階齊次微分方程，其通解可寫成如下的形式:

為系數(shù)方程的兩負實數(shù)根.

分別結(jié)合ˉ(ξ，s)和所對應(yīng)的邊界條件，可得到變換域內(nèi)溫度場和位移場的表示式為

采用同樣的推導(dǎo)方法對方程(12)和(13)進行求解，可得到變換域內(nèi)熱應(yīng)力場的表示式為

2.3 時間域內(nèi)控制方程的漸進求解

理論上，只要分別對式(19)-(22)進行Laplace逆變換，即可得到時間域內(nèi)熱彈性響應(yīng)的表達式，而實際問題中由于表達式過于復(fù)雜，無法采用解析的方法獲取其逆變換解.但考慮到熱沖擊的瞬時特性，其作用周期及其短暫，而基于延遲特性誘發(fā)的非傅里葉效應(yīng)以及變形與溫度場之間的耦合效應(yīng)主要對加熱過程的初始動態(tài)響應(yīng)產(chǎn)生影響［12］，當(dāng)外部熱作用時間急劇縮短時，表征熱沖擊行為的作用周期也隨之縮短.

根據(jù)Laplace變換的性質(zhì)可知，當(dāng)響應(yīng)時間t取小值時，其影像s取大值，當(dāng)s→∞時，通過適當(dāng)整理可將表達式(19)-(22)的各項近似寫成如下形式:

將式(23)分別代入式(19)-(22)中進行整理，則可得便于逆變換的形式，通過逆變換可得到t取小值時熱彈性響應(yīng)的解析表達式:

3 求解與分析

根據(jù)式(24)-(27)可知，在快速加熱條件下，當(dāng)考慮熱量傳播的延遲特性后，由外部熱擾動作用形成的沖擊效果以波的形式向前傳播，且溫度場、位移場和應(yīng)力變場的建立均由波速為和的2組彈性波疊加而成.由k1和k2的表達式可知，波速的大小由表征延遲和耦合效應(yīng)的特征系數(shù)ε和δ確定.通過計算，常溫下金屬材料鋁和不銹鋼的ε值分別為 4.14 和 0.564，δ值分別為 0.021 和0.026，而對于多孔材料和高分子材料而言其ε和δ要比常規(guī)金屬大上1個量級［13］，為此，為了便于揭示常規(guī)材料在溫變載荷作用下的熱沖擊特性，其表征延遲和耦合效果的特征參量ε和δ的分別在(0，3)和(0，1)區(qū)間取值.

圖2給出的是在不同δ條件下，彈性波波速隨特征參量ε的變化規(guī)律.隨著ε的增加，延遲效果增大，v1和v2均呈現(xiàn)遞減的趨勢，當(dāng)ε→0時，v1→1，而v2→∞，延遲效果對速度為v2的彈性波失效，相應(yīng)的彈性體內(nèi)各物理場將隨著外部熱擾動而同步響應(yīng)，此時的熱量的傳遞退化為常規(guī)的傅里葉導(dǎo)熱.結(jié)合圖3還可以看到，耦合效果對2組波波速的影響有所不同的，隨著δ的增大，v1逐漸減小，而v2則增大，這表明耦合效果對于熱彈性響應(yīng)的影響較為復(fù)雜.

圖2 不同δ下彈性波波速隨ε的分布

圖3 不同δ下溫度場、位移場和應(yīng)力場隨時間的變化曲線

圖3分別給出了在特征參量ε=3.0時，彈性體內(nèi)ξ=1.0位置處在不同δ條件下，溫度場、位移場和應(yīng)力場的分布曲線.由前面的分析可知，各個物理場的建立分別是由速度不同的2組彈性波的疊加而成.從圖中可以看到，由于延遲效應(yīng)的存在，彈性體內(nèi)熱彈性響應(yīng)不再與外部擾動同步，在τ＜k2時，由于彈性波前尚未到達該區(qū)域，各物理場尚未建立;當(dāng)τ=k2時，速度為v2的彈性波波先到達該區(qū)域，受其影響，該區(qū)域的溫度和應(yīng)力劇烈變化，形成一次階躍現(xiàn)象;隨后當(dāng)τ=k1時，速度為v1的彈性波波前也到達該區(qū)域，在其影響下，該區(qū)域的溫度和應(yīng)力再次突變，形成2次階躍現(xiàn)象.由此可知，在彈性波傳播過程中，由于波速的不同，先后在彈性體內(nèi)形成2次階躍.結(jié)合圖2可知，由于耦合效應(yīng)對2組彈性波的波速影響不同，在2組彈性波疊加下，耦合效應(yīng)對于熱彈性響應(yīng)的影響則體現(xiàn)在2次階躍出現(xiàn)的時機、間隔以及峰值大小之上.隨著δ的減小，2次階躍的間隔逐漸縮短，相應(yīng)的形成的溫度和應(yīng)力峰值逐漸增大.

圖4給出了在特征參量 ε=3.0，δ=1.0時，彈性體溫度場和應(yīng)力場的分布.從圖中可以清楚地看到彈性波在彈性體內(nèi)的傳播過程，當(dāng)τ=1.0時，彈性波波前分別到達ξ1=k1和ξ2=k2處，并先后形成2次階躍，隨著彈性波的傳播，階躍不斷向彈性體內(nèi)部推移，在推移的過程中階躍的間隔范圍逐漸增大，相應(yīng)地彈性波的疊加區(qū)域也逐漸增大，彈性體內(nèi)各物理場逐漸趨向連續(xù)的分布.

圖4 彈性體內(nèi)溫度場和應(yīng)力場的分布

圖5給出了延遲和耦合效應(yīng)對彈性體內(nèi)溫度場和應(yīng)力場的影響.從圖5a給出的溫度場分布的影響可以看到，當(dāng)ε=0時，熱量在彈性體內(nèi)的傳遞遵循傅里葉導(dǎo)熱規(guī)律，溫度場呈現(xiàn)連續(xù)分布，當(dāng)ε＞0時，溫度場的建立產(chǎn)生延遲，在延遲效應(yīng)下，溫度呈現(xiàn)階躍性分布，且隨著δ的增大，延遲效果和階躍效果逐漸減弱，這說明耦合效應(yīng)將削弱由延遲效應(yīng)帶來的影響.對于圖5b應(yīng)力的分布而言，延遲效應(yīng)的存在除了使應(yīng)力場呈現(xiàn)階躍分布外，還使應(yīng)力峰值減小，這表明延遲效應(yīng)在一定程度上削弱了熱沖擊的作用效果.

圖5 延遲和耦合效應(yīng)對熱彈性響應(yīng)的影響

4 結(jié)論

1)當(dāng)外部熱擾動的作用周期急劇縮短時，熱量在彈性體內(nèi)將以有限的波速傳播，溫度場的建立將滯后于熱擾動，這種延遲效應(yīng)的存在將導(dǎo)致溫度場的分布呈現(xiàn)階躍式分布，并在溫度波波前所到達區(qū)域形成巨大的溫度梯度.受其影響，在相同區(qū)域?qū)⑿纬杉夥鍛?yīng)力，但由于彈性波之間的相互疊加，削弱了熱沖擊的作用效果，即盡管由于延遲效應(yīng)的存在造成熱量在局部區(qū)域內(nèi)積聚，但總的熱沖擊效果卻由于彈性波的相互吸收作用而減弱，這也是在研究快速加熱或冷卻問題時需要特別重視的地方.

2)由變形率與溫度場之間的耦合效應(yīng)對于熱彈性響應(yīng)產(chǎn)生顯著的響應(yīng)，且隨著耦合作用的增大，影響程度越顯著，同時當(dāng)延遲效應(yīng)存在時，耦合效應(yīng)的存在將削弱延遲效應(yīng)帶來的影響，這表明在分析非傅里葉效應(yīng)下的熱沖擊行為時，要計入耦合效應(yīng)的影響效果.

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