中學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的培養(yǎng)

何合全

運(yùn)算能力是教學(xué)的三大基本能力之一，是數(shù)學(xué)各種能力的基礎(chǔ)。由于在小學(xué)階段就習(xí)慣用計(jì)算器，導(dǎo)致大量中學(xué)生運(yùn)算能力偏差，這極大地阻礙了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)質(zhì)量的進(jìn)一步提高和數(shù)學(xué)思維的發(fā)展。另外，由于物理與化學(xué)的學(xué)習(xí)中計(jì)算量比較大并經(jīng)常需要運(yùn)用數(shù)學(xué)思維、方法來(lái)解決問(wèn)題。因此中學(xué)數(shù)學(xué)運(yùn)算能力還會(huì)直接影響到學(xué)生的這些科目的學(xué)習(xí)。由此可見(jiàn)，提高學(xué)生重視運(yùn)算，加強(qiáng)運(yùn)算能力的訓(xùn)練是十分重要的。

一、提高思想認(rèn)識(shí)，重視運(yùn)算能力的培養(yǎng)

我們?cè)诮虒W(xué)中時(shí)常發(fā)現(xiàn)，有時(shí)學(xué)生做練習(xí)時(shí)，只滿足于有解題思路，只列式不運(yùn)算或者不想運(yùn)算，他們認(rèn)為，思路清了，方法會(huì)了，題就做對(duì)了，把培養(yǎng)運(yùn)算能力的訓(xùn)練看成是浪費(fèi)時(shí)間，把運(yùn)算中出現(xiàn)的錯(cuò)誤歸結(jié)為“粗心大意”。事實(shí)上，培養(yǎng)運(yùn)算能力不是短時(shí)間就能奏效的事情，是需要經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期的反復(fù)的訓(xùn)練而逐漸形成。因此我們要提高思想認(rèn)識(shí)，重視學(xué)生運(yùn)算能力的培養(yǎng)，在課堂教學(xué)中就要嚴(yán)格要求學(xué)生，引導(dǎo)他們完整規(guī)范地去做習(xí)題。我們可以從七年級(jí)學(xué)生開(kāi)始接觸中學(xué)數(shù)學(xué)時(shí)就把教好學(xué)生規(guī)范正確地應(yīng)用數(shù)學(xué)符號(hào)、規(guī)范書(shū)寫(xiě)數(shù)學(xué)語(yǔ)言做為教好數(shù)學(xué)的一大目標(biāo)，也做為基本訓(xùn)練的一項(xiàng)重要工作去做，對(duì)自己剛剛接手的學(xué)生從一開(kāi)始就加強(qiáng)數(shù)學(xué)符號(hào)的教學(xué)，把此做為初中數(shù)學(xué)入門教學(xué)的任務(wù)來(lái)完成。

二、樹(shù)立運(yùn)算信心，養(yǎng)成良好的運(yùn)算習(xí)慣

中學(xué)數(shù)學(xué)中運(yùn)算的難點(diǎn)都與字母相關(guān)，相對(duì)小學(xué)來(lái)說(shuō)更復(fù)雜、抽象。引導(dǎo)學(xué)生克服因基礎(chǔ)差而產(chǎn)生的自卑與恐懼心理是十分必要的。我們?cè)诮虒W(xué)過(guò)程中要想方設(shè)法讓學(xué)生動(dòng)手參與，引導(dǎo)他們從一些簡(jiǎn)單題入手，循序漸進(jìn)，不斷提高計(jì)算的準(zhǔn)確性和計(jì)算速度。在課堂教學(xué)中讓學(xué)生養(yǎng)成勤動(dòng)手、勤動(dòng)腦的習(xí)慣。教師也要做到勤檢查、勤鼓勵(lì)、勤表?yè)P(yáng)，讓學(xué)生享受運(yùn)算的樂(lè)趣，體驗(yàn)成功的喜悅，從而培養(yǎng)運(yùn)算的信心和樂(lè)趣。

如在單項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法教學(xué)時(shí)，通過(guò)逐步分層訓(xùn)練培養(yǎng)運(yùn)算的信心和樂(lè)趣。

例：（1）2（3a2b-2ab+4）;

（2）2a（3a2b-2ab+4）;

（3）-2ab2（3a2b-2ab+4）;

（4）已知ab=-3，求-2ab（3a3b7-2a2b5-b）的值。

上述目的是引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步理解算理，體會(huì)到乘法分配律的重要作用和轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，在此基礎(chǔ)上，學(xué)生自己總結(jié)出單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的運(yùn)算法則，并運(yùn)用語(yǔ)言進(jìn)行描述。另外，培養(yǎng)學(xué)生的良好書(shū)寫(xiě)習(xí)慣，書(shū)寫(xiě)工整，字跡清晰，寫(xiě)清計(jì)算步驟，杜絕重答案輕過(guò)程的做法。通過(guò)不同難度的練習(xí)題，不斷促進(jìn)學(xué)生思考，運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決新問(wèn)題，在解決問(wèn)題的過(guò)程中獲得能力的提高。教學(xué)中，教師可以通過(guò)靈活的評(píng)價(jià)方式，激勵(lì)學(xué)生逐次解答，培養(yǎng)學(xué)生樂(lè)于鉆研的精神，逐步增強(qiáng)他們的自信心和學(xué)習(xí)樂(lè)趣。

三、加強(qiáng)基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的教學(xué)，提高運(yùn)算的準(zhǔn)確性

加強(qiáng)和落實(shí)雙基教學(xué)是提高運(yùn)算能力的一個(gè)重要作用的措施，在學(xué)習(xí)過(guò)程中要求學(xué)生要做到：（1）熟記重要的定義、定理、數(shù)據(jù)公式和法則，因?yàn)闇?zhǔn)確無(wú)誤是運(yùn)算的基本要求，而正確地記憶公式和法則是運(yùn)算準(zhǔn)確的基礎(chǔ);（2）正確深層次理解概念，并能掌握公式的推導(dǎo)，只有理解某些概念與公式的推導(dǎo)，才能做到公式的正用、反用和活用，從而提高運(yùn)算能力。

如注意公式中字母的代表性和廣泛性教學(xué)中，對(duì)于公式：1.同底數(shù)冪的除法公式am÷an=a（m-n） ;2.平方差公式（a+b）（a-b）=a2-b2 ;3.完全平方和公式（a+b）2=a2+2ab+b2。

以上公式中的a、b不是單純的a、b，還可以是其他的字母或數(shù)，也可是單項(xiàng)式、多項(xiàng)式（相當(dāng)于語(yǔ)文中的代詞：它和它們）。若是單項(xiàng)式或多項(xiàng)式，要把它作為一個(gè)整體進(jìn)行運(yùn)算。在單項(xiàng)式乘（除以）單項(xiàng)式、多項(xiàng)式乘（除以）單項(xiàng)式和也是如此。

四、正確運(yùn)用運(yùn)算法則與符號(hào)法則，提高運(yùn)算能力

七年級(jí)數(shù)學(xué)的混合運(yùn)算包括數(shù)、式的運(yùn)算。無(wú)論是有理數(shù)的混合運(yùn)算，還是整式運(yùn)算都要注重運(yùn)算法則的同時(shí)要特別注重符號(hào)法則。當(dāng)運(yùn)算比較復(fù)雜時(shí)，由于學(xué)生的注意力轉(zhuǎn)移到計(jì)算方面，往往忽略了符號(hào)。為了增強(qiáng)學(xué)生對(duì)符號(hào)的處理能力，我們?cè)谶\(yùn)算中就要大力強(qiáng)調(diào)符號(hào)法則的重要性，應(yīng)先確定符號(hào)，再計(jì)算，以便克服計(jì)算過(guò)程中出現(xiàn)符號(hào)錯(cuò)誤。

如對(duì)于多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式和冪的乘方的混合運(yùn)算，在運(yùn)算中要先算乘方再算乘除，除法運(yùn)算時(shí)要把多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式“轉(zhuǎn)化”為單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，再根據(jù)單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的法則進(jìn)行計(jì)算。

例：計(jì)算：（■a4b7-■a2b6）÷（-■ab3）2

解：原式

=（■a4b7-■a2b6）÷■a2b6

=■a4b7÷■a2b6-■a2b6÷■a2b6

=6a2b-1

在進(jìn)行上述多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的計(jì)算時(shí)，先計(jì)算（-■ab3）2=■a2b6，再把（■a4b7-■a2b6）看成是+■a4b7與-■a2b6兩項(xiàng)組成，把這兩個(gè)單項(xiàng)式分別除以■a2b6，所得結(jié)果的項(xiàng)數(shù)應(yīng)與被除式中的項(xiàng)數(shù)相同（兩項(xiàng)），要特別明確除式與被除式中各項(xiàng)的符號(hào)，相除時(shí)要帶著符號(hào)進(jìn)行。

五、加強(qiáng)訓(xùn)練，提高運(yùn)算技能

加強(qiáng)訓(xùn)練時(shí)，要注意回歸到教材、整合教材中的知識(shí)點(diǎn)，針對(duì)學(xué)生掌握知識(shí)、方法的薄弱點(diǎn)加強(qiáng)訓(xùn)練，熟練應(yīng)用常用的數(shù)學(xué)運(yùn)算的技巧、方法和規(guī)則，熟悉一些常見(jiàn)題型與答題方法，使自己心理處于良好的適應(yīng)狀態(tài)。特別注意的是，要加強(qiáng)一題多解、一解多題、發(fā)散變形的能力訓(xùn)練，拓展思維和靈活運(yùn)用知識(shí)的能力。對(duì)于運(yùn)算類解答題目，往往是運(yùn)算的步驟越多、越繁瑣，越容易出錯(cuò)。而很多題目往往又可用多種方法，從多個(gè)角度來(lái)考慮，具有多種思考方法。由于解答時(shí)思考的方式不同，解題所花費(fèi)的時(shí)間也必定不同。因此注意精選一些一題多解或計(jì)算量相對(duì)懸殊較大的題目，用充裕的時(shí)間去想去做，并結(jié)合這些實(shí)際題目適時(shí)靈活地運(yùn)用概念、恰當(dāng)?shù)剡x擇公式、合理地使用數(shù)學(xué)思想方法，從而達(dá)到簡(jiǎn)化運(yùn)算、提高運(yùn)算速度的目的。再幫助學(xué)生探索總結(jié)某些有規(guī)律性的、普遍性的東西，從而提高數(shù)學(xué)運(yùn)算能力。endprint

六、學(xué)生練后反思，學(xué)會(huì)舉一反三

“學(xué)而不思則罔?！睂W(xué)生做題不能為做題而做題，要培養(yǎng)學(xué)生每次練習(xí)之后進(jìn)行一定反思的良好習(xí)慣。在不斷的進(jìn)行總結(jié)過(guò)程中，如果錯(cuò)了，為什么錯(cuò)，怎樣錯(cuò)的，怎樣去糾正，如果對(duì)了，應(yīng)用了哪些知識(shí)點(diǎn)，采取了哪些好的解題方法，有沒(méi)有更好的、更簡(jiǎn)便的方法，只有不斷地總結(jié)反思，才能形成良好的解題習(xí)慣，不斷地進(jìn)步。 七年級(jí)學(xué)生經(jīng)過(guò)了幾年的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)雖然具有了一定的獨(dú)立探究意識(shí)和從具體問(wèn)題情境中抽象出數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律的能力。但學(xué)生的抽象思維能力、邏輯思維能力、數(shù)學(xué)符號(hào)化能力有限。因此，讓學(xué)生在理解的基礎(chǔ)上掌握運(yùn)算公式，運(yùn)算規(guī)則，能做到舉一反三。

如利用平方公式計(jì)算時(shí)，首先觀察分析是否符合公式的特點(diǎn)，公式中的a和b分別是什么，注意負(fù)號(hào)和括號(hào)等細(xì)節(jié)。

例：計(jì)算（2+1）（22+1）（24+1）…（232+1）。

要計(jì)算本題，一般先計(jì)算每一個(gè)括號(hào)內(nèi)的，然后再求它們的積，這樣做是復(fù)雜的，也是不必要的，我們不妨考慮用平方差公式來(lái)解決，即在原式上乘以（2-1），再同時(shí)除以（2-1）即可。

解：原式=

■=（22-1）（22+1）（24+1）…（232+1）

=（24-1）（24+1）…（232+1）

=（232）2-1

=264-1

舉一反三 計(jì)算：

（1）3·（22+1）（24+1）…（232+1）+1;

（2）1002-992+982-972+962-952+…+22-12;

（3）（1-■）（1-■）（1-■）…（1-■）（1-■）。

解：

（1）由例題可以得到提示

（22+1）（24+1）…（232+1）

=■

=[（232）2-1]·■=■（264-1）

∴原式=3·■（264-1）+1=264-1+1=264。

（2）由平方差公式和等差數(shù)列公式Sn=■可知，

原式=（100+99）（100-99）+（98+97）（98-97）+（96+95）（96-95）+…+

（4+3）（4-3）+（2+1）（2-1）

=100+99+98+97+96+95+…+4+3+2+1=■=5050。

（3）由平方差公式和分?jǐn)?shù)乘法公式可知，

原式=（1+■）（1-■）（1+■）（1-■）（1+■）（1-■）…（1+■）（1-■）（1+■）（1-■）

=■×■×■×■×■×■×…×■×■×■×■=■· ■=■。

從分析判斷平方差公式入手，在教學(xué)時(shí)設(shè)計(jì)舉一反三計(jì)算，這樣為學(xué)生提供充分探索與交流的空間，使學(xué)生進(jìn)一步經(jīng)歷觀察，實(shí)驗(yàn)、猜測(cè)、推理、交流、反思等活動(dòng)，培養(yǎng)學(xué)生類比的思想方法。讓學(xué)生在探究中，經(jīng)歷知識(shí)產(chǎn)生發(fā)展的過(guò)程，進(jìn)一步提升運(yùn)算能力。

學(xué)生運(yùn)算能力的培養(yǎng)不是在短時(shí)間能見(jiàn)效的，而是一項(xiàng)長(zhǎng)期任務(wù)，綜合工程。這需要教師和學(xué)生共同去面對(duì)各種困難以持之以恒的努力，才能取得良好的效果。教師 要把運(yùn)算能力的培養(yǎng)貫穿于整個(gè)教學(xué)過(guò)程中，有計(jì)劃、有目標(biāo)、有意識(shí)地運(yùn)用科學(xué)的方法進(jìn)行長(zhǎng)期滲透，使學(xué)生不斷地、經(jīng)常地受到啟迪，既要在潛移默化中逐步提高運(yùn)算能力，又要在實(shí)踐中加以修正，尋求合理的、簡(jiǎn)捷的運(yùn)算途徑，因此培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力重在滲透，貴在堅(jiān)持。

責(zé)任編輯 ?羅 ?峰e(cuò)ndprint

六、學(xué)生練后反思，學(xué)會(huì)舉一反三

“學(xué)而不思則罔。”學(xué)生做題不能為做題而做題，要培養(yǎng)學(xué)生每次練習(xí)之后進(jìn)行一定反思的良好習(xí)慣。在不斷的進(jìn)行總結(jié)過(guò)程中，如果錯(cuò)了，為什么錯(cuò)，怎樣錯(cuò)的，怎樣去糾正，如果對(duì)了，應(yīng)用了哪些知識(shí)點(diǎn)，采取了哪些好的解題方法，有沒(méi)有更好的、更簡(jiǎn)便的方法，只有不斷地總結(jié)反思，才能形成良好的解題習(xí)慣，不斷地進(jìn)步。 七年級(jí)學(xué)生經(jīng)過(guò)了幾年的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)雖然具有了一定的獨(dú)立探究意識(shí)和從具體問(wèn)題情境中抽象出數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律的能力。但學(xué)生的抽象思維能力、邏輯思維能力、數(shù)學(xué)符號(hào)化能力有限。因此，讓學(xué)生在理解的基礎(chǔ)上掌握運(yùn)算公式，運(yùn)算規(guī)則，能做到舉一反三。

如利用平方公式計(jì)算時(shí)，首先觀察分析是否符合公式的特點(diǎn)，公式中的a和b分別是什么，注意負(fù)號(hào)和括號(hào)等細(xì)節(jié)。

例：計(jì)算（2+1）（22+1）（24+1）…（232+1）。

要計(jì)算本題，一般先計(jì)算每一個(gè)括號(hào)內(nèi)的，然后再求它們的積，這樣做是復(fù)雜的，也是不必要的，我們不妨考慮用平方差公式來(lái)解決，即在原式上乘以（2-1），再同時(shí)除以（2-1）即可。

解：原式=

■=（22-1）（22+1）（24+1）…（232+1）

=（24-1）（24+1）…（232+1）

=（232）2-1

=264-1

舉一反三 計(jì)算：

（1）3·（22+1）（24+1）…（232+1）+1;

（2）1002-992+982-972+962-952+…+22-12;

（3）（1-■）（1-■）（1-■）…（1-■）（1-■）。

解：

（1）由例題可以得到提示

（22+1）（24+1）…（232+1）

=■

=[（232）2-1]·■=■（264-1）

∴原式=3·■（264-1）+1=264-1+1=264。

（2）由平方差公式和等差數(shù)列公式Sn=■可知，

原式=（100+99）（100-99）+（98+97）（98-97）+（96+95）（96-95）+…+

（4+3）（4-3）+（2+1）（2-1）

=100+99+98+97+96+95+…+4+3+2+1=■=5050。

（3）由平方差公式和分?jǐn)?shù)乘法公式可知，

原式=（1+■）（1-■）（1+■）（1-■）（1+■）（1-■）…（1+■）（1-■）（1+■）（1-■）

=■×■×■×■×■×■×…×■×■×■×■=■· ■=■。

從分析判斷平方差公式入手，在教學(xué)時(shí)設(shè)計(jì)舉一反三計(jì)算，這樣為學(xué)生提供充分探索與交流的空間，使學(xué)生進(jìn)一步經(jīng)歷觀察，實(shí)驗(yàn)、猜測(cè)、推理、交流、反思等活動(dòng)，培養(yǎng)學(xué)生類比的思想方法。讓學(xué)生在探究中，經(jīng)歷知識(shí)產(chǎn)生發(fā)展的過(guò)程，進(jìn)一步提升運(yùn)算能力。

學(xué)生運(yùn)算能力的培養(yǎng)不是在短時(shí)間能見(jiàn)效的，而是一項(xiàng)長(zhǎng)期任務(wù)，綜合工程。這需要教師和學(xué)生共同去面對(duì)各種困難以持之以恒的努力，才能取得良好的效果。教師 要把運(yùn)算能力的培養(yǎng)貫穿于整個(gè)教學(xué)過(guò)程中，有計(jì)劃、有目標(biāo)、有意識(shí)地運(yùn)用科學(xué)的方法進(jìn)行長(zhǎng)期滲透，使學(xué)生不斷地、經(jīng)常地受到啟迪，既要在潛移默化中逐步提高運(yùn)算能力，又要在實(shí)踐中加以修正，尋求合理的、簡(jiǎn)捷的運(yùn)算途徑，因此培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力重在滲透，貴在堅(jiān)持。

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六、學(xué)生練后反思，學(xué)會(huì)舉一反三

“學(xué)而不思則罔?！睂W(xué)生做題不能為做題而做題，要培養(yǎng)學(xué)生每次練習(xí)之后進(jìn)行一定反思的良好習(xí)慣。在不斷的進(jìn)行總結(jié)過(guò)程中，如果錯(cuò)了，為什么錯(cuò)，怎樣錯(cuò)的，怎樣去糾正，如果對(duì)了，應(yīng)用了哪些知識(shí)點(diǎn)，采取了哪些好的解題方法，有沒(méi)有更好的、更簡(jiǎn)便的方法，只有不斷地總結(jié)反思，才能形成良好的解題習(xí)慣，不斷地進(jìn)步。 七年級(jí)學(xué)生經(jīng)過(guò)了幾年的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)雖然具有了一定的獨(dú)立探究意識(shí)和從具體問(wèn)題情境中抽象出數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律的能力。但學(xué)生的抽象思維能力、邏輯思維能力、數(shù)學(xué)符號(hào)化能力有限。因此，讓學(xué)生在理解的基礎(chǔ)上掌握運(yùn)算公式，運(yùn)算規(guī)則，能做到舉一反三。

如利用平方公式計(jì)算時(shí)，首先觀察分析是否符合公式的特點(diǎn)，公式中的a和b分別是什么，注意負(fù)號(hào)和括號(hào)等細(xì)節(jié)。

例：計(jì)算（2+1）（22+1）（24+1）…（232+1）。

要計(jì)算本題，一般先計(jì)算每一個(gè)括號(hào)內(nèi)的，然后再求它們的積，這樣做是復(fù)雜的，也是不必要的，我們不妨考慮用平方差公式來(lái)解決，即在原式上乘以（2-1），再同時(shí)除以（2-1）即可。

解：原式=

■=（22-1）（22+1）（24+1）…（232+1）

=（24-1）（24+1）…（232+1）

=（232）2-1

=264-1

舉一反三 計(jì)算：

（1）3·（22+1）（24+1）…（232+1）+1;

（2）1002-992+982-972+962-952+…+22-12;

（3）（1-■）（1-■）（1-■）…（1-■）（1-■）。

解：

（1）由例題可以得到提示

（22+1）（24+1）…（232+1）

=■

=[（232）2-1]·■=■（264-1）

∴原式=3·■（264-1）+1=264-1+1=264。

（2）由平方差公式和等差數(shù)列公式Sn=■可知，

原式=（100+99）（100-99）+（98+97）（98-97）+（96+95）（96-95）+…+

（4+3）（4-3）+（2+1）（2-1）

=100+99+98+97+96+95+…+4+3+2+1=■=5050。

（3）由平方差公式和分?jǐn)?shù)乘法公式可知，

原式=（1+■）（1-■）（1+■）（1-■）（1+■）（1-■）…（1+■）（1-■）（1+■）（1-■）

=■×■×■×■×■×■×…×■×■×■×■=■· ■=■。

從分析判斷平方差公式入手，在教學(xué)時(shí)設(shè)計(jì)舉一反三計(jì)算，這樣為學(xué)生提供充分探索與交流的空間，使學(xué)生進(jìn)一步經(jīng)歷觀察，實(shí)驗(yàn)、猜測(cè)、推理、交流、反思等活動(dòng)，培養(yǎng)學(xué)生類比的思想方法。讓學(xué)生在探究中，經(jīng)歷知識(shí)產(chǎn)生發(fā)展的過(guò)程，進(jìn)一步提升運(yùn)算能力。

學(xué)生運(yùn)算能力的培養(yǎng)不是在短時(shí)間能見(jiàn)效的，而是一項(xiàng)長(zhǎng)期任務(wù)，綜合工程。這需要教師和學(xué)生共同去面對(duì)各種困難以持之以恒的努力，才能取得良好的效果。教師 要把運(yùn)算能力的培養(yǎng)貫穿于整個(gè)教學(xué)過(guò)程中，有計(jì)劃、有目標(biāo)、有意識(shí)地運(yùn)用科學(xué)的方法進(jìn)行長(zhǎng)期滲透，使學(xué)生不斷地、經(jīng)常地受到啟迪，既要在潛移默化中逐步提高運(yùn)算能力，又要在實(shí)踐中加以修正，尋求合理的、簡(jiǎn)捷的運(yùn)算途徑，因此培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力重在滲透，貴在堅(jiān)持。

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