例談新課程下實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)探究方式的實(shí)踐

姚衛(wèi)

“學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)不應(yīng)只限于接受、記憶、模仿和練習(xí)，高中數(shù)學(xué)課程還應(yīng)倡導(dǎo)自主探索、動(dòng)手實(shí)踐、合作交流、閱讀自學(xué)等學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方式。這些方式有助于發(fā)揮學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性，使學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程成為在教師引導(dǎo)下的‘再創(chuàng)造過(guò)程?！睂W(xué)生基于對(duì)數(shù)學(xué)的恐懼心理和對(duì)教師的依賴心理和語(yǔ)言表達(dá)能力較差等原因，沒(méi)有探究數(shù)學(xué)的能力與習(xí)慣。我在教學(xué)實(shí)踐中，嘗試用以下幾種數(shù)學(xué)探究的方法對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)方式進(jìn)行一些改變。

一、 創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，提高學(xué)生自主性

課堂教學(xué)是學(xué)生能動(dòng)學(xué)習(xí)的過(guò)程，是師生平等對(duì)話的過(guò)程，教學(xué)過(guò)程是師生交往、積極互動(dòng)、共同發(fā)展的過(guò)程。因此師生關(guān)系是平等的、民主的、和諧的。教師不再是知識(shí)的權(quán)威、真理的化身，教師由傳統(tǒng)教學(xué)中主角地位轉(zhuǎn)向課堂教學(xué)中師生交往的“平等中的首席”。課堂上教師要把學(xué)習(xí)的主動(dòng)權(quán)交給學(xué)生，讓學(xué)生在問(wèn)題情景中進(jìn)行自主探究和合作交流，真正成為課堂的主人。通過(guò)創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，讓學(xué)生更好地投入到數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中來(lái)。

案例1：在“四種命題的相互關(guān)系”這節(jié)課的教學(xué)中通過(guò)以下個(gè)問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生探究“四種命題的相互關(guān)系”：?jiǎn)栴}1：原命題、逆命題、否命題、逆否命題的一般形式是什么？問(wèn)題2：原命題與逆命題是什么關(guān)系？原命題與否命題是什么關(guān)系？原命題與逆否命題是什么關(guān)系？問(wèn)題3：根據(jù)問(wèn)題2的方法，你能分析逆命題與逆否命題、否命題與逆否命題、逆命題與否命題是什么關(guān)系？問(wèn)題4：你能判斷下列命題及它的逆命題、否命題、逆否命題的真假嗎？（1）若x=0，則2x=0;（2）若x=0，則xy=0;（3）若（x-2）（x-1）=0，則x=2;（4）若a>0，則ab>0。問(wèn)題5：根據(jù)問(wèn)題4，我們能得到什么結(jié)論呢？問(wèn)題6：根據(jù)今天所學(xué)的四種命題的真假性的關(guān)系，如果我們直接證明某一個(gè)命題為真命題有困難時(shí)，可采取什么辦法？為什么？問(wèn)題7：本節(jié)課，我們學(xué)習(xí)了哪些知識(shí)？哪些方法？

案例2：在“空間兩點(diǎn)間的距離公式”課例中，通過(guò)問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生去將空間的知識(shí)、方法等與已有的平面的知識(shí)、方法進(jìn)行類比，使得學(xué)生能夠探究出空間兩點(diǎn)間的距離公式及其證明方法，使得學(xué)生能體會(huì)到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的成就感。

研究表明：“具有啟發(fā)性、創(chuàng)新性、發(fā)散性的課堂提問(wèn)和以‘問(wèn)題串和‘立體性提問(wèn)為主的課堂提問(wèn)是有效的”，也一定能引導(dǎo)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的探究。

二、以多媒體技術(shù)引導(dǎo)學(xué)生探究數(shù)學(xué)相關(guān)問(wèn)題

現(xiàn)代信息技術(shù)與學(xué)科的整合，實(shí)現(xiàn)了學(xué)習(xí)內(nèi)容的呈現(xiàn)方式、學(xué)生的學(xué)習(xí)方式、教師的教學(xué)方式、和師生互動(dòng)方式的變革，為學(xué)生的學(xué)習(xí)和發(fā)展提供了豐富的教學(xué)環(huán)境和有力的學(xué)習(xí)工具。數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)的目的，就是培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和創(chuàng)新意識(shí)，數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)課是培養(yǎng)學(xué)生主動(dòng)探究和主動(dòng)創(chuàng)新的自由天地。我們可以根據(jù)教學(xué)的需要以及學(xué)生的心理特點(diǎn)， 充分發(fā)揮多媒體技術(shù)優(yōu)勢(shì)，就可以創(chuàng)造出生動(dòng)、形象、具體的問(wèn)題情境，引發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，拓展學(xué)生的思路，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)，優(yōu)化學(xué)生的思維過(guò)程。

案例3：雙曲線的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程的新課教學(xué)中，新課標(biāo)人教A版選修2-1提供的“拉鏈”的探究比較難以在課堂上完成，可以利用幾何畫板來(lái)創(chuàng)設(shè)探究性的情境。在幾何畫板中畫圓A、圓A上任一點(diǎn)C及圓A外一點(diǎn)B，做線段BC的垂直平分線與直線AC的交點(diǎn)P，那么P隨點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)軌跡是雙曲線（如圖1）。再引導(dǎo)學(xué)生分析點(diǎn)P到B、C兩點(diǎn)的距離相等，而線段AC的長(zhǎng)度是圓A的半徑，從而得到P點(diǎn)到A的距離與P點(diǎn)到B的距離的差是定值的幾何性質(zhì)，從而引出雙曲線的定義。當(dāng)然如果將點(diǎn)B移動(dòng)到圓A內(nèi)就變成橢圓了（如圖2），類似的還有拋物線的定義。

三、以錯(cuò)題來(lái)引導(dǎo)學(xué)生探究概念和公式的來(lái)源

學(xué)生做錯(cuò)題是因?yàn)閷?duì)相關(guān)的概念和公式的理解不透徹，到底在什么地方?jīng)]有理解透，剛好通過(guò)錯(cuò)題發(fā)現(xiàn)和引導(dǎo)學(xué)生探究，去弄清楚在知識(shí)的理解上存在的問(wèn)題，對(duì)于學(xué)生存在的問(wèn)題，教師可以利用這樣的問(wèn)題，反面地去教育學(xué)生，引起學(xué)生的注意力，讓學(xué)生更加注意自己的問(wèn)題，在今后的學(xué)習(xí)中能夠更好地對(duì)待這樣的問(wèn)題。而對(duì)于其他學(xué)生或者別人在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中產(chǎn)生的問(wèn)題，就可以以這樣的題目進(jìn)行舉例分析，讓學(xué)生通過(guò)觀察別人產(chǎn)生的問(wèn)題，帶入到自己的學(xué)習(xí)之中，在自己在碰到類似的知識(shí)點(diǎn)時(shí)，就可以更為全面地進(jìn)行解決，提高對(duì)知識(shí)的理解程度。

案例4：有這樣一道數(shù)列題：設(shè)數(shù)列{an}是等比數(shù)列，且前20項(xiàng)的和是8，前30項(xiàng)的和是26，求前10項(xiàng)的和。學(xué)生在解這道題通常有兩種解法：其一利用等比數(shù)列的求和公式列方程組解得q10=3或q10=-■（舍），進(jìn)而解出S10=2;其二是利用等比數(shù)列的和的一個(gè)性質(zhì)（等比數(shù)列中的Sk，S2k -Sk，S3k -S2k……也成等比數(shù)列）求解，列出等式（S20-S10）2=S10·（S30-S20），代入數(shù)字后解出S10=2或S10=32。法二顯然要比法一從計(jì)算量上要小得多，故學(xué)生多選法二，但是法二出現(xiàn)增根，學(xué)生不知道如何舍去，容易出錯(cuò)。于是帶領(lǐng)學(xué)生從性質(zhì)推導(dǎo)過(guò)程中尋找出現(xiàn)增根的原因，容易得到Sk，S2k-Sk，S3k -S2k……成等比數(shù)列，且公比為qk，但若k為偶數(shù)，qk>0，則Sk，S2k -Sk，S3k -S2k……中每一個(gè)式子同正或同負(fù)！該題的恰好為偶數(shù)，所以，若S10=32，則會(huì)出現(xiàn)S10，S20 -S10，S30 -S20的符號(hào)不同，所以是增根。

“利用錯(cuò)題展開探究教學(xué)，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生頭腦中已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，大膽質(zhì)疑，生成新的理解與見地，在交流中澄清認(rèn)識(shí)，在思維碰撞中，催生新智慧，體驗(yàn)喜悅?！?這樣的探究課“有助于建立嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度和不怕困難的科學(xué)精神;有助于培養(yǎng)學(xué)生勇于質(zhì)疑和善于反思的習(xí)慣，有助于發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和實(shí)踐能力”。

無(wú)論是數(shù)學(xué)概念，數(shù)學(xué)定理，還是數(shù)學(xué)思想和方法，都是通過(guò)無(wú)限的特殊的個(gè)體而總結(jié)出的不變的一般的性質(zhì)和規(guī)律。面對(duì)忽略了過(guò)程的“冷酷”的結(jié)論性數(shù)學(xué)概念、定理和思想方法，學(xué)生們感到“茫然”。學(xué)生通過(guò)課堂可以感受到“知識(shí)不是老師教的，而是自己發(fā)現(xiàn)的”這一現(xiàn)象，在孩子好奇心和爭(zhēng)強(qiáng)好勝的性格特點(diǎn)下很容易培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。興趣是最好的老師，學(xué)生有濃厚的學(xué)習(xí)興趣后，在開展探究時(shí)就可以更深刻、更廣泛，形成良性循環(huán)后，探究就可以變成學(xué)習(xí)的常態(tài)。

責(zé)任編輯 ?羅 ?峰e(cuò)ndprint

“學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)不應(yīng)只限于接受、記憶、模仿和練習(xí)，高中數(shù)學(xué)課程還應(yīng)倡導(dǎo)自主探索、動(dòng)手實(shí)踐、合作交流、閱讀自學(xué)等學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方式。這些方式有助于發(fā)揮學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性，使學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程成為在教師引導(dǎo)下的‘再創(chuàng)造過(guò)程。”學(xué)生基于對(duì)數(shù)學(xué)的恐懼心理和對(duì)教師的依賴心理和語(yǔ)言表達(dá)能力較差等原因，沒(méi)有探究數(shù)學(xué)的能力與習(xí)慣。我在教學(xué)實(shí)踐中，嘗試用以下幾種數(shù)學(xué)探究的方法對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)方式進(jìn)行一些改變。

一、 創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，提高學(xué)生自主性

課堂教學(xué)是學(xué)生能動(dòng)學(xué)習(xí)的過(guò)程，是師生平等對(duì)話的過(guò)程，教學(xué)過(guò)程是師生交往、積極互動(dòng)、共同發(fā)展的過(guò)程。因此師生關(guān)系是平等的、民主的、和諧的。教師不再是知識(shí)的權(quán)威、真理的化身，教師由傳統(tǒng)教學(xué)中主角地位轉(zhuǎn)向課堂教學(xué)中師生交往的“平等中的首席”。課堂上教師要把學(xué)習(xí)的主動(dòng)權(quán)交給學(xué)生，讓學(xué)生在問(wèn)題情景中進(jìn)行自主探究和合作交流，真正成為課堂的主人。通過(guò)創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，讓學(xué)生更好地投入到數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中來(lái)。

案例1：在“四種命題的相互關(guān)系”這節(jié)課的教學(xué)中通過(guò)以下個(gè)問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生探究“四種命題的相互關(guān)系”：?jiǎn)栴}1：原命題、逆命題、否命題、逆否命題的一般形式是什么？問(wèn)題2：原命題與逆命題是什么關(guān)系？原命題與否命題是什么關(guān)系？原命題與逆否命題是什么關(guān)系？問(wèn)題3：根據(jù)問(wèn)題2的方法，你能分析逆命題與逆否命題、否命題與逆否命題、逆命題與否命題是什么關(guān)系？問(wèn)題4：你能判斷下列命題及它的逆命題、否命題、逆否命題的真假嗎？（1）若x=0，則2x=0;（2）若x=0，則xy=0;（3）若（x-2）（x-1）=0，則x=2;（4）若a>0，則ab>0。問(wèn)題5：根據(jù)問(wèn)題4，我們能得到什么結(jié)論呢？問(wèn)題6：根據(jù)今天所學(xué)的四種命題的真假性的關(guān)系，如果我們直接證明某一個(gè)命題為真命題有困難時(shí)，可采取什么辦法？為什么？問(wèn)題7：本節(jié)課，我們學(xué)習(xí)了哪些知識(shí)？哪些方法？

案例2：在“空間兩點(diǎn)間的距離公式”課例中，通過(guò)問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生去將空間的知識(shí)、方法等與已有的平面的知識(shí)、方法進(jìn)行類比，使得學(xué)生能夠探究出空間兩點(diǎn)間的距離公式及其證明方法，使得學(xué)生能體會(huì)到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的成就感。

研究表明：“具有啟發(fā)性、創(chuàng)新性、發(fā)散性的課堂提問(wèn)和以‘問(wèn)題串和‘立體性提問(wèn)為主的課堂提問(wèn)是有效的”，也一定能引導(dǎo)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的探究。

二、以多媒體技術(shù)引導(dǎo)學(xué)生探究數(shù)學(xué)相關(guān)問(wèn)題

現(xiàn)代信息技術(shù)與學(xué)科的整合，實(shí)現(xiàn)了學(xué)習(xí)內(nèi)容的呈現(xiàn)方式、學(xué)生的學(xué)習(xí)方式、教師的教學(xué)方式、和師生互動(dòng)方式的變革，為學(xué)生的學(xué)習(xí)和發(fā)展提供了豐富的教學(xué)環(huán)境和有力的學(xué)習(xí)工具。數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)的目的，就是培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和創(chuàng)新意識(shí)，數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)課是培養(yǎng)學(xué)生主動(dòng)探究和主動(dòng)創(chuàng)新的自由天地。我們可以根據(jù)教學(xué)的需要以及學(xué)生的心理特點(diǎn)， 充分發(fā)揮多媒體技術(shù)優(yōu)勢(shì)，就可以創(chuàng)造出生動(dòng)、形象、具體的問(wèn)題情境，引發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，拓展學(xué)生的思路，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)，優(yōu)化學(xué)生的思維過(guò)程。

案例3：雙曲線的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程的新課教學(xué)中，新課標(biāo)人教A版選修2-1提供的“拉鏈”的探究比較難以在課堂上完成，可以利用幾何畫板來(lái)創(chuàng)設(shè)探究性的情境。在幾何畫板中畫圓A、圓A上任一點(diǎn)C及圓A外一點(diǎn)B，做線段BC的垂直平分線與直線AC的交點(diǎn)P，那么P隨點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)軌跡是雙曲線（如圖1）。再引導(dǎo)學(xué)生分析點(diǎn)P到B、C兩點(diǎn)的距離相等，而線段AC的長(zhǎng)度是圓A的半徑，從而得到P點(diǎn)到A的距離與P點(diǎn)到B的距離的差是定值的幾何性質(zhì)，從而引出雙曲線的定義。當(dāng)然如果將點(diǎn)B移動(dòng)到圓A內(nèi)就變成橢圓了（如圖2），類似的還有拋物線的定義。

三、以錯(cuò)題來(lái)引導(dǎo)學(xué)生探究概念和公式的來(lái)源

學(xué)生做錯(cuò)題是因?yàn)閷?duì)相關(guān)的概念和公式的理解不透徹，到底在什么地方?jīng)]有理解透，剛好通過(guò)錯(cuò)題發(fā)現(xiàn)和引導(dǎo)學(xué)生探究，去弄清楚在知識(shí)的理解上存在的問(wèn)題，對(duì)于學(xué)生存在的問(wèn)題，教師可以利用這樣的問(wèn)題，反面地去教育學(xué)生，引起學(xué)生的注意力，讓學(xué)生更加注意自己的問(wèn)題，在今后的學(xué)習(xí)中能夠更好地對(duì)待這樣的問(wèn)題。而對(duì)于其他學(xué)生或者別人在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中產(chǎn)生的問(wèn)題，就可以以這樣的題目進(jìn)行舉例分析，讓學(xué)生通過(guò)觀察別人產(chǎn)生的問(wèn)題，帶入到自己的學(xué)習(xí)之中，在自己在碰到類似的知識(shí)點(diǎn)時(shí)，就可以更為全面地進(jìn)行解決，提高對(duì)知識(shí)的理解程度。

案例4：有這樣一道數(shù)列題：設(shè)數(shù)列{an}是等比數(shù)列，且前20項(xiàng)的和是8，前30項(xiàng)的和是26，求前10項(xiàng)的和。學(xué)生在解這道題通常有兩種解法：其一利用等比數(shù)列的求和公式列方程組解得q10=3或q10=-■（舍），進(jìn)而解出S10=2;其二是利用等比數(shù)列的和的一個(gè)性質(zhì)（等比數(shù)列中的Sk，S2k -Sk，S3k -S2k……也成等比數(shù)列）求解，列出等式（S20-S10）2=S10·（S30-S20），代入數(shù)字后解出S10=2或S10=32。法二顯然要比法一從計(jì)算量上要小得多，故學(xué)生多選法二，但是法二出現(xiàn)增根，學(xué)生不知道如何舍去，容易出錯(cuò)。于是帶領(lǐng)學(xué)生從性質(zhì)推導(dǎo)過(guò)程中尋找出現(xiàn)增根的原因，容易得到Sk，S2k-Sk，S3k -S2k……成等比數(shù)列，且公比為qk，但若k為偶數(shù)，qk>0，則Sk，S2k -Sk，S3k -S2k……中每一個(gè)式子同正或同負(fù)！該題的恰好為偶數(shù)，所以，若S10=32，則會(huì)出現(xiàn)S10，S20 -S10，S30 -S20的符號(hào)不同，所以是增根。

“利用錯(cuò)題展開探究教學(xué)，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生頭腦中已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，大膽質(zhì)疑，生成新的理解與見地，在交流中澄清認(rèn)識(shí)，在思維碰撞中，催生新智慧，體驗(yàn)喜悅。” 這樣的探究課“有助于建立嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度和不怕困難的科學(xué)精神;有助于培養(yǎng)學(xué)生勇于質(zhì)疑和善于反思的習(xí)慣，有助于發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和實(shí)踐能力”。

無(wú)論是數(shù)學(xué)概念，數(shù)學(xué)定理，還是數(shù)學(xué)思想和方法，都是通過(guò)無(wú)限的特殊的個(gè)體而總結(jié)出的不變的一般的性質(zhì)和規(guī)律。面對(duì)忽略了過(guò)程的“冷酷”的結(jié)論性數(shù)學(xué)概念、定理和思想方法，學(xué)生們感到“茫然”。學(xué)生通過(guò)課堂可以感受到“知識(shí)不是老師教的，而是自己發(fā)現(xiàn)的”這一現(xiàn)象，在孩子好奇心和爭(zhēng)強(qiáng)好勝的性格特點(diǎn)下很容易培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。興趣是最好的老師，學(xué)生有濃厚的學(xué)習(xí)興趣后，在開展探究時(shí)就可以更深刻、更廣泛，形成良性循環(huán)后，探究就可以變成學(xué)習(xí)的常態(tài)。

責(zé)任編輯 ?羅 ?峰e(cuò)ndprint

“學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)不應(yīng)只限于接受、記憶、模仿和練習(xí)，高中數(shù)學(xué)課程還應(yīng)倡導(dǎo)自主探索、動(dòng)手實(shí)踐、合作交流、閱讀自學(xué)等學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方式。這些方式有助于發(fā)揮學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性，使學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程成為在教師引導(dǎo)下的‘再創(chuàng)造過(guò)程。”學(xué)生基于對(duì)數(shù)學(xué)的恐懼心理和對(duì)教師的依賴心理和語(yǔ)言表達(dá)能力較差等原因，沒(méi)有探究數(shù)學(xué)的能力與習(xí)慣。我在教學(xué)實(shí)踐中，嘗試用以下幾種數(shù)學(xué)探究的方法對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)方式進(jìn)行一些改變。

一、 創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，提高學(xué)生自主性

課堂教學(xué)是學(xué)生能動(dòng)學(xué)習(xí)的過(guò)程，是師生平等對(duì)話的過(guò)程，教學(xué)過(guò)程是師生交往、積極互動(dòng)、共同發(fā)展的過(guò)程。因此師生關(guān)系是平等的、民主的、和諧的。教師不再是知識(shí)的權(quán)威、真理的化身，教師由傳統(tǒng)教學(xué)中主角地位轉(zhuǎn)向課堂教學(xué)中師生交往的“平等中的首席”。課堂上教師要把學(xué)習(xí)的主動(dòng)權(quán)交給學(xué)生，讓學(xué)生在問(wèn)題情景中進(jìn)行自主探究和合作交流，真正成為課堂的主人。通過(guò)創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，讓學(xué)生更好地投入到數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中來(lái)。

案例1：在“四種命題的相互關(guān)系”這節(jié)課的教學(xué)中通過(guò)以下個(gè)問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生探究“四種命題的相互關(guān)系”：?jiǎn)栴}1：原命題、逆命題、否命題、逆否命題的一般形式是什么？問(wèn)題2：原命題與逆命題是什么關(guān)系？原命題與否命題是什么關(guān)系？原命題與逆否命題是什么關(guān)系？問(wèn)題3：根據(jù)問(wèn)題2的方法，你能分析逆命題與逆否命題、否命題與逆否命題、逆命題與否命題是什么關(guān)系？問(wèn)題4：你能判斷下列命題及它的逆命題、否命題、逆否命題的真假嗎？（1）若x=0，則2x=0;（2）若x=0，則xy=0;（3）若（x-2）（x-1）=0，則x=2;（4）若a>0，則ab>0。問(wèn)題5：根據(jù)問(wèn)題4，我們能得到什么結(jié)論呢？問(wèn)題6：根據(jù)今天所學(xué)的四種命題的真假性的關(guān)系，如果我們直接證明某一個(gè)命題為真命題有困難時(shí)，可采取什么辦法？為什么？問(wèn)題7：本節(jié)課，我們學(xué)習(xí)了哪些知識(shí)？哪些方法？

案例2：在“空間兩點(diǎn)間的距離公式”課例中，通過(guò)問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生去將空間的知識(shí)、方法等與已有的平面的知識(shí)、方法進(jìn)行類比，使得學(xué)生能夠探究出空間兩點(diǎn)間的距離公式及其證明方法，使得學(xué)生能體會(huì)到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的成就感。

研究表明：“具有啟發(fā)性、創(chuàng)新性、發(fā)散性的課堂提問(wèn)和以‘問(wèn)題串和‘立體性提問(wèn)為主的課堂提問(wèn)是有效的”，也一定能引導(dǎo)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的探究。

二、以多媒體技術(shù)引導(dǎo)學(xué)生探究數(shù)學(xué)相關(guān)問(wèn)題

現(xiàn)代信息技術(shù)與學(xué)科的整合，實(shí)現(xiàn)了學(xué)習(xí)內(nèi)容的呈現(xiàn)方式、學(xué)生的學(xué)習(xí)方式、教師的教學(xué)方式、和師生互動(dòng)方式的變革，為學(xué)生的學(xué)習(xí)和發(fā)展提供了豐富的教學(xué)環(huán)境和有力的學(xué)習(xí)工具。數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)的目的，就是培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和創(chuàng)新意識(shí)，數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)課是培養(yǎng)學(xué)生主動(dòng)探究和主動(dòng)創(chuàng)新的自由天地。我們可以根據(jù)教學(xué)的需要以及學(xué)生的心理特點(diǎn)， 充分發(fā)揮多媒體技術(shù)優(yōu)勢(shì)，就可以創(chuàng)造出生動(dòng)、形象、具體的問(wèn)題情境，引發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，拓展學(xué)生的思路，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)，優(yōu)化學(xué)生的思維過(guò)程。

案例3：雙曲線的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程的新課教學(xué)中，新課標(biāo)人教A版選修2-1提供的“拉鏈”的探究比較難以在課堂上完成，可以利用幾何畫板來(lái)創(chuàng)設(shè)探究性的情境。在幾何畫板中畫圓A、圓A上任一點(diǎn)C及圓A外一點(diǎn)B，做線段BC的垂直平分線與直線AC的交點(diǎn)P，那么P隨點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)軌跡是雙曲線（如圖1）。再引導(dǎo)學(xué)生分析點(diǎn)P到B、C兩點(diǎn)的距離相等，而線段AC的長(zhǎng)度是圓A的半徑，從而得到P點(diǎn)到A的距離與P點(diǎn)到B的距離的差是定值的幾何性質(zhì)，從而引出雙曲線的定義。當(dāng)然如果將點(diǎn)B移動(dòng)到圓A內(nèi)就變成橢圓了（如圖2），類似的還有拋物線的定義。

三、以錯(cuò)題來(lái)引導(dǎo)學(xué)生探究概念和公式的來(lái)源

學(xué)生做錯(cuò)題是因?yàn)閷?duì)相關(guān)的概念和公式的理解不透徹，到底在什么地方?jīng)]有理解透，剛好通過(guò)錯(cuò)題發(fā)現(xiàn)和引導(dǎo)學(xué)生探究，去弄清楚在知識(shí)的理解上存在的問(wèn)題，對(duì)于學(xué)生存在的問(wèn)題，教師可以利用這樣的問(wèn)題，反面地去教育學(xué)生，引起學(xué)生的注意力，讓學(xué)生更加注意自己的問(wèn)題，在今后的學(xué)習(xí)中能夠更好地對(duì)待這樣的問(wèn)題。而對(duì)于其他學(xué)生或者別人在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中產(chǎn)生的問(wèn)題，就可以以這樣的題目進(jìn)行舉例分析，讓學(xué)生通過(guò)觀察別人產(chǎn)生的問(wèn)題，帶入到自己的學(xué)習(xí)之中，在自己在碰到類似的知識(shí)點(diǎn)時(shí)，就可以更為全面地進(jìn)行解決，提高對(duì)知識(shí)的理解程度。

案例4：有這樣一道數(shù)列題：設(shè)數(shù)列{an}是等比數(shù)列，且前20項(xiàng)的和是8，前30項(xiàng)的和是26，求前10項(xiàng)的和。學(xué)生在解這道題通常有兩種解法：其一利用等比數(shù)列的求和公式列方程組解得q10=3或q10=-■（舍），進(jìn)而解出S10=2;其二是利用等比數(shù)列的和的一個(gè)性質(zhì)（等比數(shù)列中的Sk，S2k -Sk，S3k -S2k……也成等比數(shù)列）求解，列出等式（S20-S10）2=S10·（S30-S20），代入數(shù)字后解出S10=2或S10=32。法二顯然要比法一從計(jì)算量上要小得多，故學(xué)生多選法二，但是法二出現(xiàn)增根，學(xué)生不知道如何舍去，容易出錯(cuò)。于是帶領(lǐng)學(xué)生從性質(zhì)推導(dǎo)過(guò)程中尋找出現(xiàn)增根的原因，容易得到Sk，S2k-Sk，S3k -S2k……成等比數(shù)列，且公比為qk，但若k為偶數(shù)，qk>0，則Sk，S2k -Sk，S3k -S2k……中每一個(gè)式子同正或同負(fù)！該題的恰好為偶數(shù)，所以，若S10=32，則會(huì)出現(xiàn)S10，S20 -S10，S30 -S20的符號(hào)不同，所以是增根。

“利用錯(cuò)題展開探究教學(xué)，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生頭腦中已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，大膽質(zhì)疑，生成新的理解與見地，在交流中澄清認(rèn)識(shí)，在思維碰撞中，催生新智慧，體驗(yàn)喜悅?！?這樣的探究課“有助于建立嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度和不怕困難的科學(xué)精神;有助于培養(yǎng)學(xué)生勇于質(zhì)疑和善于反思的習(xí)慣，有助于發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和實(shí)踐能力”。

無(wú)論是數(shù)學(xué)概念，數(shù)學(xué)定理，還是數(shù)學(xué)思想和方法，都是通過(guò)無(wú)限的特殊的個(gè)體而總結(jié)出的不變的一般的性質(zhì)和規(guī)律。面對(duì)忽略了過(guò)程的“冷酷”的結(jié)論性數(shù)學(xué)概念、定理和思想方法，學(xué)生們感到“茫然”。學(xué)生通過(guò)課堂可以感受到“知識(shí)不是老師教的，而是自己發(fā)現(xiàn)的”這一現(xiàn)象，在孩子好奇心和爭(zhēng)強(qiáng)好勝的性格特點(diǎn)下很容易培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。興趣是最好的老師，學(xué)生有濃厚的學(xué)習(xí)興趣后，在開展探究時(shí)就可以更深刻、更廣泛，形成良性循環(huán)后，探究就可以變成學(xué)習(xí)的常態(tài)。

責(zé)任編輯 ?羅 ?峰e(cuò)ndprint