基于破解力學問題的模型法研究

洪少華

摘 ?要：物理模型法是抓主要的、本質的，在一定條件下，將主要問題突現出來作為“模型”進行研究的一種非常重要的方法。作為物理學分支的力學課題，可以按照其認知結構廣泛運用客觀模型、過程模型及數學模型進行研究，破解一些比較復雜的實際問題。

關鍵詞：力學;物理模型;模型法

中圖分類號：TP393 ? ? 文獻標識碼：A ? ? ?文章編號：1006-8937（2014）36-0062-02

由自然科學的特點可知，力學是工程技術的精髓。因此，力學問題既是工程技術的重點，也是難點。要解決這一難題，需要我們借助物理模型法予以破解。

1 ?物理模型的概念及類別

物理學探知物質世界的方法很多，如實驗法、模型法、推理法、分析法、假設法、圖象法、數學方法等。其中，物理模型法排除了實際物理現象或過程中的非本質因素的干擾，舍棄次要因素和無關因素，突出地反映客觀事物本質特征，從而使物理現象和物理過程得到簡化和理想化，對破解力學難題具有重要作用。所謂物理模型，就是抓住本質解決問題，對復雜變化的事物進行簡化抽象后而建立的理想化模型。作為物理學分支的力學模型，是從復雜的物體運動中抓住共性，找出反映事物本質的主要因素，略去次要因素，經過簡化，把作機械運動的實際物體和過程進行抽象的理想化模型。按照力學的認知結構，解決問題的第一步是選取研究對象;第二部是確定運動過程;第三部將運動過程與數學緊密聯系起來，建立函數關系求解。依次形成三類模型：客體模型、過程模型和數學模型。

1.1 ?客體模型

力學研究的物體，是作機械運動的客觀存在的實際物體，依據上述從具體事物的復雜現象中抓住共性，找出主要矛盾，略去次要因素的觀點，我們可以將經過處理后作機械運動的具體物體抽象為力學模型，這種力學模型就是我們所稱的客體模型。其關鍵詞是抽象、去繁從簡，如，力學中研究某些物體的運動時，如果物體本身的尺寸與所研究問題中的有關距離相比很小，又不要求涉及物體自身的轉動等因素，就可忽略物體的大小和形狀，突出物體的質量和位置，用一個有質量的點來代替整個物體，建立起“質點”模型;又如，將變形很小的物體抽象為剛體;再如，研究跳水運動員時可以將他看作質量全部集中在其重心的一個質點模型。

1.2 ?過程模型

所謂過程模型，是指把一個具體抽象的物理過程，還原成一個理想的便于研究的簡單過程。建立過程模型的要點，是將實際物理運動過程進行處理，忽視次要因素，考慮主要因素;忽略個性，考慮共性，使之成為典型過程。如，若下落物體是一個不計質量大小的“質點”，且從靜止開始下落，忽略空氣阻力和浮力的作用，只受恒定的重力作用（由于運動范圍不大，重力隨高度變化可忽略不計），則這個物體在這樣理想化的條件下的運動過程，就可稱為自由落體運動過程模型。

1.3 ?數學模型

客觀世界的一切規(guī)律原則上都可以在數學中找到它們的表現形式，力學研究客觀世界時，通常采用抽象、概括的方法，將客觀條件模型化，同時又離不開數學這個工具，需要將客體的屬性及運動變化規(guī)律數學公式化，這就是本文所定義的數學模型。

2 ?模型法在基礎力學中的應用

力學問題的解決，是指要弄清楚實際問題中的研究對象，它所處的運動狀態(tài)，運動狀態(tài)過程的變化特點和結果等方面的內容。在工程實際中，力學研究的機械運動復雜多樣，變化萬千，我們不可能一個一個地分別進行研究，需要我們按照以上所述的從具體事物的復雜現象中抓住共性，找出主要矛盾，略去次要因素，把作機械運動的具體物體抽象為一種力學模型。因此，運用力學知識解決具體問題的關鍵，就是要善于將問題中的實際物體（研究對象）和作機械運動過程抽象為怎樣的力學模型。然后，通過轉換的數學模型，運用數學方程求解，得到最后的結果。下面通過幾個實例，分別側重闡述客體模型、過程模型和數學模型的應用問題。

2.1 ?關于客體模型的應用

已知太陽光射到地面歷時8 min20 s，試計算太陽的質量。

解析：本例的重點是客體模型的確定。由于本例涉及的太陽和地球本身的尺寸與地球繞太陽公轉的距離相比甚小，又不涉及它們自身的轉動問題。故可將太陽和地球均抽象為“質點”模型。按照建立力學模型的思想，將地球繞太陽的變速橢圓運動可看作“勻速圓周運動”，故設太陽和地球的質量分別為M和m，地球繞太陽旋轉的周期為T，地心與太心的距離為R，由向心力與圓周運動的關系，可得：

所以，將發(fā)掘的隱含條件，找出已知條件代入上式計算，即可求解太陽的質量：

M=2.00×1030 kg

由上例可見，在一定的條件下，對涉及地球和太陽這樣的“龐然大物”的運動問題，按抓主要矛盾的方法，可將其簡化為質點，否則，很難求解。

將“龐然大物”簡化為質點，與先驗觀念是相悖的。先驗觀念認為質點等同于“小物體”，“大物體”是不可以看成質點的。因此，正確建立客體模型，要克服只有“小物體”才可以簡化為質點的模糊認識，因為，建立模型的手段是“近似”，但本質不是“近似”，而是“科學的抽象”?？腕w模型不是完全由研究對象自身的尺寸大小所決定的，它還與所處的環(huán)境，即它的運動、變化情況有密切關系，同是一個物體（不論尺寸大小、形狀），有時可看作質點，有時則不行。如，研究地球公轉時可抽象為質點，研究自轉時就不可以。

2.2 ?關于過程模型的應用

一質量為60kg的學生參加跳繩活動。測定他每分鐘跳繩150次，每次與地面接觸時間2/5，則該生跳繩時克服重力做功的平均功率為（令g=10 m/s2）：

A.21.6 w ? B.108 w ? C.150 w ? D.200 w

解析：本例的重點是過程模型的建立，咋看難度很大，無從下手，但是我們把跳繩分解成腳脫離地面和腳接觸地面兩段過程，在跳離到落回地面這段時間里，由于速度小，阻力可忽略，且主要是身體上、下的平動，因此可以建立質點豎直上拋的過程模型。起跳時的動能可以根據豎直上拋運動求出，再求出平均跳一次的時間即可求出平均功率，解出本題的正確答案為B。

通過上例分析可知，過程模型的應用的關鍵是物理過程的分析及其處理。力學研究的是自然界中最普遍的機械運動，而運動對象自身及其運動變化的過程要受周圍環(huán)境中諸多因素的影響和制約。在研究過程中，如果不加分析地把所有復雜因素考慮進來，就會增加研究的難度，甚至無法進行研究。因此，建立模型就要仔細分析研究對象的運動過程，充分考慮客觀事物的本質屬性，忽視次要的非本質屬性，將復雜的事物或運動過程，用較簡單客體模型和過程模型代替，進而解決實際問題。這種將復雜問題進行分解、簡化、抽象成力學模型的方法，可以啟發(fā)研究者突破思維障礙，解決極其復雜的問題。力學中解決實際問題大都使用了這種過程模型，使解決較復雜的實際問題簡單化，去除不必要的麻煩，得到科學的答案。譬如，一個光滑的半圓形軌道，半徑為R，圓心是O。如圖1所示，兩個相同的物體，一個放在圓心O處，一個放在離A點不遠的B處。現同時從靜止開始釋放，問誰先到達A點。

分析：本例中從圓心釋放的物體的運動過程很容易判斷為自由落體運動;難點是從B處開始釋放物體的運動過程的確定，一般很容易被看成圓周運動。仔細推敲：這里是軌道對物體產生指向圓心的支持力，這與一物體作單擺運動的受力及運動的情形完全一致，故其過程模型為單擺。建立了從B處開始釋放物體的過程模型，問題就迎刃而解，從而得出從圓心釋放物體先期到達A點的正確答案。可見，過程模型的正確運用可以突破較難的力學問題。

2.3 ?關于數學模型的應用

現沿如圖2所示的水平面勻速拉動一物體，問怎樣拉最省力。

解析：怎樣拉最省力？關鍵是看其模型圖3所示物體的受力情況，即看拉力F的方向，它與其運動方向的夾角有關。咋看似乎這個夾角a越小，沿運動方向的分力便越大，所以就越省力。但仔細分析，a夾角越小，F的豎直方向分量FY就會小，由N=mg-FY，可知正壓力N就變大，從而由摩擦力f=？滋N，可知摩擦力也就較大。因此很難下結論說夾角越小越省力。要準確回答這個問題必須建立F與a間的函數關系，遵循函數與機械運動的關系，連續(xù)求導，建立數學模型，找出自變量a的值，得出最省力的F（a）的極小值。

①根據靜力平衡方程，建立數學模型：

F=O，即Fcos a-？滋（mg-Fsin a）=0

②由F（a）的一階導數并令其為零，建立新的數學方程：

即=tga，a=arctg？滋時，F（a）有極值

③令F（a）的二階導數為零，再建數學方程：

所以，？滋=tga或a=arctg？滋是函數F（a）為極小值的條件，即滿足時最省力。

3 ?模型法在天體力學中的應用

例如，天文學家預測銀河系中可能存在一個巨大的黑洞，設距黑洞60億 km的星體以2 000 km/s的速度繞其旋轉，接近黑洞的所有物體即使速度等于光速也逃脫不了它的引力作用，試估算黑洞的半徑。

解析：由力學發(fā)展史可知，力學的概念及其理論，大都源自對天體運動的探研，故天體力學問題，可以運用模型法進行研究。

①建立客體模型：黑洞及其饒它運動的星體

星體到黑洞的距離r=60億km=6×1012 m，

星體速度V=2 000 km/s=2×106 m/s。

設星體和黑洞的質量分別為m和M，黑洞的半徑為R。

②建立過程模型：將星體繞黑洞的運動似作圓周運動

③建立數學模型：萬有引力定律

mGM/r2=mV2r

化簡后，GM/r2=V2r（1）

④求黑洞表面物體的逃逸速度，繼而求出黑洞半徑。

地球上第一宇宙速度為7.8 km/s，逃逸速度是第一宇宙速度的倍。黑洞上第一宇宙速度為，則黑洞逃逸速度為。

設以光速C運動的物體剛好不能逃逸，則=C，即2 GM/R=C2（2）

將（1）代入（2）式，得 2v2r/R=c2，于是得黑洞半徑：

參考文獻：

[1] 上海市高等工業(yè)學校物理學編寫組.普通物理學[M].上海：教育出版社，1978.

[2] 倪光炯，王炎森，錢景華，等.改變世界的物理學[M].上海：復旦大學出版社，1998.

[3] 朱傳龍.物理教學思維方式[M].北京：首都師范大學出版社，2000.

[4] 張倩.物理模型淺析[J].沈陽教育學院學報，1999，（12）.

[5] 韓峰.物理模型淺說[J].濟寧師范?？茖W校學報，2003，（6）.

[6] 翟秀蓮.淺析如何用模型法解決物理問題[J].科協(xié)論壇，2011，（8）.

解析：本例的重點是過程模型的建立，咋看難度很大，無從下手，但是我們把跳繩分解成腳脫離地面和腳接觸地面兩段過程，在跳離到落回地面這段時間里，由于速度小，阻力可忽略，且主要是身體上、下的平動，因此可以建立質點豎直上拋的過程模型。起跳時的動能可以根據豎直上拋運動求出，再求出平均跳一次的時間即可求出平均功率，解出本題的正確答案為B。

通過上例分析可知，過程模型的應用的關鍵是物理過程的分析及其處理。力學研究的是自然界中最普遍的機械運動，而運動對象自身及其運動變化的過程要受周圍環(huán)境中諸多因素的影響和制約。在研究過程中，如果不加分析地把所有復雜因素考慮進來，就會增加研究的難度，甚至無法進行研究。因此，建立模型就要仔細分析研究對象的運動過程，充分考慮客觀事物的本質屬性，忽視次要的非本質屬性，將復雜的事物或運動過程，用較簡單客體模型和過程模型代替，進而解決實際問題。這種將復雜問題進行分解、簡化、抽象成力學模型的方法，可以啟發(fā)研究者突破思維障礙，解決極其復雜的問題。力學中解決實際問題大都使用了這種過程模型，使解決較復雜的實際問題簡單化，去除不必要的麻煩，得到科學的答案。譬如，一個光滑的半圓形軌道，半徑為R，圓心是O。如圖1所示，兩個相同的物體，一個放在圓心O處，一個放在離A點不遠的B處?，F同時從靜止開始釋放，問誰先到達A點。

分析：本例中從圓心釋放的物體的運動過程很容易判斷為自由落體運動;難點是從B處開始釋放物體的運動過程的確定，一般很容易被看成圓周運動。仔細推敲：這里是軌道對物體產生指向圓心的支持力，這與一物體作單擺運動的受力及運動的情形完全一致，故其過程模型為單擺。建立了從B處開始釋放物體的過程模型，問題就迎刃而解，從而得出從圓心釋放物體先期到達A點的正確答案?？梢姡^程模型的正確運用可以突破較難的力學問題。

2.3 ?關于數學模型的應用

現沿如圖2所示的水平面勻速拉動一物體，問怎樣拉最省力。

解析：怎樣拉最省力？關鍵是看其模型圖3所示物體的受力情況，即看拉力F的方向，它與其運動方向的夾角有關。咋看似乎這個夾角a越小，沿運動方向的分力便越大，所以就越省力。但仔細分析，a夾角越小，F的豎直方向分量FY就會小，由N=mg-FY，可知正壓力N就變大，從而由摩擦力f=？滋N，可知摩擦力也就較大。因此很難下結論說夾角越小越省力。要準確回答這個問題必須建立F與a間的函數關系，遵循函數與機械運動的關系，連續(xù)求導，建立數學模型，找出自變量a的值，得出最省力的F（a）的極小值。

①根據靜力平衡方程，建立數學模型：

F=O，即Fcos a-？滋（mg-Fsin a）=0

②由F（a）的一階導數并令其為零，建立新的數學方程：

即=tga，a=arctg？滋時，F（a）有極值

③令F（a）的二階導數為零，再建數學方程：

所以，？滋=tga或a=arctg？滋是函數F（a）為極小值的條件，即滿足時最省力。

3 ?模型法在天體力學中的應用

例如，天文學家預測銀河系中可能存在一個巨大的黑洞，設距黑洞60億 km的星體以2 000 km/s的速度繞其旋轉，接近黑洞的所有物體即使速度等于光速也逃脫不了它的引力作用，試估算黑洞的半徑。

解析：由力學發(fā)展史可知，力學的概念及其理論，大都源自對天體運動的探研，故天體力學問題，可以運用模型法進行研究。

①建立客體模型：黑洞及其饒它運動的星體

星體到黑洞的距離r=60億km=6×1012 m，

星體速度V=2 000 km/s=2×106 m/s。

設星體和黑洞的質量分別為m和M，黑洞的半徑為R。

②建立過程模型：將星體繞黑洞的運動似作圓周運動

③建立數學模型：萬有引力定律

mGM/r2=mV2r

化簡后，GM/r2=V2r（1）

④求黑洞表面物體的逃逸速度，繼而求出黑洞半徑。

地球上第一宇宙速度為7.8 km/s，逃逸速度是第一宇宙速度的倍。黑洞上第一宇宙速度為，則黑洞逃逸速度為。

設以光速C運動的物體剛好不能逃逸，則=C，即2 GM/R=C2（2）

將（1）代入（2）式，得 2v2r/R=c2，于是得黑洞半徑：

參考文獻：

[1] 上海市高等工業(yè)學校物理學編寫組.普通物理學[M].上海：教育出版社，1978.

[2] 倪光炯，王炎森，錢景華，等.改變世界的物理學[M].上海：復旦大學出版社，1998.

[3] 朱傳龍.物理教學思維方式[M].北京：首都師范大學出版社，2000.

[4] 張倩.物理模型淺析[J].沈陽教育學院學報，1999，（12）.

[5] 韓峰.物理模型淺說[J].濟寧師范?？茖W校學報，2003，（6）.

[6] 翟秀蓮.淺析如何用模型法解決物理問題[J].科協(xié)論壇，2011，（8）.

解析：本例的重點是過程模型的建立，咋看難度很大，無從下手，但是我們把跳繩分解成腳脫離地面和腳接觸地面兩段過程，在跳離到落回地面這段時間里，由于速度小，阻力可忽略，且主要是身體上、下的平動，因此可以建立質點豎直上拋的過程模型。起跳時的動能可以根據豎直上拋運動求出，再求出平均跳一次的時間即可求出平均功率，解出本題的正確答案為B。

通過上例分析可知，過程模型的應用的關鍵是物理過程的分析及其處理。力學研究的是自然界中最普遍的機械運動，而運動對象自身及其運動變化的過程要受周圍環(huán)境中諸多因素的影響和制約。在研究過程中，如果不加分析地把所有復雜因素考慮進來，就會增加研究的難度，甚至無法進行研究。因此，建立模型就要仔細分析研究對象的運動過程，充分考慮客觀事物的本質屬性，忽視次要的非本質屬性，將復雜的事物或運動過程，用較簡單客體模型和過程模型代替，進而解決實際問題。這種將復雜問題進行分解、簡化、抽象成力學模型的方法，可以啟發(fā)研究者突破思維障礙，解決極其復雜的問題。力學中解決實際問題大都使用了這種過程模型，使解決較復雜的實際問題簡單化，去除不必要的麻煩，得到科學的答案。譬如，一個光滑的半圓形軌道，半徑為R，圓心是O。如圖1所示，兩個相同的物體，一個放在圓心O處，一個放在離A點不遠的B處。現同時從靜止開始釋放，問誰先到達A點。

分析：本例中從圓心釋放的物體的運動過程很容易判斷為自由落體運動;難點是從B處開始釋放物體的運動過程的確定，一般很容易被看成圓周運動。仔細推敲：這里是軌道對物體產生指向圓心的支持力，這與一物體作單擺運動的受力及運動的情形完全一致，故其過程模型為單擺。建立了從B處開始釋放物體的過程模型，問題就迎刃而解，從而得出從圓心釋放物體先期到達A點的正確答案?？梢姡^程模型的正確運用可以突破較難的力學問題。

2.3 ?關于數學模型的應用

現沿如圖2所示的水平面勻速拉動一物體，問怎樣拉最省力。

解析：怎樣拉最省力？關鍵是看其模型圖3所示物體的受力情況，即看拉力F的方向，它與其運動方向的夾角有關。咋看似乎這個夾角a越小，沿運動方向的分力便越大，所以就越省力。但仔細分析，a夾角越小，F的豎直方向分量FY就會小，由N=mg-FY，可知正壓力N就變大，從而由摩擦力f=？滋N，可知摩擦力也就較大。因此很難下結論說夾角越小越省力。要準確回答這個問題必須建立F與a間的函數關系，遵循函數與機械運動的關系，連續(xù)求導，建立數學模型，找出自變量a的值，得出最省力的F（a）的極小值。

①根據靜力平衡方程，建立數學模型：

F=O，即Fcos a-？滋（mg-Fsin a）=0

②由F（a）的一階導數并令其為零，建立新的數學方程：

即=tga，a=arctg？滋時，F（a）有極值

③令F（a）的二階導數為零，再建數學方程：

所以，？滋=tga或a=arctg？滋是函數F（a）為極小值的條件，即滿足時最省力。

3 ?模型法在天體力學中的應用

例如，天文學家預測銀河系中可能存在一個巨大的黑洞，設距黑洞60億 km的星體以2 000 km/s的速度繞其旋轉，接近黑洞的所有物體即使速度等于光速也逃脫不了它的引力作用，試估算黑洞的半徑。

解析：由力學發(fā)展史可知，力學的概念及其理論，大都源自對天體運動的探研，故天體力學問題，可以運用模型法進行研究。

①建立客體模型：黑洞及其饒它運動的星體

星體到黑洞的距離r=60億km=6×1012 m，

星體速度V=2 000 km/s=2×106 m/s。

設星體和黑洞的質量分別為m和M，黑洞的半徑為R。

②建立過程模型：將星體繞黑洞的運動似作圓周運動

③建立數學模型：萬有引力定律

mGM/r2=mV2r

化簡后，GM/r2=V2r（1）

④求黑洞表面物體的逃逸速度，繼而求出黑洞半徑。

地球上第一宇宙速度為7.8 km/s，逃逸速度是第一宇宙速度的倍。黑洞上第一宇宙速度為，則黑洞逃逸速度為。

設以光速C運動的物體剛好不能逃逸，則=C，即2 GM/R=C2（2）

將（1）代入（2）式，得 2v2r/R=c2，于是得黑洞半徑：

參考文獻：

[1] 上海市高等工業(yè)學校物理學編寫組.普通物理學[M].上海：教育出版社，1978.

[2] 倪光炯，王炎森，錢景華，等.改變世界的物理學[M].上海：復旦大學出版社，1998.

[3] 朱傳龍.物理教學思維方式[M].北京：首都師范大學出版社，2000.

[4] 張倩.物理模型淺析[J].沈陽教育學院學報，1999，（12）.

[5] 韓峰.物理模型淺說[J].濟寧師范?？茖W校學報，2003，（6）.

[6] 翟秀蓮.淺析如何用模型法解決物理問題[J].科協(xié)論壇，2011，（8）.