揭示本質(zhì)深化運用

張帶輝

摘 ?要：根的判別式在解決一元二次方程根的情形方面有著廣泛的應用，但判別式在其他方面的應用威力就連許多初中數(shù)學老師都感到很驚訝，究其原因是我們不知道判別式的真實面目，沒有真正認識清楚判別式的本質(zhì)，也沒有真正理解判別式與一元二次方程的內(nèi)在聯(lián)系.本文將通過自己對判別式的認識，，揭示判別式的本質(zhì)，理解判別式運用的威力.

關鍵詞：判別式的本質(zhì);認識;聯(lián)系;運用

為了揭示判別式的本質(zhì)，看清楚判別式的真實面目，理解判別式與一元二次方程的內(nèi)在聯(lián)系，現(xiàn)將一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）……①作如下的配方：

項移，得ax2+bx=-c

方程兩邊都乘以4a，得4a2x2+4abx=-4ac

方程兩邊都加上b2，得（2ax）2+2·（2ax）·b+b2=b2-4ac

配方，得（2ax+b）2=b2-4ac

即b2-4ac=（2ax+b）2……②

對判別式的認識我們不能僅僅只看到Δ=b2-4ac，也不能孤立的只看到②式，既要由①式往②a式去看，也要由②式往①式去想，這樣才能真正理解判別式的本質(zhì)，因此本人對判別式的認識有下列五點看法。

第一，從①式到②式的演變過程來看，判別式是配方的結果，因此能用判別式法解決的問題也能用配方法解決。

例1.若x、y為實數(shù)，且滿足x2+5y2+4xy-2y+1=0，求x、y的值.

解法1：（用判別式法）∵x、y為實數(shù)

∴關于x的一元二次方程x2+4yx+（5y2-2y+1）=0有實數(shù)解

即Δ=（4y）2-4（5y2-2y+1）=-4y2+8y-4=-4（y-1）2≥0

∴（y-1）2≤0

又∵（y-1）2≥0，∴y-1=0，得y=1，從而得到x=-2.

解法2：（用配方法）∵x2+5y2+4xy-2y+1=0

∴（x2+4xy+4y2）+（y2-2y+1）=0，即（x+2y）2+（y-1）2=0

得到 ? ?x+2y=0 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?x=-2

y-1=0 ? ? ?，解得： ? ?y=1

第二，由②式往①式的聯(lián)系來看，知道形如b2-4ac≥0或≤0的問題，可以轉化為一元二次方程來解決。

例2.已知實數(shù)a、b、c滿足 ? （b-c）2=（a-b）（c-a），求

的值.

分析：本題看似與判別式無關，但由已知可轉化得（b-c）2-4（a-b）（c-a）=0，聯(lián)想到Δ=0，這樣便可以用一元二次方程來解決。

解：當a=b時，可得b=c=a.故 ? ? ? ? = 2.

當a≠b時，設關于x的一元二次方程為（a-b）x2+（b-c）x+（c-a）=0∵（b-c）2-4（a-b）（c-a）=0，即Δ=0

∴方程（a-b）x2+（b-c）x+（c-a）=0有兩個相等的實數(shù)根。又∵（a-b）+（b-c）+（c-a）=0∴方程的兩根都為1

由根與系數(shù)的關系，得 ? ? ? ? ? ?=1，得到b+c=2a，故 ? ? ? ? ?= 2.

∴ ? ? ? ? ?的值為2.

第三，從②式的結構特征來看，當x為實數(shù)時，（2ax+b）2≥0，即b2-4ac≥0。

也就是說①式中，x為實數(shù)?b2-4ac≥0.利用它能解決一元二次方程待定系數(shù)的取值范圍。

例3.求代數(shù)式 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?的取值范圍.

分析：通過換元將等式轉化為一元二次方程，再利用Δ≥0來確定范圍.

解：設y= ? ? ? ? ? ? ? ? ? ，則（2y-1）x2+2（y+1）x+（y+3）=0.

當y≠ ? ? 時，∵x為實數(shù)，∴Δ=4（y+1）2-4（2y-1）（y+3）≥0

即y2+3y-4≤0.∴（y+4）（y-1）≤0.∴-4≤y≤1

當2y-1=0時，即y= ? ? ，方程有解.

∴-4≤ ? ? ? ? ? ? ? ? ≤1.

第四，從②式的整體來看，一元二次方程ax2+bx+c=0的解的情況等價于方程（2ax+b）2=b2-4ac的解的情況。容易得到：1.當b2-4ac≥0時，一元二次方程有實數(shù)根;2.當b2-4ac>0時，該方程有兩個不相等的實數(shù)根，此時x= ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?;3.當b2-4ac=0時，該方程有兩個相等的實數(shù)根，此時x1=x2=- ? ? ? ;4.當b2-4ac<0時，該方程沒有實數(shù)根。

第五，從①式的左邊來看，若二次三項式ax2+bx+c是一個完全平方式，那么②式的右邊就等于0，即b2-4ac=0。

例4.已知二次三項式4x2+（m-1）x+9是完全平方式，求m的值.

解：∵4x2+（m-1）x+9是完全平方式

∴（m-1）2-4×4×9=0.即（m-1）2=144，

解得m1=13，m2=-11.

例5.已知2x2-xy-y2+2my-8能分解成兩個一次因式的積，求m的值并進行因式分解。

解：設2x2-xy-y2+2my-8=0，則關于x的二次方程為2x2-yx+（-y2+2my-8）=0.

∵多項式能分解成兩個一次因式的積

∴判別式Δ是完全平方式

即（-y）2-8（-y2+2my-8）=（3y）2-2m·y·8+82是完全平方式，∴m=±3.

（1）當m=3時，由方程2x2-xy-y2+6y-8=0解得x=y-2或x=- ? ? y+2.

∴原式=（x-y+2）（2x+y-4）.

（2）當m=-3時，由方程2x2-xy-y2-6y-8=0解得x=y+2或x=- ? ? y-2.

∴原式=（x-y-2）（2x+y+4）.

參考文獻：

[1]王家成，李銳.判別式活用掠影[J].中學數(shù)學教學參考（中旬·初中），2009，5.

（作者單位：惠州市博羅縣龍溪第二中學，廣東 ? 惠州 ? 516121）