MCMC方法在多孔介質(zhì)流體預測中的應用

李旭　程國建　殷娟娟

摘要：孔隙度和滲透率作為油氣儲層的重要參數(shù)，對石油產(chǎn)量的預測有至關(guān)重要的作用。在多孔介質(zhì)流體流動過程中，孔隙度和滲透率的概率密度分布函數(shù)結(jié)構(gòu)復雜，難以用經(jīng)典分布予以描述，該文介紹了應用馬爾可夫鏈蒙特卡羅方法（Markov chain Monte Carlo method）對孔隙度和滲透率進行貝葉斯估計，然后在其后驗概率分布中采樣，得到部分已知流量數(shù)據(jù)并計算流量的似然分布，最終得到生產(chǎn)曲線并用該方法成功預測了生產(chǎn)曲線的走勢。同時在文章的最后，基于現(xiàn)存方法中存在的問題，提出了相關(guān)的改進方向。

關(guān)鍵詞：馬爾可夫鏈；蒙特卡羅方法；MCMC方法；多孔介質(zhì)流體預測；孔隙度；滲透率

中圖分類號：TE319 文獻標識碼：A 文章編號：1009-3044（2014）32-7769-03

Abstract： Permeability and porosity， which significantly describing of subsurface properties， are essential factors for the predicting gas production. But given the fact that in porous media flow process， the probability density functions for permeability and porosity are usually too complex for direct sampling， using classical statistical ways to describe the process is troublesome. This article introduced a relative Markov chain Monte Carlo method to solve this kind of problems. In this article， we demonstrated the process consisting Bayes estimation of permeability and porosity， sampling from their posterior distribution， finding the likelihood of the flows and prediction for the production given limited training data. Also， at the end of this article also listed the problems existing in current methods and provided several potential ways for improving.

Key words： Markov Chain； Monte Carlo method； Flow Prediction in Porous media

流體在多孔介質(zhì)中的流動是一類復雜流動，并在石油開發(fā)、能源安全以及地下水污染治理等許多領域均有涉及。在這些領域中，很多問題需要根據(jù)已有經(jīng)驗和已測數(shù)據(jù)構(gòu)建地下流體模型，并對地下流體的某些屬性或發(fā)展趨勢做出預測，例如水油比、CO2濃度、放射性粒子濃度或者生產(chǎn)曲線等。在石油儲層的勘探開發(fā)過程中，地下流量的預測尤為重要，不僅關(guān)乎生產(chǎn)效益更對生產(chǎn)決策起到至關(guān)重要的作用。

在地質(zhì)流體力學中，以孔隙度和滲透率作為參數(shù)的流量概率密度分布，往往呈現(xiàn)出較為復雜的函數(shù)結(jié)構(gòu)，很難用常用的經(jīng)典分布（如標準正態(tài)分布，均勻分布等）予以描述。因此，需要從孔隙度、滲透率及油井產(chǎn)量所構(gòu)成的復雜參數(shù)/分布結(jié)構(gòu)中獲得必要的模擬樣本。該文將馬爾可夫鏈蒙特卡羅方法（Markov chain Monte Carlo method）應用于多孔介質(zhì)流體預測中，介紹了MCMC方法的由來及其基本概念，闡述并依據(jù)實例展示了MCMC及其相關(guān)算法在石油產(chǎn)量預測中的運用，同時也對如何進一步提高預測成效提出了一定設想。如通過相關(guān)物理地質(zhì)分析可得到以孔隙率和滲透率等作為參數(shù)的油井產(chǎn)量的概率密度函數(shù)π（x），其函數(shù)形式由于地質(zhì)構(gòu)造公式的制約將會相當復雜，導致無法直接獲取產(chǎn)量的樣本，通過上述算法，我們可以任意選取初始值開始取樣，一段時間后（初始化階段結(jié)束后），取樣值將會依概率收斂于目標密度函數(shù)，此時可將初始化階段結(jié)束后得到的樣本作為一組從原概率密度分布得到的近似樣本。在實際運用中，由于孔隙率滲透率等地質(zhì)參數(shù)是未知的，需要對其進行貝葉斯估計，其過程中同樣將運用MCMC方法。

2 MCMC方法應用實例

在V. Ginting等人的研究中，應用MCMC方法對石油儲層產(chǎn)量曲線進行了預測[4]。在本案例中，首先通過部分已知的流量數(shù)據(jù)來進行滲透率和孔隙度的貝葉斯估計，并由已知的相關(guān)分布綜合資料來創(chuàng)建地下行為模擬。再使用這些數(shù)據(jù)運行流體模擬軟件得出產(chǎn)量曲線。具體做法如下：

石油儲層的產(chǎn)量曲線預測包含兩個步驟：描述和預測。一般我們無法獲得具體的滲透率和孔隙度的資料，但是在MCMC方法的支持下我們可以通過貝葉斯估計得到。首先依據(jù)常用假設對基于滲透率和孔隙率的分布函數(shù)進行預處理，通過運用Karhunen—Loeve（簡稱KL）展開降低參數(shù)維度，得到包含滲透率和孔隙率的參數(shù)向量ψ，為了得到ψ的貝葉斯估計，需要從關(guān)于滲透率和孔隙率的后驗概率分布中采樣，即從P（ψ|Fm）中采樣，這里的Fm代表了部分已知流量數(shù)據(jù)。

然而正如上文中提到的，實現(xiàn)這一方法的關(guān)鍵點是得到關(guān)于滲透率和孔隙率的合理的貝葉斯估計。這除了要求對MCMC及其相關(guān)算法的熟練掌握外，最重要的是對先驗概率分布的合理假設。在研究中，為了得到合理的先驗概率分布，提出了用Karhunen—Loeve展開降維，然而在進行模擬運算時，為了簡化模型，還是基于滲透率和孔隙率相互獨立的基本假設，這也就為未來的相關(guān)研究留下了很大的提升空間。endprint

3 關(guān)于MCMC方法的改進設想

在以上關(guān)于MCMC方法的應用實例中，為了簡化模型，假設滲透率和孔隙度是不相關(guān)的，但是實際上并非如此。相關(guān)文獻[5-6]表明，低滲透率低孔隙度巖石的孔隙度和滲透率之間并非相互獨立。所以為了得到更精確更符合實際的預測結(jié)果，在MCMC方法中，可以在滲透率和孔隙度之間加入他們之間的關(guān)系參數(shù)，通過對這類相關(guān)系數(shù)或協(xié)方差等參數(shù)的數(shù)字估計，整個模型的精度和預測效果有望大幅度提高。除了運用Karhunen—Loeve展開的降維方法以外，還有多種統(tǒng)計方法可以應用于此類研究，如考慮將因子分析、主成分分析等多元統(tǒng)計方法，或是lasso等針對高維參數(shù)的估計方法加入研究，相關(guān)的估計與預測分析將會有進一步的發(fā)展。

4 結(jié)束語

MCMC方法已廣泛應用于金融、地質(zhì)、環(huán)境保護、電力系統(tǒng)等領域的研究[7-10]，應用MCMC方法研究期貨市場流動、地震參數(shù)、水污染溯源、大型電力系統(tǒng)可靠性評估等方面的工作日趨活躍，MCMC方法作為統(tǒng)計學的一種重要方法，將繼續(xù)在其他各學科中得到應用與發(fā)展。

本文具體介紹了MCMC方法的基本概念及相關(guān)算法，并依據(jù)國外相關(guān)研究實例介紹了其在多孔介質(zhì)中流體預測中的運用。詳細闡述了通過MCMC方法獲得多孔介質(zhì)流體模型中滲透率和孔隙度的貝葉斯估計的基本步驟，進而依據(jù)其估計建立出完整的地下屬性描述并進行流量預測的具體過程。同時在文章的結(jié)尾部分，根據(jù)現(xiàn)有方法的不足，提出了相關(guān)的改進設想，有望基于相關(guān)分析提高預測成果。

參考文獻：

[1] Classical Text in Translation：A. A. Markov， An Example of Statistical Investigation of the Text Eugene Onegin Concerning the Connection of Samples in Chains， trans. David Link. Science in Context 19.4 （2006）： 591-600.

[2] 陳平，徐若曦.Metropolis-Hasting自適應算法及其應用[J].系統(tǒng)工程理論與實踐，2008（1）：100-108.

[3] Rosenthal，Jeffrey （March 2004）. "W.K. Hastings， Statistician and Developer of the Metropolis-Hastings Algorithm". Retrieved 2009-06-02.

[4] V.Ginting， Multiple Markov Chains Monte Carlo Approach for Flow Forecasting in Porous[J]. Procedia Computer Science， 2012 （9）：707-716.

[5] 邵維志，解經(jīng)宇，等.低孔隙度低滲透率巖石孔隙度與滲透率關(guān)系研究[J].測井技術(shù)，2013（4）： 149-153.

[6] 李留仁，袁士義.分形多孔介質(zhì)滲透率與孔隙度理論關(guān)系模型[J].西安石油大學學報：自然科學版，2010（5）：49-51.

[7] 盧斌，華仁海.基于MCMC方法的中國期貨市場流動性研究[J].管理科學學報，2004（9）：98-106.

[8] 張廣智，王丹陽.利用MCMC方法估算地震參數(shù)[J].石油地球物理勘探，2011，46（4）：605-609.

[9] 楊海東，肖宜.突發(fā)性水污染事件溯源方法[J].水科學進展，2014，25（1）：122-129.

[10] 石文輝，別朝紅.大型電力系統(tǒng)可靠性評估中的馬爾可夫鏈蒙特卡洛方法[J].中國電機工程學報，2008，28（4）：9-15.endprint

3 關(guān)于MCMC方法的改進設想

在以上關(guān)于MCMC方法的應用實例中，為了簡化模型，假設滲透率和孔隙度是不相關(guān)的，但是實際上并非如此。相關(guān)文獻[5-6]表明，低滲透率低孔隙度巖石的孔隙度和滲透率之間并非相互獨立。所以為了得到更精確更符合實際的預測結(jié)果，在MCMC方法中，可以在滲透率和孔隙度之間加入他們之間的關(guān)系參數(shù)，通過對這類相關(guān)系數(shù)或協(xié)方差等參數(shù)的數(shù)字估計，整個模型的精度和預測效果有望大幅度提高。除了運用Karhunen—Loeve展開的降維方法以外，還有多種統(tǒng)計方法可以應用于此類研究，如考慮將因子分析、主成分分析等多元統(tǒng)計方法，或是lasso等針對高維參數(shù)的估計方法加入研究，相關(guān)的估計與預測分析將會有進一步的發(fā)展。

4 結(jié)束語

MCMC方法已廣泛應用于金融、地質(zhì)、環(huán)境保護、電力系統(tǒng)等領域的研究[7-10]，應用MCMC方法研究期貨市場流動、地震參數(shù)、水污染溯源、大型電力系統(tǒng)可靠性評估等方面的工作日趨活躍，MCMC方法作為統(tǒng)計學的一種重要方法，將繼續(xù)在其他各學科中得到應用與發(fā)展。

本文具體介紹了MCMC方法的基本概念及相關(guān)算法，并依據(jù)國外相關(guān)研究實例介紹了其在多孔介質(zhì)中流體預測中的運用。詳細闡述了通過MCMC方法獲得多孔介質(zhì)流體模型中滲透率和孔隙度的貝葉斯估計的基本步驟，進而依據(jù)其估計建立出完整的地下屬性描述并進行流量預測的具體過程。同時在文章的結(jié)尾部分，根據(jù)現(xiàn)有方法的不足，提出了相關(guān)的改進設想，有望基于相關(guān)分析提高預測成果。

參考文獻：

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[9] 楊海東，肖宜.突發(fā)性水污染事件溯源方法[J].水科學進展，2014，25（1）：122-129.

[10] 石文輝，別朝紅.大型電力系統(tǒng)可靠性評估中的馬爾可夫鏈蒙特卡洛方法[J].中國電機工程學報，2008，28（4）：9-15.endprint

3 關(guān)于MCMC方法的改進設想

在以上關(guān)于MCMC方法的應用實例中，為了簡化模型，假設滲透率和孔隙度是不相關(guān)的，但是實際上并非如此。相關(guān)文獻[5-6]表明，低滲透率低孔隙度巖石的孔隙度和滲透率之間并非相互獨立。所以為了得到更精確更符合實際的預測結(jié)果，在MCMC方法中，可以在滲透率和孔隙度之間加入他們之間的關(guān)系參數(shù)，通過對這類相關(guān)系數(shù)或協(xié)方差等參數(shù)的數(shù)字估計，整個模型的精度和預測效果有望大幅度提高。除了運用Karhunen—Loeve展開的降維方法以外，還有多種統(tǒng)計方法可以應用于此類研究，如考慮將因子分析、主成分分析等多元統(tǒng)計方法，或是lasso等針對高維參數(shù)的估計方法加入研究，相關(guān)的估計與預測分析將會有進一步的發(fā)展。

4 結(jié)束語

MCMC方法已廣泛應用于金融、地質(zhì)、環(huán)境保護、電力系統(tǒng)等領域的研究[7-10]，應用MCMC方法研究期貨市場流動、地震參數(shù)、水污染溯源、大型電力系統(tǒng)可靠性評估等方面的工作日趨活躍，MCMC方法作為統(tǒng)計學的一種重要方法，將繼續(xù)在其他各學科中得到應用與發(fā)展。

本文具體介紹了MCMC方法的基本概念及相關(guān)算法，并依據(jù)國外相關(guān)研究實例介紹了其在多孔介質(zhì)中流體預測中的運用。詳細闡述了通過MCMC方法獲得多孔介質(zhì)流體模型中滲透率和孔隙度的貝葉斯估計的基本步驟，進而依據(jù)其估計建立出完整的地下屬性描述并進行流量預測的具體過程。同時在文章的結(jié)尾部分，根據(jù)現(xiàn)有方法的不足，提出了相關(guān)的改進設想，有望基于相關(guān)分析提高預測成果。

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[6] 李留仁，袁士義.分形多孔介質(zhì)滲透率與孔隙度理論關(guān)系模型[J].西安石油大學學報：自然科學版，2010（5）：49-51.

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[8] 張廣智，王丹陽.利用MCMC方法估算地震參數(shù)[J].石油地球物理勘探，2011，46（4）：605-609.

[9] 楊海東，肖宜.突發(fā)性水污染事件溯源方法[J].水科學進展，2014，25（1）：122-129.

[10] 石文輝，別朝紅.大型電力系統(tǒng)可靠性評估中的馬爾可夫鏈蒙特卡洛方法[J].中國電機工程學報，2008，28（4）：9-15.endprint