羅必達(dá)法則求極限的應(yīng)用及誤區(qū)

于河

摘 要：

通過(guò)例題展示了羅必達(dá)法則求極限的重要應(yīng)用，并說(shuō)明了羅必達(dá)法則在使用過(guò)程中與其他方法的配合及多種方法的靈活運(yùn)用。同時(shí)指出了羅必達(dá)法則的不足之處——會(huì)失效，及羅必達(dá)法則失效時(shí)的方法選擇問(wèn)題。

關(guān)鍵詞：

羅必達(dá)法則;應(yīng)用;不足

中圖分類號(hào)：

G4

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：16723198（2014）23014302

在求00型與∞∞型未定式的極限中，羅必達(dá)法則可謂立下了汗馬功勞。它不僅簡(jiǎn)化了求未定式極限的方法，也使得很多復(fù)雜的未定式極限問(wèn)題得解。但對(duì)于某些問(wèn)題看似可以用羅必達(dá)法則解答的，最后卻走入了死胡同里。說(shuō)明羅必達(dá)法則在解決未定式極限的問(wèn)題上不是萬(wàn)能的，也有不足之處。本文將通過(guò)相關(guān)例題帶大家領(lǐng)略羅必達(dá)法則的奇妙之處，并尋找解決其不足之處的方法。

1 羅必達(dá)法則的應(yīng)用

學(xué)過(guò)高等數(shù)學(xué)的人都知道，羅必達(dá)法則是用導(dǎo)數(shù)的方法來(lái)求未定式極限的非常重要的定理。它是針對(duì)00型和∞∞型未定式的求解方法。下面舉例說(shuō)明羅必達(dá)法則的使用方法。

例1 求limx→1x3-3x+2x3-x2-x+1（00型未定式，使用羅必達(dá)法則求解）

解：原式=limx→13x2-33x2-2x-1（還是00型未定式，繼續(xù)使用羅必達(dá)法則）

=limx→16x6x-2（代入求極限）

=32

說(shuō)明：羅必達(dá)法則可以在求極限的過(guò)程中反復(fù)使用。

例2 求limx→0+lncotxlnx （∞∞型未定式，使用羅必達(dá)法則求解）

解：limx→0+lncotxlnx=limx→0+1cotx·（-1sin2x）1x ? （整理）

=-limx→0+xsinxcosx

=-limx→0+xsinx·limx→0+1cosx （分離出特殊極限）

=-1

例3 求limx→0+3x-3sin3x（1-cosx）ln（1+2x）

解：當(dāng)x→0時(shí)，1-cosx～12x2，ln（1-2x）～2x，

故 limx→03x-sin3x（1-cosx）ln（1+2x）（先利用等價(jià)無(wú)窮小量代換將函數(shù)簡(jiǎn)化）

=limx→03x-sin3xx3（再用羅比達(dá)法則解答）

=limx→03-3cos3x3x2（再次使用羅比達(dá)法則）

=limx→03sin3x2x=92

說(shuō)明：在使用羅必達(dá)法則的過(guò)程中，可以通過(guò)化簡(jiǎn)并靈活運(yùn)用各種求極限的方法簡(jiǎn)化運(yùn)算。

例4 求limx→+∞xneλx （n為正整數(shù)，λ>0）

解：反復(fù)應(yīng)用洛必達(dá)法則n次，得

原式=limx→+∞nxn-1λeλx

=limx→+∞n（n-1）xn-2λ2eλx

=……

=limx→+∞n！λneλx=0

說(shuō)明：對(duì)于比較抽象的問(wèn)題，應(yīng)該通過(guò)觀察發(fā)現(xiàn)其特點(diǎn)，從而選擇正確的方法。

對(duì)于其他類型的未定式，比如0·∞型，∞-∞型，00，1∞，∞0型，我們可以轉(zhuǎn)化為00型與∞∞型未定式來(lái)解答。

例5 求limx→+∞x-2ex （0·∞型）

解：limx→+∞x-2ex

=limx→+∞exx2 ? ? ? ? （變成∞∞型未定式）

=limx→+∞ex2x=limx→+∞ex2 ? ? （使用羅必達(dá)法則兩次）

=+∞.

例6 求 limx→π2（secx-tanx） （∞-∞型）

解：limx→π2（secx-tanx）

=limx→π2（1cosx-sinxcosx）=limx→π21-sinxcosx ?（變形為00型未定式）

=limx→π2-cosx-sinx=01=0 ? ? ?（使用羅必達(dá)法則）

2 羅必達(dá)法則使用的誤區(qū)

在使用羅必達(dá)法則求解未定式極限時(shí)，必須明確其使

用條件，否則會(huì)發(fā)生錯(cuò)誤。

例7 求limx→+∞x2-x-1x3+x+1

錯(cuò)解：limx→+∞x2-x-1x3+x+1 ? （∞∞型未定式）

=limx→+∞2x-13x2+1 ? ?（∞∞型未定式）

=limx→+∞26x ? ? ?（不再是∞∞型未定式，繼續(xù)使用了羅必達(dá)法則）

=limx→+∞06=0

正解：limx→+∞x2-x-1x3+x+1 ? （∞∞型未定式）

=limx→+∞2x-13x2+1 ? ?（∞∞型未定式）

=limx→+∞26x（不再是∞∞型未定式，不再使用羅必達(dá)法則）

=0

洛必達(dá)法則是充分條件而非必要條件，即極限limf′xg′x存在只是limfxgx存在的充分而非必要條件，極限limf′xg′x不存在，不能斷定極限limfxgx也不存在。所以，羅必達(dá)法則又不是萬(wàn)能的。

例8 求limx→+∞x+sinxx-cosx ?（∞∞型）

錯(cuò)解：limx→+∞x+sinxx-cosx ?（∞∞型未定式，使用羅必達(dá)法則）

=limx→+∞1+cosx1+sinx （振蕩型無(wú)極限，羅必達(dá)法則失效）

正解：limx→+∞x+sinxx-cosx

=limx→+∞1+sinxx1-cosx

=1

例9 求

limx→+∞x2sin1xsinx （00型未定式）

錯(cuò)解：limx→+∞x2sin1xsinx=limx→02xsin1x-cos1xcosx，此式振蕩無(wú)極限，故洛必達(dá)法則失效。

正解：limx→0x2sin1xsinx=limx→0（xsinx·xsin1x）=limx→0xsin1xlimx→0sinxx

=01=0

由此可見羅必達(dá)法則不是萬(wàn)能的。當(dāng)利用羅必達(dá)法則求極限時(shí)，除了要逐步驗(yàn)證條件外，還要根據(jù)所求極限的特點(diǎn)，結(jié)合其它的極限求法，保證計(jì)算的簡(jiǎn)捷性與準(zhǔn)確性。

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