一種三次多項(xiàng)式湍黏性底邊界層的流場(chǎng)分布

紀(jì)艷菊 , 劉淑波 齊 震

(1.中國(guó)科學(xué)院 海洋研究所, 山東 青島 266071; 2.中國(guó)科學(xué)院大學(xué), 北京 100049; 3.中國(guó)石油大學(xué)(華東)理學(xué)院, 山東 青島 266580; 4.河北省地礦局第四水文工程地質(zhì)大隊(duì) 滄州市海洋環(huán)境監(jiān)測(cè)站, 河北 滄州061000)

湍流底邊界層的流場(chǎng)結(jié)構(gòu)對(duì)于海洋工程研究具有十分重要的意義和理論價(jià)值, 比如泥沙的侵蝕,懸浮沉積過(guò)程[1-2]、湍流混合[3]、能量耗散[4]及Ekman抽吸[5]。迄今為止雖然有很多文獻(xiàn)從不同角度(如理論上和實(shí)驗(yàn)上)研究了底邊界層的動(dòng)力特征[6-13], 但是精確地描述復(fù)雜湍流底邊界層的動(dòng)力機(jī)制卻十分困難。實(shí)際海洋中, 有很多因素影響底邊界層的動(dòng)力系統(tǒng), 如垂向渦黏性的分布、底部粗糙度、底邊界層上部流場(chǎng)的分布和Coriolis力等。其中垂直渦黏性的分布是一個(gè)十分重要的參數(shù), 對(duì)它適當(dāng)且準(zhǔn)確地描述可以更好地預(yù)測(cè)和模擬湍流底邊界層的動(dòng)力結(jié)構(gòu)。

為了更加準(zhǔn)確地理解邊界層的動(dòng)力特征, 垂直渦黏性的各種假設(shè)被廣泛地提出[9-21]。眾所周知, 垂直渦黏性是底邊界層高度的函數(shù)。例如, 由長(zhǎng)度混合假設(shè)知, 渦黏性υ1是底邊界層高度的線(xiàn)性函數(shù)υ1=kzu*, 其中k是 Karman常數(shù)(k≈0.4),z是底邊界層的垂直高度(原點(diǎn)在底邊界層的底部, 向上為正),u*=(τ/ρ)1/2是底摩擦速度,ρ是流體的密度,τ是底剪應(yīng)力。利用線(xiàn)性參數(shù)模式, Weatherly等[9]推導(dǎo)出了海洋傾斜底邊界層的速度解析解; Cushman-Roisin等[5]利用該渦黏性研究了深海洋的底部Ekman抽吸; Zou[10]在該模式的基礎(chǔ)上, 同時(shí)考慮了湍流消耗和擴(kuò)散效應(yīng), 得到了湍流底邊界層的速度解析解。另外, Ostendorf[12]和 Prandle[13]利用該線(xiàn)性模式分別研究了考慮地球旋轉(zhuǎn)的湍流底邊界層和邊界條件為無(wú)應(yīng)力的潮流底邊界層。然而, 在這2個(gè)研究中, 由于分別考慮了地球的旋轉(zhuǎn)和底邊界層上表面應(yīng)力的消失, 渦黏性的分布需要進(jìn)一步修正。為了解決這個(gè)難題, 各種不同的渦黏性模式被提出。Beach等[14]提出了線(xiàn)性-指數(shù)形式的渦黏性υ2,υ2=k1ku*ze xp(-k2z/d), 其中k1,k2為 2個(gè)常系數(shù),d是底邊界層的有效高度。通過(guò)該渦黏性, Hsu等[15]預(yù)測(cè)的湍流底邊界層的速度剖面和實(shí)驗(yàn)觀測(cè)結(jié)果一致, Absi[16]計(jì)算了細(xì)沙和粗泥沙懸浮液的濃度。另外,Myrhaug[17]利用了湍流渦黏度的二次形式υ3=ku*z(1 -z/d)描述了粗糙底邊界層的湍流運(yùn)動(dòng)。根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù), Nezu等[18]得到了該渦黏性的二次形式,并進(jìn)一步揭示了底邊界層的速度分布。Perlin等[19-20]利用此渦黏性研究了底Ekman層的湍流、分層和速度分布; Shimizu[11]考慮了分層和地轉(zhuǎn)效應(yīng)得到了湍流底邊界層的解析模式, 并且和已知的實(shí)驗(yàn)結(jié)果擬合良好。李明悝等[21]通過(guò)分析不同水深和潮流振幅情況下, 得到了一個(gè)潮致垂直混合渦動(dòng)黏性系數(shù)υT的擬合公式υT=L(1 -z)2z2, 其中L為常數(shù), 與潮流振幅和底混合層厚度有關(guān), 在該參數(shù)化方案下, 模擬的海洋溫度三維結(jié)構(gòu)和實(shí)際觀測(cè)基本吻合。

為了對(duì)問(wèn)題進(jìn)一步探討, 在本文研究中, 我們提出了三次多項(xiàng)式形式的渦黏性υ=az2(1 -z/d),其中a是常數(shù)(與摩擦速度u*與有效高度d有關(guān)),得到了湍流底邊界層的速度的解析解, 并進(jìn)——步得出底邊界層內(nèi)其他的動(dòng)力參數(shù)的解析形式。在數(shù)學(xué)方法上, 湍流底邊界層的流場(chǎng)分布用超幾何函數(shù)表示[22]。超幾何函數(shù)在函數(shù)的展開(kāi)和量子力學(xué)的問(wèn)題中有很多的應(yīng)用[23-24], 在湍流底邊界層的動(dòng)力系統(tǒng)問(wèn)題中卻很少被用到。本文在一個(gè)新的湍黏性分布下, 對(duì)方程進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q, 最終化簡(jiǎn)為超幾何方程, 利用超幾何方程的基本解—超幾何函數(shù)來(lái)表示湍流底邊界層的動(dòng)力結(jié)構(gòu)。在文章最后利用數(shù)值結(jié)果討論了底邊界層的動(dòng)力結(jié)構(gòu)受一些參數(shù)的影響情況, 為研究底邊界層動(dòng)力結(jié)構(gòu)選用合適的渦黏性的形式提供了借鑒和參考。

1 底邊界層的控制方程和解析解

假定湍流底邊界層內(nèi)的流體充分混合, 即密度均勻, 同時(shí)邊界層底部粗糙平坦。因此湍流底邊界層的運(yùn)動(dòng)基本方程可以簡(jiǎn)化為Navier-Stokes (N-S)方程:

其中f= 2 Ω s inφ是Coriolis參數(shù)(本文中假設(shè)為正常數(shù)), Ω和φ分別是地球自轉(zhuǎn)角速度和地理緯度,t是時(shí)間,z是垂直高度(指向上為正的, 零點(diǎn)在底邊界層的底部, 見(jiàn)圖1)。υ=az2(1 -αz)為動(dòng)力渦黏性,其中a是常數(shù)(與摩擦速度u*和底邊界層的有效高度d有關(guān)),α=1/d。uE和vE分別為x,y方向的虧損速度(Ekman速度), 它們是z和t的函數(shù)。而uI和vI為底邊界層上部x,y方向的速度分量(即底邊界層的總速度u,v分別為u=uI+uE和v=vI+vE)。

圖1 底邊界層示意圖Fig.1 Bottom boundary layer sketch

方程(1a)和方程(1b)的頂部邊界為無(wú)應(yīng)力條件:

其中h為邊界層的厚度。

底邊界層的底部邊界為無(wú)滑移條件:

其中z0為底粗糙度, 本文假定為正常數(shù)。

底邊界層的上方由海洋潮汐力所產(chǎn)生的內(nèi)部流場(chǎng)為:

其中ω為內(nèi)部流的角頻率,u~I和v~I為內(nèi)部流速的復(fù)振幅且為常值,c.c.為復(fù)共軛?？刂品匠?1a)、(1b)在邊界條件(2)和(3)下, 得到了底邊界層速度的解析解。引入兩個(gè)新的變量F1=vE-iuE和F2=vE+iuE,帶入方程(1)得:

令F1=ρ1(z) eiωt,F2=ρ2(z) eiωt, 其中ρ1和ρ2分別是

z的兩個(gè)不同的函數(shù), 方程(5)可簡(jiǎn)化為:

令ρ(z) =rpV(r),r=αz, 其中V是r的函數(shù),p是復(fù)

1常數(shù), 將上式代入(6a)。為進(jìn)一步化簡(jiǎn)方程的需要,令p2+p- i (ω+f)/α= 0 , 使得方程(6a)可化為超幾何方程[22]:

其中C1、C2、C3和C4是待定系數(shù), 可由邊界條件(2)和(3)確定。則方程(1a)、方程(1b)的解為

其中

2 底邊界層的動(dòng)力參數(shù)

2.1 剪應(yīng)力

其中cII和c⊥為復(fù)線(xiàn)性摩擦系數(shù),

2.2 Ekman傳輸

其中

進(jìn)一步解得

2.3 Ekman抽吸

假設(shè)流體為不可壓縮的, Ekman抽吸可由對(duì)三維 連 續(xù) 方 程 ?u/ ?x+ ?v/ ?y+ ?w/ ?z= 0 兩 端 分 別 從z=z0到z=h積分并結(jié)合公式(11)得到

其中wh表示z=h時(shí), 底邊界層的垂向速度,wz0表示z=z0時(shí), 底邊界層的垂向速度,wE表示Ekman抽吸,在伸展和壓縮海洋內(nèi)部流方面起重要作用。

2.4 底邊界層近底部速度和剪應(yīng)力

接近底邊界層的底部, 有極限(α=z/d→ 0 )和rp≈ 0 , 并利用超幾何函數(shù)的性質(zhì),[22]F(α,β,γ, 0 ) ≈ 1 , 利用邊界層速度公式(8), 我們得到底邊界層的近底部速度剖面,

3 數(shù)值分析

作為動(dòng)力特征分析, 在這部分, 我們假設(shè)一個(gè)單一內(nèi)部流(uI,vI) = ( 0,1)VI, 其中VI為實(shí)常數(shù), 表示速度的大小。在不考慮地轉(zhuǎn)效應(yīng)的情況下, 分別討論了平均流的角頻率和底邊界層頂部粗糙度Δ =1 -h/d(圖1)對(duì)速度的影響情況(圖2和圖3)。在考慮了地轉(zhuǎn)效應(yīng)情況下, 分別討論了參數(shù)S=ω/f和相位角ωt對(duì)底邊界層速度的影響情況(圖4~圖6), 以及參數(shù)S=ω/f對(duì)底邊界層剪應(yīng)力的影響(圖7), 更加清晰地理解底邊界層內(nèi)的動(dòng)力結(jié)構(gòu)。

在t=0s,f=0 rad/s,a=0.1 m/s, (uI,vI) = ( 1,0)VI和VI=1 m/s的情況下, 圖2給出了不同的平均流角頻率對(duì)應(yīng)的無(wú)量綱的總速度剖面(u,v) = (uI+uE,vI+vE)的分布。從圖2可以看出總速度的大小|(u,v)|與平均角頻率有很大的關(guān)系。在底邊界層的同一高度上,隨著平均角頻率的增大而增大, 在角頻率為ω= 1.2× 1 0-4rad/s時(shí), 總速度最大, 但是總速度的變化梯度越來(lái)越小; 對(duì)每個(gè)平均流的角頻率, 在接近邊界層的頂部時(shí), 總速度達(dá)到在一個(gè)固定值, 在靠近邊界層底部, 總速度迅速減小為0。圖3給出了不同 Δ =1-h/d對(duì)應(yīng)的總速度分布(=0.1、0.3和0.7)。在底邊界層的同一深度, 總速度的大小隨著Δ的增加越來(lái)越大, 但是影響不明顯。特別是在底邊界層近底部, 速度剖面對(duì)Δ幾乎不敏感。

圖2 不同的角頻率ω下的速度剖面Fig.2 Velocity profile with different angular frequency ω

圖3 不同的Δ下的速度剖面Fig.3 Velocity profile with different Δ

圖4 不同S下的總速度的大小■(u, v)■(a)和相位arg[(u, v)](b)Fig.4 Velocity magnitude ■(u, v)■(a)and phase arg[(u, v)](b) with different parameters S , respectively

圖5 在不同S下的虧損速度的大小■(uE, vE)■(a)和相位arg[(uE, vE)](b)Fig.5 Velocity defect magnitude■(uE, vE)■(a)and phase arg[(uE, vE)](b)with different parameters S

圖6 不同相位角tω下的總速度大小■(u, v)■的分布Fig.6 Velocity magnitude profile ■(u, v)■ with different phases tω

圖7 不同的S對(duì)應(yīng)的剪應(yīng)力的大小|(τx , τy ) | (a)和相位arg[(u, v)](b)Fig.7 The shear stress magnitude |(τx , τy ) | (a) and phase arg[(u, v)](b) with different S

在ω=7.27×10-5rad/s,t=0 s,a=0.01 m/s,(uI,vI)= ( 1,0)VI和VI=1 m/s的情況下, 圖4給出了在不同的S對(duì)應(yīng)的總速度大小(a)和相位(b)分布(S=0.6、0.9、1.2和2.6)。從圖4(a)中可以看出, 速度的大小隨著S的變化很小, 特別是在邊界層的頂部和底部幾乎沒(méi)有變化。圖4(b)可以看出, 速度的偏轉(zhuǎn)角受到地球的自轉(zhuǎn)影響明顯, 當(dāng) 01時(shí), 相位的變化達(dá)到了4°。圖5給出了不同S(S=0.6、0.9、1.2和2.6)對(duì)應(yīng)的虧損速度大小(a)和相位(b)分布。當(dāng)01時(shí), 在同一高度,虧損速度的大小隨著S的增加越來(lái)越小; 相位隨著高度的增加而減小, 順時(shí)針旋轉(zhuǎn)。

在ω=7.27×10-5rad/s,a=0.1 m/s, (uI,vI)=(1,0)VI和VI=1 m/s的情況下, 圖6描述了在不同的相位角ωt(ωt=0°、30°、60°、90°、120°和150°)對(duì)應(yīng)的總速度剖面的分布。在邊界層內(nèi), 當(dāng)01時(shí), 速度的大小隨著相位ωt的增加先減小后增大,并在ωt=90°時(shí), 速度達(dá)到最小值; 在ωt=0°(180°)時(shí),速度達(dá)到最大值。

在ω=7.27×10-5rad/s,a=0.01 m/s, (uI,vI)=(1,0)VI和VI=1 m/s的情況下, 圖7給出了在不同S對(duì)應(yīng)的底邊界層的剪應(yīng)力大小(a)和相位(b)的分布情況。從圖中可以看出, 底邊界層的剪應(yīng)力隨著高度的減小而增大, 最大值約為 0.14 Pa; 在底邊界層的相同高度, 剪應(yīng)力的大小和相位隨著S的增加而減小,在底邊界層的底部, 相位約為–25°, 在底邊界層的頂部, 最大剪應(yīng)力的相位約為150°。

4 討論

通過(guò)假定底邊界層的渦黏性的三次多項(xiàng)式形式,在簡(jiǎn)化的N-S方程的基礎(chǔ)上, 通過(guò)變量代換, 利用超幾何方程的性質(zhì), 求得了粗糙底邊界層的速度的解析解。并進(jìn)一步得到了底邊界層的其他的動(dòng)力參數(shù),如速度分布, 剪應(yīng)力, Ekman傳輸, Ekman抽吸及近底部的速度和剪應(yīng)力, 并且在該渦黏性模式下得到的近底部的速度非一般的對(duì)數(shù)形式。利用數(shù)值結(jié)果分析, 首先在不考慮地轉(zhuǎn)的情況下, 底邊界層內(nèi)的總速度隨著平均流的角頻率的增加而增加, 而對(duì)于底邊界層頂部粗糙度的變化卻不是很敏感。其次是考慮地轉(zhuǎn)的情況下, 討論了底邊界層內(nèi)的總速度,虧損速度及其底剪應(yīng)力的變化, 由于地轉(zhuǎn)因素, 速度及其剪應(yīng)力都有相位的變化。

本文所假設(shè)的渦黏性模式, 從理論上豐富了底邊界層渦黏性的形式, 須進(jìn)一步通過(guò)實(shí)驗(yàn)結(jié)果或觀測(cè)結(jié)果來(lái)驗(yàn)證該模式的正確性, 這也是我們下一步要繼續(xù)研究的內(nèi)容。另外, 能否通過(guò)進(jìn)一步修改, 找到更接近觀測(cè)結(jié)果的渦黏性形式, 需要通過(guò)更多的實(shí)測(cè)資料來(lái)驗(yàn)證。

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