具有庇護(hù)所的Kolmogorov型捕食-食餌系統(tǒng)的研究

林 琳，雒志學(xué)

(1.運城農(nóng)業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院基礎(chǔ)教學(xué)部，山西運城 044000;2.蘭州交通大學(xué)，蘭州 730070)

近年來，許多學(xué)者對食餌具有庇護(hù)所效應(yīng)的捕食系統(tǒng)開展了研究，且獲得了很好的結(jié)果［1-8］，但對于Kolmogorov模型的研究成果還不多見。本文以Kolmogorov模型［9］為基礎(chǔ)，建立了一類具有庇護(hù)所效應(yīng)的兩種群捕食-被捕食模型。

1 模型假設(shè)及建立

假定捕食者和食餌種群的密度隨時間連續(xù)變化，并且均勻分布于生境斑塊上。兩種群均被視為同質(zhì)種群，即無階段結(jié)構(gòu)?；谝陨霞僭O(shè)，建立了Kolmogorov型捕食-食餌系統(tǒng):

其中，x(t)和y(t)分別表示食餌種群和捕食者種群在t時刻的密度。模型(1)基于以下假設(shè):①存在正常數(shù) K，使得對于一切的 0＜x＜K，均有g(shù)(x)＞0;g(K)＞0;②對于一切的x≥0，有φ(0)=0，φ'(x)＞0;③ 函數(shù) g(x)和 φ(x)是 (0 ，+ ∞ )的連續(xù)可微函數(shù)。

如果假設(shè)食餌種群的增長率滿足Logistic定理，捕食者具有Holling型的飽和功能反應(yīng)，那么系統(tǒng)(1)變?yōu)?

其中:r為食餌種群的內(nèi)稟增長率;K是環(huán)境容納量;q表示捕食者的最大消耗率;p表示從食餌轉(zhuǎn)化為捕食者增長的轉(zhuǎn)化率;c為捕食者的死亡率。r、K、q、a、p、c均為正常數(shù)。

用xR表示庇護(hù)所中的食餌密度，那么將庇護(hù)所效應(yīng)引入系統(tǒng)(2)，則得到具有庇護(hù)所效應(yīng)的捕食-食餌系統(tǒng):

其中假定c＜p＜2c。

本文從2個方面來討論庇護(hù)所效應(yīng):①庇護(hù)所中的食餌密度與現(xiàn)有密度成正比，比例常數(shù)為γ，即xR=γx，(0≤γ≤1);② 庇護(hù)所中的食餌密度為常數(shù)，即xR=R。本文只分析第1種情形，第2種情形的討論與第1種情形類似。

2 主要結(jié)果

如果庇護(hù)所中的食餌密度與現(xiàn)有密度成正比，比例常數(shù)為γ(0≤γ＜1)，則系統(tǒng)(3)變?yōu)?/p>

P(x*，y*)退化為平衡點 PK(K，0)。令 x(o)=，其中下標(biāo)(n)表示新的變量，下標(biāo)(o)表示舊的標(biāo)量，則系統(tǒng)(4)變?yōu)?/p>

其中:A=(a'/K);B=(p/r)＜1;C=(c/p)＜1。

如果1-C-AC=0，則平衡點Q(x*，y*)退化為Q1(1，0);如果1-C-AC＜0，則平衡點Q(，)位于第4象限，這時系統(tǒng)(5)只有2個非負(fù)平衡點:O(0，0)、Q1(1，0)。

下面給出關(guān)于平衡點穩(wěn)定性的結(jié)論。

定理1

1)原點O(0，0)為系統(tǒng)(5)的鞍點。

2)若1-C-AC ＞0，平衡點 Q1(1，0)為系統(tǒng)(5)的鞍點;若1-C-AC ＜0，平衡點 Q1(1，0)為系統(tǒng)(5)的穩(wěn)定焦點或結(jié)點。

證明

1)系統(tǒng)(5)在原點O(0，0)處的Jacobia矩陣為顯然矩陣有一正一負(fù)的特征根:λ1=A，λ2=-ABC，所以初始平衡點O(0，0)為不穩(wěn)定鞍點。

2)系統(tǒng)(5)在平衡點Q1(1，0)處的Jacobia矩陣為個特征值分別為:λ1=-1-A，λ2=B(1-C-AC)。顯然，當(dāng)1-C-AC＞0時，平衡點 Q1(1，0)為系統(tǒng)(5)的鞍點;當(dāng)1-C-AC＜0時，平衡點Q1(1，0)為系統(tǒng)(5)的穩(wěn)定焦點或結(jié)點。

定理2 當(dāng)1-C-AC＜0時，系統(tǒng)(5)從R2+中任一點p(xp，yp)出發(fā)的解有界。

證明 作直線 x=l1，l1≥max{xp，1}，則當(dāng) y ＞0時，故當(dāng)系統(tǒng)(5)的軌線與直線x=l1相遇時，均從直線x=l1的右方穿入左方。作直線y=l2，l2≥0，則當(dāng)0＜-AC)＜0。故當(dāng)系統(tǒng)(5)的軌線與直線y=l2相遇時，均從直線y=l2的上方穿入左方。

由于x=0，y=0都是系統(tǒng)的軌線，于是由直線 x=0，y=0，x=l1y=l2可圍成區(qū)域 D，系統(tǒng)(5)從中任一點p(xp，yp)出發(fā)的解只能在該區(qū)域內(nèi)，所以有界。定理2成立。

［1］林琳，侯林潔.具有庇護(hù)所的Lotka-Volterra型的捕食-食餌系統(tǒng)［J］.北華大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版，2012(13)1:19-21.

［2］帥智圣，苗春梅，張偉鵬，等.具有庇護(hù)所的三種群捕食者-食餌模型［J］.生物數(shù)學(xué)學(xué)報，2004，16(1):65-71.

［3］張艷波，王萬雄，段永紅.一類具第三類功能反應(yīng)且食餌具有避難所的捕食系統(tǒng)的分析［J］.數(shù)學(xué)的實踐與認(rèn)識，2010(40):149-154.

［4］徐國明，賈建文.一類具有避難所的不是系統(tǒng)的分析［J］.陜西師范大學(xué)學(xué)報，2007，21(4):4-7.

［5］周稻祥，朱長榮.一類具有常數(shù)避難所與收獲率的捕食-食餌模型的穩(wěn)定性分析［J］.重慶理工大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版，2012，26(12):122-126.

［6］徐昌進(jìn)，陳大學(xué).具有時滯的食餌-捕食者模型的分支問題［J］.重慶師范大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版，2011(3):43-48.

［7］帥智圣，苗春梅，張偉鵬，等.具有庇護(hù)所的三種群捕食者-食餌模型［J］.生物數(shù)學(xué)學(xué)報，2004，28(1):65-71.

［8］馬智慧，李文龍，李自珍，等.具有已感染者庇護(hù)所效應(yīng)的傳染病模型［J］.蘭州大學(xué)學(xué)報，2008，44(2):111-114.

［9］陳蘭蓀.數(shù)學(xué)生態(tài)學(xué)模型與研究方法［M］.北京:科學(xué)出版社，1988.

［10］馬知恩，周義倉.常微分方程定性與穩(wěn)定性方法［M］.北京:科學(xué)出版社，2001.