高階疊層漸近相位基函數(shù)結(jié)合快速多級子分析電大物體散射特性

李敏,單士娟,沈微微

摘 ?要： 由入射波與面電流的關(guān)系，引出了漸近相位（AP）在高階疊層基函數(shù)（HO?RWG）中的應(yīng)用，并運(yùn)用到矩量法（MOM）中，與快速多級子方法（MLFMA）結(jié)合，分析了電大尺寸復(fù)雜目標(biāo)的電磁散射特性。與高階疊層基函數(shù)和零階相位基函數(shù)（AP?CRWG）相比，在相同的計(jì)算精度下，都可以大大減少未知量數(shù)量，從而可以節(jié)省大量內(nèi)存和計(jì)算時(shí)間。計(jì)算實(shí)例表明，該方法有較高的精確性和有效性。

關(guān)鍵字： 漸近相位； 高階疊層基函數(shù)； 零階相位基函數(shù)； 快速多級子方法； 電磁散射

中圖分類號： TN710?34 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文獻(xiàn)標(biāo)識碼： A ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文章編號： 1004?373X（2014）23?0139?03

Analysis on electromagnetic scattering features of big objects in combination with MLFMA and higher?order hierarchical asymptotic phase basis functions

LI Min， SHAN Shi?juan， SHEN Wei?wei

（Suqian College， Suqian 223800， China）

Abstract： In this paper， since the relations of the incident wave and surface?current， the application of asymptotic phase （AP） in the higher?order hierarchical basis functions （HO?RWG） is derived， and applied in method of moment （MOM）. The electromagnetic scattering features of electrical?large targets are analysed in combination with multilevel fast multipole algorithm （MLFMA）. Compared with the higher?order hierarchical basis functions and zero?order phase basis functions （AP?CRWG）， the unknown quantity in this method can be cut off more in the same computational precision Thereby， much of memory and time can be saved. Numerical examples in radar cross section calculation demonstrate the accuracy and efficiency of the proposed method.

Keyword： asymptotic phase； higher?order hierarchical basis function； zero?order phasic basis function； multilevel fast multipole algorithm； electromagnetic scattering

0 ?引 ?言

在運(yùn)用MLFMA分析三維電大尺寸時(shí)，通常選用平面RWG基作為矩量法的基函數(shù)，通常會產(chǎn)生大量未知量，運(yùn)用高階的基函數(shù)可大量減少未知量，與低階矩量法（低階曲面擬合、低階基函數(shù)）相比，高階矩量法（高階曲面擬合、高階基函數(shù)）可采用較少的未知量而獲得更高精度的計(jì)算結(jié)果。高階基函數(shù)包括插值基函數(shù)[1]和疊層基函數(shù)[2]。隨著階數(shù)的升高，插值型雖然計(jì)算精度高，但是阻抗矩陣計(jì)算的復(fù)雜度也越高。疊層型具有自適應(yīng)性，高一階的基函數(shù)包含低一階的基函數(shù)，既能保證求解精度，也能控制阻抗矩陣計(jì)算復(fù)雜性。

從面電流與入射波的關(guān)系入手，引進(jìn)相位因子，目標(biāo)表面上的任意點(diǎn)所產(chǎn)生的面電流相位與這一點(diǎn)的入射波相位有密切的關(guān)系。用來逼近目標(biāo)面電流[J（r）]的基函數(shù)，這樣就可以減少基函數(shù)的個數(shù)，使剖分尺寸變大，從而大量減少未知量。因此引進(jìn)漸近相位[3?4]結(jié)合高階疊層基函數(shù)[5]，形成一種新的基函數(shù)，稱為高階疊層漸近相位基函數(shù)，這樣形成的基函數(shù)不但含有二者原有的優(yōu)勢，而且使得剖分尺寸更大，更大的減少未知量個數(shù)。

為了計(jì)算電大尺寸目標(biāo)散射問題，將這一方法再結(jié)合多層快速多級子方法（MLFMA），加大了剖分尺寸，將可以進(jìn)一步計(jì)算更大尺寸的物體，而且由于高階基函數(shù)的高精確性，所以這種新的方法用來可以分析電大甚至電特大復(fù)雜物體的表面散射特性。計(jì)算結(jié)果表明，該方法在內(nèi)存、時(shí)間以及收斂步數(shù)上，都要比零階的相位基函數(shù)以及高階疊層基函數(shù)有很大的優(yōu)勢。

1 ?基本原理

1.1 ?理想導(dǎo)體表面電磁場積分方程

從麥克斯韋方程組出發(fā)，根據(jù)理想導(dǎo)體表面邊界條件，可以得到：

電場積分方程（EFIE）表示為：

[t?Ei（r）=-jωμ4πSt?G（r，r）?J（r）dS，r∈S] （1）

式中：[Ei]為入射電場；[ω]為角頻率；[μ]為自由空間磁導(dǎo)率；[t]為切向單位矢量；[J]為理想導(dǎo)體表面電流密度；[G]為自由空間并矢格林函數(shù)；[r]為場點(diǎn)；[r]為源點(diǎn)。endprint

磁場積分方程（MFIE）表示為：

[n×Hi（r）=J（r）-14πn×?×Sg（r，r）dS，r∈S] （2）

式中：[Hi]為入射磁場；[n]為外法線方向；[g（r，r）]為自由空間標(biāo)量格林函數(shù)。

混合場積分方程（CFIE）[6]則為：

[αηEFIE+（1-α）MFIE] （3）

1.2 ?漸近相位

考慮到理想導(dǎo)電體目標(biāo)面電流與入射波的關(guān)系，將PEC表面的感應(yīng)電流的相位和振幅分開考慮。在自由空間中，PEC表面的入射波切向分量必有行波因子。即入射電通切向分量的相位可表示為：

[Dinct（r）r∈PEC?e-jki?r] （4）

由理想導(dǎo)電體PEC表面的邊界條件：

[Dt（r）r∈PEC=Dinct（r）r∈PEC+Dscat（r）r∈PEC≡0] （5）

得到，沿著PEC表面的散射電通切向分量也有同樣的相位：[Dscat（r）r∈PEC?e-jki?r。]所以，電通的切向分量以及散度也含有[e-jki?r。]由：

[?2tρs+k2ρs=?t??Dt?n] （6）

[?t?J=jωρs] （7）

可知，[ρs（r）?e-jki?r，]從而[J（r）?e-jki?r，]即[J（r）=j（r）e-jki?r，]其中幅度項(xiàng)可用傳統(tǒng)基函數(shù)展開。

1.3 ?高階疊層矢量基函數(shù)

不同階的疊層型基函數(shù)之間具有相容性，即低一階的基函數(shù)構(gòu)成高一階的基函數(shù)的一個子集，即該基函數(shù)具有疊層特性。根據(jù)R.D.Graglia在文獻(xiàn)[2]中提出的用于積分方程的散度共形基函數(shù)和應(yīng)用于有限元中的旋度共形基函數(shù)的關(guān)系：

[fβ（r）=Wβ（r）×n， β=1，2，3] （8）

式中：[fβ]為散度共形矢量基函數(shù)；[Wβ]為旋度共形矢量基函數(shù)；[n]為單元上的法向量。

[?ξj=n×ΙiJ] （9）

[?ξk=n×（Ιj-Ιi）J] （10）

式中：[J]為雅可比系數(shù)，[Ιi，Ιj（i，j=1，2，3，i≠j）]分別表示三條邊的切向量。推導(dǎo)過程可參照文獻(xiàn)，本文主要針對1.5階的基函數(shù)，下面給出高階疊層散度共形基函數(shù)1.5階的表達(dá)式[7]：

[fe1=1J（ξ2Ι3-ξ3Ι2）] （11）

[fe2=1J（ξ3Ι1-ξ1Ι3）] （12）

[fe3=1J（ξ1Ι2-ξ2Ι1）] （13）

[fe4=1J（ξ2-ξ3）（ξ2Ι3-ξ3Ι2）] （14）

[fe5=1J（ξ3-ξ1）（ξ3Ι1-ξ1Ι3）] （15）

[fe6=1J（ξ1-ξ2）（ξ1Ι2-ξ2Ι1）] （16）

[fe7=1Jξ1（ξ2Ι3-ξ3Ι2）] （17）

[fe8=1Jξ2（ξ3Ι1-ξ1Ι3）] （18）

將1.2節(jié)中的漸近相位引入到此高階基函數(shù)中，形成的面電流可寫成：

[J（r）=n=1NanFn（r）=n=1Nanfn（r）e-jki?r]

其中[fn（r）]即為上面的高階疊層散度共形基函數(shù)。將此電流展開式代入到積分方程中，并用伽略金匹配形成最終的阻抗矩陣方程形式：

[Zmn=SSG（r，r）fm（r）?fn（r）-1k2??fm（r）??fn（r）-jki?fn（r）??fm（r）+jki?fm（r）??fn（r）+ ki?fm（r）ki?fn（r）ejki·（r-r）dSdS] （19）

2 ?應(yīng)用實(shí)例與數(shù)值計(jì)算結(jié)果

2.1 ?理想導(dǎo)體球的雙站RCS曲線

為了分析高階漸近相位基函數(shù)（AP?HORWG）的高效性和精確性，首先以一個直徑為[15λ]的導(dǎo)體球?yàn)槔捎没旌戏e分方程（CFIE），入射頻率為300 MHz。圖1給出了高階疊層基函數(shù)（HORWG）、AP?HORWG結(jié)合MLFMA的雙站RCS曲線圖，并與Mie級數(shù)結(jié)果吻合。HORWG的MLFMA最細(xì)層設(shè)為[0.8λ，]由于AP?HORWG的未知量太少，可用純矩量法計(jì)算。由表1可知，相對于HO?RWG，AP?HORWG可以大量減少未知量，從而節(jié)省了大量的內(nèi)存（以下表中的剖分尺寸均為在保證其同樣計(jì)算精度下的最大剖分尺寸）。

<；E：＼2014年23期＼2014年23期＼Image＼34t1.tif>；

圖1 直徑為15[λ]的理想導(dǎo)體球E面雙站RCS曲線

表1 分析直徑[15λ]的導(dǎo)體球的散射結(jié)果比較

[基函數(shù)＼&；剖分尺寸＼&；未知量＼&；填充

時(shí)間 /s＼&；求解

時(shí)間 /s＼&；迭代

步數(shù)＼&；內(nèi)存

/MB＼&；HORWG＼&；[0.35λ]＼&；60 980＼&；808.3＼&；199.5＼&；9＼&；882＼&；AP?HORWG＼&；[2.0λ]＼&；1 700＼&；1 939.3＼&；1.56＼&；4＼&；22＼&；]

2.2 ?理想導(dǎo)體立方體的雙站RCS曲線

以邊長為[15λ]的導(dǎo)體立方體為例，采用CFIE，頻率為300 MHz，入射角為60°斜入射。圖2給出了高階疊層相位基函數(shù)（AP?HORWG）、零階相位基函數(shù)（AP?CRWG）結(jié)合MLFMA的雙站RCS曲線，并與平面RWG的MLFMA吻合很好。平面RWG的MLFMA的最細(xì)層尺寸設(shè)為[0.235λ，]而由于含有相位的基函數(shù)剖分加粗，所以其他兩者的MLFMA最細(xì)層均設(shè)為[1λ。]由表2可知，對于AP?CRWG和平面RWG，AP?HORWG可以減少更多的未知量，達(dá)到時(shí)間和內(nèi)存的節(jié)省。endprint

<；E：＼2014年23期＼2014年23期＼Image＼34t2.tif>；

圖2 邊長為[15λ]的理想立方體[E]面雙站RCS曲線

2.3 ?目標(biāo)為飛機(jī)

為分析復(fù)雜物體的散射特性，以某簡單飛機(jī)模型為例，說明高階疊層相位基函數(shù)對分析復(fù)雜目標(biāo)散射的高效性以及精確性。圖3給出了目標(biāo)的幾何模型。圖4給出了與MLFMA結(jié)合的雙站RCS曲線圖，并與RWG的MLFMA結(jié)果吻合。飛機(jī)尺寸為10 m×8.5 m× 2.75 m。采用EFIE，入射波為垂直入射，頻率為600 MHz。平面RWG的MLFMA最細(xì)層尺寸為[0.313λ，]其他兩者均設(shè)為0.8[λ。]由表3可知，對于實(shí)際復(fù)雜目標(biāo)，AP?HORWG有明顯優(yōu)勢。

表2 分析邊長15[λ]的立方體的散射結(jié)果比較

[基函數(shù)＼&；剖分尺寸＼&；未知量＼&；填充

時(shí)間 /s＼&；求解

時(shí)間 /s＼&；迭代

步數(shù)＼&；內(nèi)存

/MB＼&；RWG（MLFMA）＼&；[0.1λ]＼&；465 138＼&；329.8＼&；253.7＼&；32＼&；1 658＼&；AP?CRWG＼&；[0.4λ]＼&；28 917＼&；411.5＼&；15.7＼&；6＼&；498.4＼&；AP?HORWG＼&；[1.5λ]＼&；6 660＼&；64.6＼&；14.1＼&；7＼&；106.8＼&；]

<；E：＼2014年23期＼2014年23期＼Image＼34t3.tif>；

圖3 飛機(jī)的幾何模型

<；E：＼2014年23期＼2014年23期＼Image＼34t4.tif>；

圖4 飛機(jī)模型的E面雙站RCS曲線

表3 分析飛機(jī)模型的散射結(jié)果比較

[基函數(shù)＼&；剖分

尺寸＼&；未知量＼&；填充時(shí)

間 /s＼&；求解時(shí)

間 /s＼&；迭代

步數(shù)＼&；內(nèi)存

/MB＼&；RWG（MLFMA）＼&；[0.1λ]＼&；102 210＼&；65.4＼&；869.2＼&；290＼&；609.8＼&；AP?CRWG＼&；[0.3λ]＼&；10 968＼&；160.0＼&；244.1＼&；321＼&；127.7＼&；AP?HORWG＼&；[0.8λ]＼&；7 110＼&；83.5＼&；170.8＼&；224＼&；85.3＼&；]

3 ?結(jié) ?論

本文將漸近相位引進(jìn)高階疊層基函數(shù)，綜合了二者在矩量法中各自的優(yōu)勢，并結(jié)合MLFMA來分析電大物體散射特性。與原有的高階基函數(shù)，以及零階相位基函數(shù)相比，高階相位基函數(shù)可以剖分的更粗，在相同計(jì)算精度下，可以大量減少未知量，從而節(jié)省大量時(shí)間和內(nèi)存，解決了單機(jī)計(jì)算大未知量困難的瓶頸。結(jié)合MLFMA可以提高計(jì)算能力，但剖分尺寸加大導(dǎo)致了MLFMA最細(xì)層尺寸的變大，導(dǎo)致模式數(shù)增加，從而加大了內(nèi)存消耗，下一步需找到一種方法來有效地解決此問題。

參考文獻(xiàn)

[1] ROBERT D G， DONALD R W， ANDREW F P. Higher order interpolatory vector bases for computational electronmagnetic [J]. IEEE Transactions on Antennas and Propagation， 1997， 45（3）： 329?342.

[2] JON P W. Hierarchical vector basis functions of arbitrary order for triangular and tetrahedral finite elements [J]. IEEE Transactions on Antennas Propagat， 1999， 47（8）： 1 244?1 253.

[3] NIE Z， YAN S， HE S， et al. On the basis functions with tra?velling wave phase factor for efficient analysis of scattering from electrically large targets [J]. Progress in Electromagnetics Research， 2008， 85： 83?114.

[4] YAN Su， HE Shi?quan， NIE Zai?ping， et al. Calculating the wide band responses from metallic objects by employing the phase extracted basis functions [C]// Antennas and Propagation Society International Symposium. San Diego， CA： IEEE， 2008： 1?4.

[5] 馬文敏，聶在平，胡俊，等.基于高階基函數(shù)的寬帶電磁散射方法[C]//全國天線年會論文集.合肥：中國天線年會，2007：454?458.

[6] HELALY A， FAHMY H M. Combined?field integral equation [J]. Electronics Letters， 1993， 29（19）： 1678? 1679.

[7] 陳明，丁大志，樊振宏，等.一種新的高階疊層基函數(shù)分析電大物體散射特性[J].南京理工大學(xué)學(xué)報(bào)，2008，32（5）：590?593.endprint

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圖2 邊長為[15λ]的理想立方體[E]面雙站RCS曲線

2.3 ?目標(biāo)為飛機(jī)

為分析復(fù)雜物體的散射特性，以某簡單飛機(jī)模型為例，說明高階疊層相位基函數(shù)對分析復(fù)雜目標(biāo)散射的高效性以及精確性。圖3給出了目標(biāo)的幾何模型。圖4給出了與MLFMA結(jié)合的雙站RCS曲線圖，并與RWG的MLFMA結(jié)果吻合。飛機(jī)尺寸為10 m×8.5 m× 2.75 m。采用EFIE，入射波為垂直入射，頻率為600 MHz。平面RWG的MLFMA最細(xì)層尺寸為[0.313λ，]其他兩者均設(shè)為0.8[λ。]由表3可知，對于實(shí)際復(fù)雜目標(biāo)，AP?HORWG有明顯優(yōu)勢。

表2 分析邊長15[λ]的立方體的散射結(jié)果比較

[基函數(shù)＼&；剖分尺寸＼&；未知量＼&；填充

時(shí)間 /s＼&；求解

時(shí)間 /s＼&；迭代

步數(shù)＼&；內(nèi)存

/MB＼&；RWG（MLFMA）＼&；[0.1λ]＼&；465 138＼&；329.8＼&；253.7＼&；32＼&；1 658＼&；AP?CRWG＼&；[0.4λ]＼&；28 917＼&；411.5＼&；15.7＼&；6＼&；498.4＼&；AP?HORWG＼&；[1.5λ]＼&；6 660＼&；64.6＼&；14.1＼&；7＼&；106.8＼&；]

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圖3 飛機(jī)的幾何模型

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圖4 飛機(jī)模型的E面雙站RCS曲線

表3 分析飛機(jī)模型的散射結(jié)果比較

[基函數(shù)＼&；剖分

尺寸＼&；未知量＼&；填充時(shí)

間 /s＼&；求解時(shí)

間 /s＼&；迭代

步數(shù)＼&；內(nèi)存

/MB＼&；RWG（MLFMA）＼&；[0.1λ]＼&；102 210＼&；65.4＼&；869.2＼&；290＼&；609.8＼&；AP?CRWG＼&；[0.3λ]＼&；10 968＼&；160.0＼&；244.1＼&；321＼&；127.7＼&；AP?HORWG＼&；[0.8λ]＼&；7 110＼&；83.5＼&；170.8＼&；224＼&；85.3＼&；]

3 ?結(jié) ?論

本文將漸近相位引進(jìn)高階疊層基函數(shù)，綜合了二者在矩量法中各自的優(yōu)勢，并結(jié)合MLFMA來分析電大物體散射特性。與原有的高階基函數(shù)，以及零階相位基函數(shù)相比，高階相位基函數(shù)可以剖分的更粗，在相同計(jì)算精度下，可以大量減少未知量，從而節(jié)省大量時(shí)間和內(nèi)存，解決了單機(jī)計(jì)算大未知量困難的瓶頸。結(jié)合MLFMA可以提高計(jì)算能力，但剖分尺寸加大導(dǎo)致了MLFMA最細(xì)層尺寸的變大，導(dǎo)致模式數(shù)增加，從而加大了內(nèi)存消耗，下一步需找到一種方法來有效地解決此問題。

參考文獻(xiàn)

[1] ROBERT D G， DONALD R W， ANDREW F P. Higher order interpolatory vector bases for computational electronmagnetic [J]. IEEE Transactions on Antennas and Propagation， 1997， 45（3）： 329?342.

[2] JON P W. Hierarchical vector basis functions of arbitrary order for triangular and tetrahedral finite elements [J]. IEEE Transactions on Antennas Propagat， 1999， 47（8）： 1 244?1 253.

[3] NIE Z， YAN S， HE S， et al. On the basis functions with tra?velling wave phase factor for efficient analysis of scattering from electrically large targets [J]. Progress in Electromagnetics Research， 2008， 85： 83?114.

[4] YAN Su， HE Shi?quan， NIE Zai?ping， et al. Calculating the wide band responses from metallic objects by employing the phase extracted basis functions [C]// Antennas and Propagation Society International Symposium. San Diego， CA： IEEE， 2008： 1?4.

[5] 馬文敏，聶在平，胡俊，等.基于高階基函數(shù)的寬帶電磁散射方法[C]//全國天線年會論文集.合肥：中國天線年會，2007：454?458.

[6] HELALY A， FAHMY H M. Combined?field integral equation [J]. Electronics Letters， 1993， 29（19）： 1678? 1679.

[7] 陳明，丁大志，樊振宏，等.一種新的高階疊層基函數(shù)分析電大物體散射特性[J].南京理工大學(xué)學(xué)報(bào)，2008，32（5）：590?593.endprint

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圖2 邊長為[15λ]的理想立方體[E]面雙站RCS曲線

2.3 ?目標(biāo)為飛機(jī)

為分析復(fù)雜物體的散射特性，以某簡單飛機(jī)模型為例，說明高階疊層相位基函數(shù)對分析復(fù)雜目標(biāo)散射的高效性以及精確性。圖3給出了目標(biāo)的幾何模型。圖4給出了與MLFMA結(jié)合的雙站RCS曲線圖，并與RWG的MLFMA結(jié)果吻合。飛機(jī)尺寸為10 m×8.5 m× 2.75 m。采用EFIE，入射波為垂直入射，頻率為600 MHz。平面RWG的MLFMA最細(xì)層尺寸為[0.313λ，]其他兩者均設(shè)為0.8[λ。]由表3可知，對于實(shí)際復(fù)雜目標(biāo)，AP?HORWG有明顯優(yōu)勢。

表2 分析邊長15[λ]的立方體的散射結(jié)果比較

[基函數(shù)＼&；剖分尺寸＼&；未知量＼&；填充

時(shí)間 /s＼&；求解

時(shí)間 /s＼&；迭代

步數(shù)＼&；內(nèi)存

/MB＼&；RWG（MLFMA）＼&；[0.1λ]＼&；465 138＼&；329.8＼&；253.7＼&；32＼&；1 658＼&；AP?CRWG＼&；[0.4λ]＼&；28 917＼&；411.5＼&；15.7＼&；6＼&；498.4＼&；AP?HORWG＼&；[1.5λ]＼&；6 660＼&；64.6＼&；14.1＼&；7＼&；106.8＼&；]

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圖3 飛機(jī)的幾何模型

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圖4 飛機(jī)模型的E面雙站RCS曲線

表3 分析飛機(jī)模型的散射結(jié)果比較

[基函數(shù)＼&；剖分

尺寸＼&；未知量＼&；填充時(shí)

間 /s＼&；求解時(shí)

間 /s＼&；迭代

步數(shù)＼&；內(nèi)存

/MB＼&；RWG（MLFMA）＼&；[0.1λ]＼&；102 210＼&；65.4＼&；869.2＼&；290＼&；609.8＼&；AP?CRWG＼&；[0.3λ]＼&；10 968＼&；160.0＼&；244.1＼&；321＼&；127.7＼&；AP?HORWG＼&；[0.8λ]＼&；7 110＼&；83.5＼&；170.8＼&；224＼&；85.3＼&；]

3 ?結(jié) ?論

本文將漸近相位引進(jìn)高階疊層基函數(shù)，綜合了二者在矩量法中各自的優(yōu)勢，并結(jié)合MLFMA來分析電大物體散射特性。與原有的高階基函數(shù)，以及零階相位基函數(shù)相比，高階相位基函數(shù)可以剖分的更粗，在相同計(jì)算精度下，可以大量減少未知量，從而節(jié)省大量時(shí)間和內(nèi)存，解決了單機(jī)計(jì)算大未知量困難的瓶頸。結(jié)合MLFMA可以提高計(jì)算能力，但剖分尺寸加大導(dǎo)致了MLFMA最細(xì)層尺寸的變大，導(dǎo)致模式數(shù)增加，從而加大了內(nèi)存消耗，下一步需找到一種方法來有效地解決此問題。

參考文獻(xiàn)

[1] ROBERT D G， DONALD R W， ANDREW F P. Higher order interpolatory vector bases for computational electronmagnetic [J]. IEEE Transactions on Antennas and Propagation， 1997， 45（3）： 329?342.

[2] JON P W. Hierarchical vector basis functions of arbitrary order for triangular and tetrahedral finite elements [J]. IEEE Transactions on Antennas Propagat， 1999， 47（8）： 1 244?1 253.

[3] NIE Z， YAN S， HE S， et al. On the basis functions with tra?velling wave phase factor for efficient analysis of scattering from electrically large targets [J]. Progress in Electromagnetics Research， 2008， 85： 83?114.

[4] YAN Su， HE Shi?quan， NIE Zai?ping， et al. Calculating the wide band responses from metallic objects by employing the phase extracted basis functions [C]// Antennas and Propagation Society International Symposium. San Diego， CA： IEEE， 2008： 1?4.

[5] 馬文敏，聶在平，胡俊，等.基于高階基函數(shù)的寬帶電磁散射方法[C]//全國天線年會論文集.合肥：中國天線年會，2007：454?458.

[6] HELALY A， FAHMY H M. Combined?field integral equation [J]. Electronics Letters， 1993， 29（19）： 1678? 1679.

[7] 陳明，丁大志，樊振宏，等.一種新的高階疊層基函數(shù)分析電大物體散射特性[J].南京理工大學(xué)學(xué)報(bào)，2008，32（5）：590?593.endprint