十字交叉梁模型的塑性動(dòng)力響應(yīng)計(jì)算方法

楊 棣，姚熊亮，王 軍，李 卓

（哈爾濱工程大學(xué) 船舶工程學(xué)院，哈爾濱150001）

1 引 言

在艦船生命力研究中，如何正確預(yù)報(bào)非接觸爆炸作用下艦船板架變形是船舶結(jié)構(gòu)毀傷力學(xué)研究的一個(gè)重要課題。對(duì)于板、梁在基于小變形和不計(jì)中面膜力的前提下，以及方板、圓板這些簡(jiǎn)單結(jié)構(gòu)已能較精確地預(yù)估出最大殘余變形[1-4]。但是對(duì)于多根梁的耦合作用，像艦船板架，其塑性動(dòng)力響應(yīng)研究較少,理論尚處于初步階段[5-6]。以往，針對(duì)此問題，梅志遠(yuǎn)等曾用有限元法進(jìn)行處理[7]，而由于每個(gè)技術(shù)人員采用的技術(shù)方式不同，如參數(shù)的輸入，網(wǎng)格數(shù)的選取，導(dǎo)致計(jì)算精度不能得到很好的保證。方斌等提出用能量法將底部板架的響應(yīng)過程分為整體變形和局部變形[8]，進(jìn)行理論分析的方法，該方法能得到板架的最大塑性變形，卻不能得到塑性動(dòng)力響應(yīng)的時(shí)間歷程。此外，吳有生等針對(duì)艦船特殊的船體結(jié)構(gòu)選取典型板架，并從板架模型中簡(jiǎn)化出十字加筋板，提出了爆炸載荷作用下艦船板架的變形和破損的計(jì)算方法[9]，但是沒有計(jì)及交叉梁二者在關(guān)聯(lián)處力的耦合作用。

近年來，由于剛塑性假設(shè)在板架塑性動(dòng)力響應(yīng)的計(jì)算方法中發(fā)展起來，本文在十字交叉梁模型的基礎(chǔ)上，計(jì)及橫向與縱向構(gòu)件在關(guān)聯(lián)處的支撐力作用，采用剛塑性假設(shè)，通過動(dòng)力學(xué)定理，提出了針對(duì)水下爆炸板架結(jié)構(gòu)的理論計(jì)算模型，經(jīng)推導(dǎo)出得出了一整套新型快速的板架變形撓度計(jì)算方法，所得結(jié)果與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)吻合較好，得到了對(duì)工程有指導(dǎo)意義的結(jié)論。

2 板架動(dòng)力學(xué)模型建立

艦船對(duì)于船體的總縱強(qiáng)度要求較高，主體部分一般采用縱向骨架式，縱向構(gòu)件強(qiáng)度稍強(qiáng)于橫向構(gòu)件，但數(shù)目相差無幾的結(jié)構(gòu)形式，如圖1所示。船體板架結(jié)構(gòu)在受爆炸沖擊載荷作用下支撐處的力的傳遞過程相似，因此可以從多根交叉梁系結(jié)構(gòu)中抽取出兩根梁，一根橫向構(gòu)件和一根縱向構(gòu)件構(gòu)成如圖2所示的十字交叉梁結(jié)構(gòu)模型，來分析在沖擊載荷作用下的梁的塑性動(dòng)力響應(yīng)。

圖1 船底板架示意圖Fig.1 The diagram of the ship bottom frame

圖2 十字交叉梁結(jié)構(gòu)示意圖Fig.2 The schematic drawing of the cross beam structure

水下爆炸分為近場(chǎng)和中遠(yuǎn)場(chǎng)爆炸，而近場(chǎng)與中遠(yuǎn)場(chǎng)的區(qū)別以爆距和TNT當(dāng)量藥包的半徑之比=R/r）作判據(jù)，為近場(chǎng)爆炸為中場(chǎng)爆炸為遠(yuǎn)場(chǎng)爆炸。由于距離的不同，沖擊波為球面波，考慮壁面反射作用[10]后，沖擊波的表達(dá)式為：

艦船上載荷可以簡(jiǎn)化成均布載荷，爆炸沖擊載荷因爆點(diǎn)離船體底部板架有一定的距離，則爆炸載荷只作用于主向梁上，而由于主向梁與交叉構(gòu)件緊密相連，作用在主向梁上的載荷再通過二者的連接處傳到交叉構(gòu)件上，計(jì)算力學(xué)模型如圖3、4所示。在計(jì)算過程中由于考慮工程的近似性，以及計(jì)算模型的可行性，采用剛塑性梁分析。

作用在十字交叉梁上的均布載荷可表示為：

其中：a為交叉構(gòu)件間跨距

由于交叉構(gòu)件強(qiáng)度稍強(qiáng)于主向梁，則主向梁在交叉處產(chǎn)生塑性鉸，并且從中間分為兩段，各有一個(gè)區(qū)段分別產(chǎn)生塑性區(qū)域，交叉構(gòu)件整體產(chǎn)生兩個(gè)可動(dòng)塑性鉸，如圖4所示。

圖3 中遠(yuǎn)場(chǎng)爆炸載荷作用下動(dòng)力學(xué)模型Fig.3 The dynamic model in cosco explosion load

圖5 主向梁左半端取出一段的受力圖Fig.5 The force diagram of part from the left part of the main beam

圖6 交叉構(gòu)件左端一部分受力示意圖Fig.6 The force diagram of the left part of the cross component

計(jì)算時(shí)從主向梁中取出一段，對(duì)其進(jìn)行受力分析，如圖5所示。

引入載荷參數(shù)[3]

其中：L為主向梁的跨長(zhǎng)，L=2l，M0為主向梁的極限彎矩，q為作用在主向梁上的均布載荷。

設(shè)x1為主向梁的可動(dòng)塑性鉸的位置（坐標(biāo)原點(diǎn)設(shè)在次梁每跨的左端），如果載荷形式滿足不等式dq/dt≤0，由梁的運(yùn)動(dòng)方程及初始條件得到非定常塑性鉸的運(yùn)動(dòng)規(guī)律x1（t）[3]：

設(shè)O點(diǎn)的速度為v0，加速度為a0，

最后計(jì)算交叉構(gòu)件與主向梁之間的相互作用的反力R，為此，對(duì)主向梁剛性區(qū)段ox1應(yīng)用動(dòng)量定理，由動(dòng)量定理得：

其中：m=m0+m1，m1=0.5kρwb2，m為主向梁?jiǎn)挝凰苄赃\(yùn)動(dòng)單位長(zhǎng)度參與質(zhì)量，m0為主向梁?jiǎn)挝婚L(zhǎng)度質(zhì)量，m1為附連水質(zhì)量，k為影響系數(shù)，ρw為水的密度，b為主向梁間跨距。

對(duì)O點(diǎn)取矩，由動(dòng)量矩定理得

由（6）式，得

將（7）式代入（5）式中，得

這時(shí)作用在主向梁上的支反力作用在交叉構(gòu)件上，運(yùn)動(dòng)形式如圖4所示。

在計(jì)算交叉構(gòu)件時(shí)，引入新的載荷系數(shù)

其中：L′為交叉構(gòu)件的跨長(zhǎng)的一半，L′=2l′，M0′為交叉構(gòu)件的極限彎矩，P為作用在交叉構(gòu)件上的力，P=2R。

對(duì)交叉構(gòu)件中間區(qū)段，如圖6所示，由受力情況可見，

其中：m′=m0′+m2，m2=0.5kρwba，m′為主向梁?jiǎn)挝凰苄赃\(yùn)動(dòng)單位長(zhǎng)度參與質(zhì)量，m0′為交叉構(gòu)件單位長(zhǎng)度質(zhì)量，m2為附連水質(zhì)量，a為交叉構(gòu)件間跨距。

由上式可得

設(shè)兩端剛性區(qū)段的角速度為ω1，則任一截面的運(yùn)動(dòng)速度為

為了確定角速度ω1，可應(yīng)用塑性鉸處的運(yùn)動(dòng)速度連續(xù)條件，即

將（12），（13）式代入上式可得，

取交叉構(gòu)件左端一部分如圖6所示，由動(dòng)量矩定理，列如下方程

由各區(qū)段表達(dá)式，即（12），（13）和（15）式代入（16）式，可得塑性鉸運(yùn)動(dòng)規(guī)律：

由（12）、（18）式可得左半梁的速度分布為

圖7 交叉構(gòu)件運(yùn)動(dòng)最后停止時(shí)刻的模型Fig.7 The model of the cross component movement which finally stops

當(dāng)ξ=1時(shí)，即交叉構(gòu)件從兩個(gè)塑性鉸移動(dòng)成一個(gè)塑性鉸模型時(shí)，如圖7所示，這時(shí)的時(shí)間為

由動(dòng)量矩定理，可得

設(shè)tf為交叉構(gòu)件停止運(yùn)動(dòng)的時(shí)刻，由（21）式可得

最后積分（19）式得到梁中點(diǎn)的撓度公式為：

3 計(jì)算方法有效性的驗(yàn)證

為了驗(yàn)證本文所建立理論計(jì)算方法的合理性，對(duì)某船一艙段進(jìn)行了水下爆炸試驗(yàn)。試驗(yàn)艙段高為3.85 m，型寬為8.2 m，長(zhǎng)為7.5 m，底部板架結(jié)構(gòu)是典型的縱向式結(jié)構(gòu)，具有艦船的板架結(jié)構(gòu)的特征，其中橫向構(gòu)件與縱向構(gòu)件的強(qiáng)度差不多，由五根縱向構(gòu)件和五根橫向構(gòu)件均布構(gòu)成，縱向構(gòu)件間距是1.6 m，橫向構(gòu)件間距是1.5 m。試驗(yàn)水池深20 m，試驗(yàn)過程中采用水下500幀高速攝像機(jī)進(jìn)行拍攝，為了測(cè)得典型部位的應(yīng)變歷程曲線，在試驗(yàn)艙段內(nèi)部典型部位布應(yīng)變片，測(cè)點(diǎn)的布置如圖8所示，試驗(yàn)工況的爆炸TNT當(dāng)量為8 kg和6 kg，根據(jù)本文第二節(jié)給出的判據(jù)，得到如表1所示的試驗(yàn)工況，爆點(diǎn)示意圖如圖9所示。

表1 試驗(yàn)工況表Tab.1 Test conditions

圖8 應(yīng)變測(cè)點(diǎn)布置圖Fig.8 The strain point arrangement

圖9 試驗(yàn)工況示意圖Fig.9 The schematic diagram of the test conditions

利用上述試驗(yàn)艙段的數(shù)據(jù)進(jìn)行有限元建模，所建模型剖面圖如圖10所示，按表1的工況進(jìn)行加載，其中工況3下船體底部板架的交叉構(gòu)件變形過程如圖11所示，從圖中可看出，交叉構(gòu)件在運(yùn)動(dòng)過程中首先產(chǎn)生兩個(gè)塑性鉸，與建立的理論計(jì)算模型運(yùn)動(dòng)過程（圖4）類似。

根據(jù)艙段底部板架的數(shù)據(jù)，選取中間的一根主向梁和交叉構(gòu)件作為十字交叉梁計(jì)算模型，算出十字梁的靜態(tài)極限彎矩，針對(duì)如圖9所示的工況利用（23）式對(duì)十字梁理論計(jì)算模型進(jìn)行編程計(jì)算，所得交叉構(gòu)件的中點(diǎn)處撓度值如表2所示。利用（24）式將撓度轉(zhuǎn)化為應(yīng)變，與有限元模型所算的數(shù)據(jù)，及試驗(yàn)所得數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比，得到如表3所示數(shù)據(jù)。

表2 交叉構(gòu)件跨長(zhǎng)中點(diǎn)處撓度值Tab.2 The deflection of midpoint in the cross component across long

表3 不同工況與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的對(duì)比Tab.3 The contrast with experiment data under different working conditions

從表3可以看出，誤差均在30%以內(nèi)，產(chǎn)生誤差的原因：計(jì)算模型采用剛塑性模型，而實(shí)際材料不是；理論計(jì)算模型兩端邊界條件采用剛固，與實(shí)際邊界條件不太符合；沖擊波作用在梁上是采用的均布載荷，而實(shí)際爆炸沖擊載荷是球面波，作用在主向梁的載荷不可能完全是均布的；由于實(shí)驗(yàn)時(shí)艦船在水下受沖擊波作用時(shí)，沖擊波不直接作用在梁上，而是首先作用在船體板上，一部分動(dòng)能被板先吸收，則導(dǎo)致實(shí)際變形撓度小于理論計(jì)算結(jié)果。誤差ε1大于ε2的原因：網(wǎng)格大小的選擇影響最后有限元計(jì)算結(jié)果；有限元軟件是利用聲場(chǎng)模擬水下爆炸，載荷的計(jì)算采用的是聲固耦合的方法，而水下爆炸試驗(yàn)則是采用流固耦合的方法計(jì)算載荷。由于十字交叉梁模型的交叉構(gòu)件中點(diǎn)是船體板架變形的最大處，且從表3中可看出計(jì)算所得誤差均在工程許可范圍內(nèi)，因此利用十字交叉梁模型計(jì)算船體板架結(jié)構(gòu)的塑性變形撓度可以較好地估計(jì)船體塑性破壞程度，有著較好的工程應(yīng)用價(jià)值。

4 結(jié) 論

本文在簡(jiǎn)化板架結(jié)構(gòu)為十字交叉梁的基礎(chǔ)上，提出了水下爆炸載荷作用下剛塑性十字交叉梁的動(dòng)力學(xué)理論計(jì)算模型，經(jīng)推導(dǎo)得到了一整套新型快速板架變形撓度的計(jì)算方法，所得結(jié)果與有限元模型數(shù)據(jù)，以及實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比，吻合較好，得到了如下幾點(diǎn)結(jié)論。

（1）本文充分考慮艦船板架結(jié)構(gòu)的特殊性（大部分是縱骨架式船體板架，且縱向與橫向構(gòu)件的強(qiáng)度相差不大，數(shù)目也相似），選取計(jì)算模型時(shí)從板架中抽取了中間兩根交叉梁構(gòu)成了十字交叉梁模型代替整個(gè)板架結(jié)構(gòu)進(jìn)行動(dòng)力學(xué)模型分析，所選模型計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)艙段的底部板架的塑性響應(yīng)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比分析，此力學(xué)模型選取合理。

（2）本文在選取的十字交叉梁模型計(jì)算過程中，計(jì)及了主向梁與交叉構(gòu)件的關(guān)聯(lián)處運(yùn)動(dòng)，較以往的計(jì)算方法更進(jìn)一步地逼近真實(shí)梁在關(guān)聯(lián)處的運(yùn)動(dòng)，所得模型計(jì)算結(jié)果與有限元模型的數(shù)據(jù)，以及實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)作對(duì)比，吻合較好。

（3）本文針對(duì)實(shí)驗(yàn)過程中梁的運(yùn)動(dòng)狀況，提出了十字梁中的交叉構(gòu)件在運(yùn)動(dòng)初始階段首先產(chǎn)生兩個(gè)塑性鉸的動(dòng)力學(xué)假設(shè)模型。該模型與實(shí)驗(yàn)艙段的有限元模型進(jìn)行對(duì)比，艙段有限元模型中的縱桁的運(yùn)動(dòng)過程與提出的動(dòng)力學(xué)假設(shè)模型中的交叉構(gòu)件運(yùn)動(dòng)過程類似，證明此假設(shè)模型選取合理。

（4）本文針對(duì)十字梁動(dòng)力學(xué)模型進(jìn)行理論推導(dǎo)，得到梁中點(diǎn)的最終撓度計(jì)算公式，所得的理論計(jì)算結(jié)果與有限元模型結(jié)果、實(shí)驗(yàn)結(jié)果具有較好的一致性，其誤差滿足工程精度。因此本文提出的船體板架變形撓度計(jì)算方法是可行的，具有較好的工程應(yīng)用價(jià)值。

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