視電導(dǎo)率函數(shù)理論在三維感應(yīng)測井反演地層電導(dǎo)率的應(yīng)用

白彥

（中國石油集團(tuán)測井有限公司，陜西 西安710077）

0 引 言

三維感應(yīng)測井是近10年來電導(dǎo)率測井的一個亮點，它可以實現(xiàn)對地層水平電導(dǎo)率、垂直電導(dǎo)率、各向異性地層測量及地層傾角和方位角信息的測量［1］。中國石油集團(tuán)測井有限公司研制的三維感應(yīng)測井儀器可以提供98條曲線，對應(yīng)感應(yīng)電動勢的實部［2］。通過對98條原始數(shù)據(jù)曲線進(jìn)行數(shù)據(jù)處理，可以確定地層垂直電導(dǎo)率和水平電導(dǎo)率。用三維感應(yīng)測井反演地層水平和垂直電導(dǎo)率的研究工作已經(jīng)開展多年［3－6］，主要利用多參數(shù)非線性迭代反演方法［7］。這種方法用于一維和二維層狀地層的資料反演［8－9］速度一般較慢，很難滿足現(xiàn)場實時處理要求。

視電導(dǎo)率函數(shù)理論是地層條件下電磁場理論研究的重大發(fā)現(xiàn)，其核心思想是電場格林函數(shù)中的傳播系數(shù)是場點坐標(biāo)的函數(shù)［10］。為了從98條原始數(shù)據(jù)曲線中提取水平電導(dǎo)率和垂直電導(dǎo)率，本文應(yīng)用該理論建立了三維感應(yīng)測井儀器在均勻單軸各向異性介質(zhì)3種坐標(biāo)系的磁場張量的解析表達(dá)式，同時建立了磁場張量的正演解析計算方法，結(jié)合陣列三維感應(yīng)提供測井資料，提出了一種數(shù)據(jù)視值轉(zhuǎn)換方法。首先選擇短源距高頻9個分量子陣列提取儀器傾角、自旋角、水平電導(dǎo)率和垂直電導(dǎo)率；其次，固定儀器自旋角，分別由其他頻率陣列提取各自水平電導(dǎo)率和垂直電導(dǎo)率，儀器傾角值只作為參考；最后，已知儀器傾角，采用阻尼型高斯－牛頓反演方法［11］將測量矩陣標(biāo)準(zhǔn)化，設(shè)定地層類型提取反演初值，通過反演誤差判定地層類型和反演參數(shù)值，即參數(shù)視值。

1 三維感應(yīng)線圈系結(jié)構(gòu)

三維感應(yīng)測井儀器是由3個軸向的發(fā)射線圈（Tx，Ty，Tz）與3個軸向的接收（Rx，Ry，Rz）線圈和3個軸向的屏蔽線圈（Bx，By，Bz）組成的三線圈系結(jié)構(gòu)，能夠同時測量出9個分量（XX，XY，XZ，YX，YY，YZ，ZX，ZY，ZZ）（見圖1）。三維感應(yīng)三線圈系結(jié)構(gòu)由發(fā)射線圈（Tx，Ty，Tz）、屏蔽線圈（Bx，By，Bz）與接收線圈（Rx，Ry，Rz）各3個且按三坐標(biāo)系正交同心構(gòu)成。屏蔽線圈主要是抵消發(fā)射線圈直接耦合在接收線圈的一次場信息，以讓接收線圈獲取經(jīng)過地層的二次場信息。圖1中，接收線圈與屏蔽線圈感應(yīng)的渦流方向是反向，與發(fā)射線圈是同向。

圖1 三維感應(yīng)測井三線圈系發(fā)射接收線圈示意圖

通過該結(jié)構(gòu)的三維感應(yīng)測量儀器，沿井軸移動，可以實現(xiàn)同時測量9個分量的地層電導(dǎo)率σa。式中為發(fā)射線圈在i方向上發(fā)射時，接收線圈在j方向上接收的地層視電導(dǎo)率信息。

2 三維感應(yīng)測井資料視值轉(zhuǎn)化方法

三維感應(yīng)測井資料視值轉(zhuǎn)換，是針對不考慮井眼和侵入條件下的均勻介質(zhì)模型，利用三維感應(yīng)測井9個分量提取水平電導(dǎo)率、垂直電導(dǎo)率、儀器方向角等參數(shù)。因為實際測井受到鄰層和井眼等影響，這些復(fù)雜測量環(huán)境不是簡單均勻介質(zhì)，所以這樣提取的地層參數(shù)值只是等效值，稱之為視值。

2．1 建立磁場張量解析表達(dá)式

按照電場格林函數(shù)中的傳播系數(shù)是場點坐標(biāo)的函數(shù)的理論，建立三維感應(yīng)測井儀器在均勻單軸各向異性介質(zhì)3種坐標(biāo)系的磁場張量的解析表達(dá)式，具體推導(dǎo)出三維感應(yīng)測井儀器在均勻單軸各向異性介質(zhì)3種坐標(biāo)系的磁場張量的解析表達(dá)式。

式中，L為收發(fā)線圈之間幾何距離；S為收發(fā)線圈之間和各向異性相關(guān)的等效距離；θ為儀器對各向異性軸傾角；γ為儀器自轉(zhuǎn)方位角；kv、kh分別為對應(yīng)垂直和水平電磁參數(shù)，其中，kv＝kv（x）＝x為場點的位置矢量；這里的電導(dǎo)率、介電系數(shù)都是場點坐標(biāo)的函數(shù)［10］。

利用磁感應(yīng)張量波分解方法將式（2）改寫成

考慮到三維感應(yīng)測井工作頻率較低，但精度要求不高時可以略去電磁波傳播效應(yīng)（趨膚效應(yīng)），公式進(jìn)一步簡化，易于提取儀器參數(shù)和地層電磁參數(shù)。所謂低頻近似，指khL→0，kvS→0，即（khL）n→0，（kvS）n→0，n≥1，代入式（3）可得到對應(yīng)簡化表達(dá)式

通過求解式（4），可同時求得θ、γ、σh、σv這4個參數(shù)，不必進(jìn)行響應(yīng)矩陣的坐標(biāo)變換。

2．2 三維感應(yīng)視值快速迭代反演

根據(jù)測井響應(yīng)資料（x）＝（x1，x2，…，xN），i＝1，2，…，M（M為測井采集數(shù)據(jù)點數(shù)），定義目標(biāo)函數(shù)O（x）。這里x＝x（σh，σv，θ，γ）為待反演參數(shù)，（x）為x的非線性函數(shù)［5］。mi（x）為正演計算測井響應(yīng)值。

設(shè)一個參數(shù)空間初始猜想位置矢量xk，得到

式（11）寫成矢量形式

式中，p＝［x－xk］，J＝?（xk）。

將式（12）代入式（11），則目標(biāo)函數(shù)為

式中，W和I為對角矩陣；W為權(quán)因子矩陣；I為正則化因子矩陣，可以起到保持穩(wěn)定收斂的作用。這樣通過式（13）線性化，目標(biāo)函數(shù)寫成關(guān)于p二次型的函數(shù)，滿足目標(biāo)函數(shù)最小值的最優(yōu)解應(yīng)滿足

將式（14）代入（式13）可得高斯－牛頓法反演方程

通過求解式（15）可完成一次反演迭代，重復(fù)這種迭代過程，直到誤差矩陣變?yōu)榱慊驑O小值時，所得到的x就是反演結(jié)果。

為此，三維感應(yīng)測井資料視值轉(zhuǎn)化處理問題歸結(jié)為正反演問題。正演問題是已知地層電參數(shù)的分布和儀器參數(shù)求出測井響應(yīng)，正演計算應(yīng)用視電導(dǎo)率函數(shù)理論，建立了三維感應(yīng)測井儀器在均勻單軸各向異性介質(zhì)3種坐標(biāo)系的磁場張量的解析表達(dá)式。反演問題是已知測井響應(yīng)反推出地層的電參數(shù)分布，進(jìn)而為判定地層屬性提供物理依據(jù)。本文主要采用阻尼型高斯－牛頓反演地層參數(shù)，首先，將測量矩陣標(biāo)準(zhǔn)化，實際上就是將測量等效電導(dǎo)率轉(zhuǎn)化為對應(yīng)磁場張（分）量矩陣；其次，設(shè)定地層類型提取反演初值，這一步儀器自旋角可以高精度提取，其他參量只能獲得近似值；再次，開始反演；最后，通過反演誤差進(jìn)行判定，判定地層類型和反演參數(shù)值，即參數(shù)視值。

3 應(yīng)用實例與分析

為檢驗上述方法的正確性，處理了某井204～305m層位的測井?dāng)?shù)據(jù)。圖2為不考慮井眼和侵入時均勻各向異性介質(zhì)中水平地層電導(dǎo)率、垂直地層電導(dǎo)率反演實例。第1道為ZZ分量測量的原始信號，第2至第5道分別為4個陣列線圈測量的XX、YY主分量對應(yīng)的原始曲線，第7、第8道分別是三維感應(yīng)測井資料視值處理得到的地層水平電導(dǎo)率和地層垂直電導(dǎo)率，第9、第10道分別是ZZ分量2ft＊非法定計量單位，1ft＝12in＝0．3048m，下同合成處理曲線和視值處理的地層水平電導(dǎo)率和地層垂直電導(dǎo)率與90in曲線對比結(jié)果，第11道分別是各向異性、儀器軸傾角和方位角。從原始數(shù)據(jù)曲線來看，測井?dāng)?shù)據(jù)對層位響應(yīng)明顯，可以很好地識別地層層位?？梢钥闯觯?0道上220～240m和282～290m層位，地層垂直電導(dǎo)率與水平電導(dǎo)率數(shù)值和曲線形態(tài)一致；地層水平電導(dǎo)率接近垂直電導(dǎo)率，和ZZ分量數(shù)據(jù)合成2ft和90in電導(dǎo)率曲線數(shù)值相當(dāng)，第11道對應(yīng)的各向異性系數(shù)接近1，與理論認(rèn)識相吻合。在整個層段的薄層上，可以看出地層水平電導(dǎo)率不等于垂直電導(dǎo)率，且地層垂直電導(dǎo)率對層位反映敏感，對每一個小的薄層都能進(jìn)行很好的顯示。這表明，處理結(jié)果具有很好的識別地層層位作用，驗證了應(yīng)用該方法反演均勻各向異性介質(zhì)水平地層電導(dǎo)率和垂直地層電導(dǎo)率的正確性。

圖2 三維感應(yīng)視值轉(zhuǎn)化測井資料處理成果圖

4 結(jié) 論

（1）應(yīng)用視電導(dǎo)率函數(shù)理論，建立了三維感應(yīng)測井儀器在均勻單軸各向異性介質(zhì)中3種坐標(biāo)系的磁場張量解析表達(dá)式。該表達(dá)式可以直接計算，能夠滿足實時處理要求，大大縮短了反演的計算時間。

（2）利用參數(shù)視值轉(zhuǎn)化方法對實際測井?dāng)?shù)據(jù)進(jìn)行處理計算，實現(xiàn)了地層水平電導(dǎo)率和地層垂直電導(dǎo)率的快速反演。

（3）這種視值轉(zhuǎn)化方法對實際數(shù)據(jù)進(jìn)行處理應(yīng)用表明，該方法具有較好的準(zhǔn)確性和識別精度，為進(jìn)一步理解三維感應(yīng)測井響應(yīng)特征和組合測量提供了理論依據(jù)。

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