淺析“有解”與“恒成立”問題

鄧衛(wèi)和

摘要：在近年的高考中經(jīng)常出現(xiàn)“有解”與“恒成立”問題，許多同學(xué)混淆了這兩個(gè)概念，在解題時(shí)出錯(cuò)。現(xiàn)對(duì)這兩個(gè)概念進(jìn)行闡述：“有解”是指“至少有一個(gè)滿足條件的值使式子成立，則稱該問題有解”?！昂愠闪ⅰ笔侵浮霸谀骋环秶鷥?nèi)所有的變量值都使該問題成立，則稱該問題恒成立”。本文現(xiàn)通過具體問題進(jìn)行闡述。

關(guān)鍵詞：“有解”;“恒成立”;例析

中圖分類號(hào)：G427文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A ? ? 文章編號(hào)：1992-7711（2014）24-125-1

一、有解問題

例1方程x2-a|x|+4=0在x∈[-2，2]上有解，求a的范圍。

分析：方程x2-a|x|+4=0在x∈[-2，2]上有解，可能有一解，也可能有兩解，討論比較復(fù)雜?？赏ㄟ^分離變量a，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域來解。

解：x2-a|x|+4=0當(dāng)x=0時(shí)，方程不成立，因此x≠0故方程兩邊同除以|x|得

a=|x|+4|x|≥2|x|·4|x|=4（當(dāng)且僅當(dāng)|x|=2時(shí)取到“=”）此時(shí)x=±2∈[-2，2]，

所以：當(dāng)a≥4時(shí)該方程x2-a|x|+4=0在x∈[-2，2]上有解。

點(diǎn)評(píng)：本題通過“分離變量a”求值域，方法簡(jiǎn)單易行，在以后的學(xué)習(xí)中經(jīng)常用到這一方法。

例2（2013重慶.理.16）若關(guān)于x的不等式|x-5|+|x+3|

分析：要使|x-5|+|x+3|

解：函數(shù)y=|x-5|+|x+3|=2-2xx≤-3

8-3

2x-2x≥5由此可知，該函數(shù)的值域?yàn)閇8，+∞），因此：當(dāng)a>8時(shí)，不等式|x-5|+|x+3|

點(diǎn)評(píng)：本題解答過程中運(yùn)用的“轉(zhuǎn)化”的思想，將無解問題轉(zhuǎn)化為有解問題，再變?yōu)榍笠粋€(gè)函數(shù)的最小值，使問題迎刃而解?！稗D(zhuǎn)化”是中學(xué)數(shù)學(xué)的一種基本思想方法，在以后的學(xué)習(xí)中要注意運(yùn)用。

二、恒成立問題

例3設(shè)無窮等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn。

（1）若首項(xiàng)a1=32，公差d=1，求滿足Sk2=（Sk）2的正整數(shù)k。

（2）求所有的無窮等差數(shù)列{an}，使得對(duì)一切正整數(shù)k總有Sk2=（Sk）2成立。

分析：?jiǎn)栴}（1）易求，問題（2）中要對(duì)一切正整數(shù)k總成立，是恒成立問題，而它又是關(guān)于k的方程，可利用方程中的恒成立問題求解。

解：（1）略解：k=4

（2）設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=An2+Bn，則由Sk2=（Sk）2可得

Ak4+Bk2=（Ak2+Bk）2Ak4+Bk2=A2k4+2ABk3+B2k2

上式對(duì)一切正整數(shù)k恒成立的充要條件是A=A2

2AB=0

B=B2解之得

A=0

B=0或A=0

B=1或A=1

B=0因此滿足條件的數(shù)列有三個(gè)，它們的前n項(xiàng)和分別為Sn=0，Sn=n，Sn=n2，故其對(duì)應(yīng)的數(shù)列為an=0，an=1，an=2n-1。

點(diǎn)評(píng)：利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的二次式Sn=An2+Bn的形式，化為方程的恒成立問題，求待定系數(shù)A，B。簡(jiǎn)單易行。

例4（2013.全國(guó)新課標(biāo)卷.21）已知函數(shù)f（x）=x2+ax+b，g（x）=ex（cx+d）.若曲線y=f（x）和曲線y=g（x）都過點(diǎn)P（0，2），且在點(diǎn)P（0，2）處有相同的切線y=4x+2，

（1）求a，b，c，d的值;

（2）若x≥-2時(shí)，f（x）≤k·g（x）恒成立，求k的取值范圍。

分析：?jiǎn)栴}（1）易求，問題（2）中要求k的取值范圍，可以先給x賦值，縮小k的范圍。然后再用函數(shù)的最值求解。

解：（1）略解：a=4，b=2，c=2，d=2;

（2）由（1）知f（x）=x2+4x+2，g（x）=ex（2x+2），則x2+4x+2≤kex（2x+2）在x≥-2時(shí)恒成立。設(shè)F（x）=kg（x）-f（x）=2kex（x+1）-x2-4x-2，則由F（0）≥0得k≥1，由F（-2）≥0得k≤e2，故1≤k≤e2。又F′（x）=2（x+2）·（kex-1）=0得x1=-2，x2=-lnk∈[-2，0]，則當(dāng)-2≤x≤-lnk，F(xiàn)′（x）≤0，x>-lnk時(shí)F′（x）>0;則當(dāng)x=-lnk時(shí)，函數(shù)F（x）=kg（x）-f（x）=2kex（x+1）-x2-4x-2有最小值F（-lnk）=（2-lnk）·lnk≥01≤k≤e2，因此：k的取值范圍是：1≤k≤e2。

點(diǎn)評(píng)：本題求解過程中將恒成立轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值求解，是一種常用的數(shù)學(xué)方法。在過程中先給x賦值，縮小k的范圍，然后再求解是一種常用的數(shù)學(xué)思想。

三、“有解”與“恒成立”問題的綜合

例5已知函數(shù)f（x）=（x+1）24，對(duì)于任意的x∈[1，m]，（m>1），總存在實(shí)數(shù)t∈R使f（x+t）≤x成立，求m的最大值。

分析：?jiǎn)栴}中含有x，t兩個(gè)量，可以先對(duì)x恒成立，消去x，然后再對(duì)t有解，分步進(jìn)行。

解：假設(shè)存在實(shí)數(shù)t∈R使f（x+t）≤x成立，因?yàn)椋喝我獾膞∈[1，m]，f（x+t）≤x恒成立，所以

f（1+t）≤1-4≤t≤0（1）

f（m+t）≤m-1-m-2m≤t≤-1-m+2m（2），此不等式組是關(guān)于t的不等式組有解，則必有-1-m-2m≥-4m≤9，又m>1，因此：1

點(diǎn)評(píng)：本題中“有解”與“恒成立”同時(shí)出現(xiàn)，在解決此類問題時(shí)，每一次只考慮解決一個(gè)變量，其余的作為常量來處理，使問題易于解決。

總之，“有解”與“恒成立”問題是中學(xué)數(shù)學(xué)中的基本問題，在讀題要注意題目中的具體問法，分清是“有解”還是“恒成立”，在解題中要善于進(jìn)行轉(zhuǎn)化，變成求函數(shù)的值域或其他問題來求解。