基于全散度的C-V模型閾值法*

王繼策，王 慧，吳成茂

(西安郵電大學(xué) 電子工程學(xué)院，陜西 西安 710121)

0 引言

圖像分割作為實現(xiàn)圖像識別與理解的基礎(chǔ)，一直是計算機視覺領(lǐng)域研究的熱點。盡管圖像分割算法已經(jīng)研究了數(shù)十年，但由于圖像的復(fù)雜性、多樣性，至今沒有一個通用的分割理論和算法。因此，人們一直在不斷尋找新的分割方法，以便獲得滿意的分割效果。

在圖像分割方法中，閾值法是一類廣泛應(yīng)用的方法，其關(guān)鍵是如何選取最佳分割閾值。在眾多閾值方法中，Otsu閾值法[1]是基于最大類間方差的全局閾值法，它具有簡單、快速、性能穩(wěn)定等特點。但全局閾值法對光照不均勻圖像很難獲得滿意的分割結(jié)果。

近年來，參考文獻[2]提出了基于區(qū)域的幾何活動輪廓分割模型（即C-V模型），其利用水平集理論[3]可獲得該模型求解算法，由于C-V模型具有全局分割能力、對弱邊緣圖像具有較好的分割結(jié)果等優(yōu)點，因而得到廣泛研究與應(yīng)用。但是，C-V模型對灰度不均勻圖像的分割仍存在失效且收斂速度慢的缺點。對此，參考文獻[4]提出了逆濃度擴散模型，并給出基于直方圖的Mumford-Shah模型快速閾值分割算法。

針對傳統(tǒng)C-V模型無法較好分割灰度不均勻圖像的問題，本文將全散度(Total Bregman Divergence，TBD)[5]理論引入傳統(tǒng)C-V模型，獲得TBD-CV模型來刻畫像素值與分割區(qū)域平均像素值大小的差異性；之后，采用水平集理論和變分法獲得具有較好魯棒性、抗噪性的數(shù)值迭代分割算法；最后，利用灰度級統(tǒng)計直方圖對模型進行簡化，獲得高性能快速閾值分割算法，并通過實驗驗證TBD-CV模型的有效性。

1 理論背景

1.1 Bregman散度與全散度

散度是信息論與信息幾何中非常重要的概念，它是度量兩個隨機變量概率分布差異、空間對象差異的重要量，它與信息熵之間存在著緊密關(guān)系。散度理論已廣泛應(yīng)用于聚類分析、圖像分割、圖像檢索、數(shù)據(jù)編碼與壓縮等眾多領(lǐng)域，現(xiàn)已成為智能信息處理等問題的重要解決工具。傳統(tǒng)平方歐式距離是最常用的Bregman散度，它是度量差異性的基本方法，但它的計算值與坐標(biāo)系選取的緊密相關(guān)，且該度量對奇異數(shù)據(jù)點的計算缺乏魯棒性，導(dǎo)致將其用于灰度不均或有噪聲圖像分割時，易出現(xiàn)錯分現(xiàn)象問題。為此，本文引入了全散度理論。

定義1[6]：Bregman散度 設(shè)可微函數(shù)f是嚴(yán)格凸函數(shù)，x、y是函數(shù)上兩個不同的點，則 Bregman散度 df(x，y)可通過下面的公式給出：

其中，▽f(y)是在 y 上計算的函數(shù) f的梯度；〈x-y，▽f(y)〉是▽f(y)和(x-y)的內(nèi)積，對于歐式空間的點，內(nèi)積即為點積。

定義 2[5]：全散度 設(shè)可微函數(shù) f是嚴(yán)格凸函數(shù)，x、y是函數(shù)上兩個不同的點，則全散度δf(x，y)可通過下面的公式給出：

式中，〈·，·〉同定義 1 中，為內(nèi)積。

從圖1所示的Bregman散度與全散度的示意圖來看，若函數(shù)關(guān)系不變，將坐標(biāo)系做一定的旋轉(zhuǎn)，此時df(x，y)值發(fā)生了變化。而δf(x，y)值卻保持不變。現(xiàn)假設(shè)所求函數(shù)關(guān)系 f(x)=x2，則式(1)、式(2)化簡為：

圖1 Bregman散度與全散度示意圖

1.2 C-V模型

在圖像中，對象與背景的區(qū)別一般表現(xiàn)為平均灰度值的明顯不同。對于此類邊緣、紋理等特征不明顯的圖像，假設(shè)能找到閉合曲線C，它使全部圖像域劃分為內(nèi)部區(qū)域 Ω1和外部區(qū)域 Ω2兩個分部，使在 Ω1內(nèi)的圖像部分與在Ω2的圖像部分的平均灰度恰好反映出圖像對象與背景之間的灰度平均值的差別，那么這一閉合曲線就可以看成是所要分割對象的輪廓?；谶@一思路，Chan和 Vese[2]提出了如下“能量”泛函，即C-V模型：

其中，令 Ω?R2為有界開子集，I：Ω→R為給定灰度圖像且滿足 I(x，y)：x，y∈Ω，C 為演化曲線，Ω1、Ω2分別為演化曲線的內(nèi)部區(qū)和外部區(qū)，c1、c2分別為演化曲線內(nèi)、外部的灰度平均值，參數(shù) μ，υ≥0，權(quán)重系數(shù) λ1，λ2＞0。

2 TBD-CV模型

C-V模型是基于區(qū)域信息的幾何活動輪廓模型，它克服了基于邊緣的幾何活動輪廓模型的全局性差和不易分割弱邊緣的不足。但是C-V模型分割算法采用的是歐氏距離，僅將灰度同質(zhì)作為區(qū)域分離的準(zhǔn)則，只能用于包含目標(biāo)和背景兩個不同均值區(qū)域的高對比度圖像分割中，對非均勻性或有噪聲干擾圖像的分割并不太理想。而全散度是計算可微凸函數(shù)的一點與其另一點切線的正交距離，其計算與坐標(biāo)系的選擇無關(guān)，將其應(yīng)用到分割算法中，可以有效避免噪聲干擾的影響.

2.1 改進的全散度

為了將Bregman散度與全散度統(tǒng)一，本文提出一種改進的全散度，使得其散度應(yīng)用具有更好的普適性，定義如下：

式中，η≥0。 當(dāng) η=0時，式(6)退化為 Bregman散度；當(dāng)η=1時，式(6)即為全散度。

2.2 本文模型

本文基于全散度理論，提出一種改進的圖像分割模型，該模型很大程度上提升了對灰度不均勻或有噪聲污染圖像的分割能力。現(xiàn)引入水平集函數(shù)φ，對TBD-CV模型能量泛函定義如下：

2.3 數(shù)值算法

根據(jù)歐拉—拉格朗日變分法，在將曲線演化應(yīng)用于圖像處理問題時，曲線運動方程來自于最小化閉合曲線C的能量泛函式(7)，得到如下方程：

其對應(yīng)迭代方程為：

在實驗過程中， 令 υ=0，λ1=λ2=1。 根據(jù)參考文獻[7]中指出 h可用▽φ替換，而▽φ≈1，同時是起到光滑分割曲線的作用，但在實際計算中起到的作用相對很小，且計算量很大，所以本文忽略該項。于是，式(10)可簡化為：

從式(12)可以看出，最終的分割結(jié)果只取決于圖像的灰度信息，而與圖像的具體灰度分布沒有任何關(guān)系。因此，本文將直接利用直方圖來簡化計算。首先，將函數(shù)φ(x，y)映射為 φ(i)，其中 i=0，1，…255 為灰度值，令圖像中灰度值為i且 φ(i)＞0的像素點為分割曲線內(nèi)部 Ω1的像素點；反之，為分割曲線外部Ω2的像素點。

設(shè)圖像直方圖值為hist(i)，則式(11)可簡化為：

同時，式(8)、式(9)也變?yōu)椋?/p>

該方法所對應(yīng)的圖像閾值化分割算法步驟如下：

(1)獲取圖像I并計算圖像灰度級直方圖值hist(i)，i=0，1…255；

(2)初始化一維距離函數(shù) φ0(i)=i-k，i=0，1…255，k∈[0，255]，k 值 采用 Otsu 算 法[1]獲?。?/p>

(3)依據(jù)式(13)進行迭代計算，直到sign(φn)=sign(φn-1)；

(4)計算完成后，依據(jù)式(16)輸出分割結(jié)果圖像。

3 實驗結(jié)果與分析

針對本文所建議的TBD-CV變分閾值分割模型，當(dāng)參數(shù)η=0時，該分割模型退化為傳統(tǒng)歐氏距離C-V模型；當(dāng)參數(shù)η=1時，該分割模型即TBD-CV模型。

在分割實驗中，選取 H函數(shù)的 ε=0.173，迭代時間步長▽t=0.1。為了降低初始值對分割模型的影響，采用經(jīng)典Otsu閾值法獲取區(qū)域中心c01、c02的初值。

從圖2所示的細菌圖像分割結(jié)果來看，原圖像灰度不均勻，采用傳統(tǒng)C-V模型所獲得分割結(jié)果(圖2(b)所示)目標(biāo)細菌輪廓不清晰，甚至個別細菌出現(xiàn)斷裂現(xiàn)象。采用TBD-CV模型分割結(jié)果如圖2(c)所示，目標(biāo)完全能從背景中提取且錯分像素非常少，目標(biāo)邊界輪廓清晰。

圖2 灰度不均圖像測試圖

為了測試分割模型對含噪聲圖像分割的魯棒性，進行噪聲干擾測試，如圖3所示，圖(a)為螺絲釘圖添加一定零均值高斯噪聲的圖像，其噪聲均方差為10；圖(b)為C-V模型分割結(jié)果圖，其分割結(jié)果背景受噪聲影響，出現(xiàn)較多白點，即錯將背景分割為目標(biāo)現(xiàn)象；圖(c)為TBD-CV模型分割結(jié)果圖，其分割結(jié)果正確，目標(biāo)清晰，且噪聲干擾小。

圖3 噪聲干擾測試圖

另外，為了客觀評價不同分割算法的性能差異，本文引入被分割圖像的實際分割結(jié)果與理想分割結(jié)果之間差異性度量的誤分率 (Ratio of Segmentation Error,RSE)進行量化評估，定義如下：

表1 分割模型測試數(shù)據(jù)對比表

4 結(jié)論

從表1所示的兩種分割模型的收斂迭代次數(shù)、時間消耗以及分割結(jié)果誤分率來看，與傳統(tǒng)歐式距離的變分CV分割模型相比，TBD-CV變分分割模型具有如下優(yōu)點：(1)提高模型對灰度不均勻、噪聲干擾圖像的分割能力；(2)對噪聲干擾圖像具有一定的魯棒性；(3)其閾值分割方法具有收斂速度快、耗時短的特點。因此，本文所建議的TBD-CV變分分割模型具有一定的普適性.

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