計及流體效應的三體船流固耦合自振特性

周清華，劉世明，杜國和

(1.江南造船(集團)有限責任公司，上海201913;2.中國艦船研究設計中心，湖北 武漢430064)

0 引 言

如何準確地計算三體船總振動的模態(tài)特性，以避開共振狀態(tài)，是三體船結構設計的關鍵問題之一。對于三體船在水中的振動問題，需要考慮流體與結構的耦合作用。目前，船舶結構的流固耦合力學分析方法主要有以下3 種:

1)經(jīng)驗公式法如劉易斯圖譜法，該方法可求解低階垂向振動和水平振動的附連水質量，已廣泛應用于單體船的振動分析中;

2)解析－數(shù)值方法，如Geers 提出的雙漸進法［1］，該方法適用于研究形狀規(guī)則的結構;

3)純數(shù)值計算方法［2］，如有限元法和邊界元法等。

對于形狀復雜的水中結構，一般采用數(shù)值分析方法，由于該方法在工程上的實用性，國內外學者做了大量的研究。Deruntz 等［3］利用邊界積分法計算附連水質量，討論了處理流固耦合問題的不連續(xù)邊界積分方法。夏利娟等［4］采用2 種不同邊界條件的二維邊界元法計算高速船垂向振動的附連水質量。黃曉明等［5］以加筋圓柱殼模型試驗為基準，研究船體結構在無限水域中的垂向低階濕模態(tài)特性仿真計算方法;吳紹亮等［6］采用邊界元法和經(jīng)驗公式法對船體局部結構的附連水質量計算進行了比較性研究。蘇海東等［7］應用有限元－邊界元混合法分析了等深度無限大片狀域流場中三維結構的自由耦振問題。

本文基于流固耦合振動的純數(shù)值解法理論，分別采取有限元法和邊界元法對某三體船流固耦合系統(tǒng)的無阻尼自由振動特性進行比較性研究，并分析側體附連水質量對三體船總振動特性的影響，為進一步研究受迫耦振問題奠定基礎。

1 流固耦合振動的純數(shù)值解法

1.1 流固耦合系統(tǒng)的基本方程

理想不可壓縮流體小擾動的動力平衡方程為

式中:▽為Hamilton 算子;p為流場動壓力。

邊界條件如下:

2)在自由面上(不考慮表面波)，p = 0;

3)在固定界面上，?p/?n = 0;

結構在流體中的無阻尼自由振動方程為:

式中:Ms為結構的質量矩陣;Ks為結構的剛度矩陣;w為結構位移矢量;f為流體動壓力所產(chǎn)生的節(jié)點力矢量。

1.2 有限元法

有限元法將整個流體域離散為若干個流體元，采用Gauss 數(shù)值積分法計算各個流體元的貢獻。根據(jù)Galerkin法建立整個流體域的運動方程為:

式中:H為流體動壓力系數(shù)矩陣，H = ?Ω▽N·▽NTdΩ;B為 流 固 界 面 耦 合 矩 陣， B =Λ;Ω為流體域;N為流體元的形函數(shù);Ns為接觸面的形函數(shù);Λ為坐標的轉換矩陣;=Λ;SI為流固交界面。

由虛功原理得到流固交界面上的流體力矢量為:

合并式(2)～式(4)，得到流固耦合系統(tǒng)的運動方程為:

式中:Ma= ρBTB為附連水質量矩陣。

1.3 邊界元法

邊界元法將船體結構的振動和入射波的作用視為流固交界面上具有分布的脈動源，并離散為有限個源點。定義Green 函數(shù)G(P，Q)為Q 點作用一單位脈動源強時在流域內任一點P 處所引起的速度勢，則所有界面上的分布源所產(chǎn)生的速度勢為:

式中:σ(xs，ys，zs)為流固交界面上單位面積的源強;(x，y，z)為場點;(xs，ys，zs)為源點。

采用Green 函數(shù)法計算流場，得到分布源強的積分方程式為:

除上述三種途徑的假蔭外，唐朝還有雜色蔭，其中也有假冒資蔭現(xiàn)象。唐朝的前朝蔭是對北齊、北周、隋三朝的名臣子孫用蔭。貞觀元年(627年)，唐太宗 “以選人多詐冒資蔭，敕令自首，不首者死。 ”〔11〕(p6031)盡管在嚴刑峻法的管制之下，還是有人詐冒資蔭，被發(fā)現(xiàn)以后，唐太宗要處以死刑，雖然最后沒有實行，但這反映了統(tǒng)治者對于詐冒資蔭的厭惡，并且希望通過嚴懲來告誡其他人。

將式(7)通過對邊界劃分成有限個數(shù)的單元進行離散化，可得間接邊界積分方程為:

式中C的元素為:

D的元素為:

由虛功原理得到流固交界面上的流體力矢量為:

式中A為結構濕表面面積的對角矩陣。

將式(11)代入式(2)，得到流固耦合系統(tǒng)的運動方程為:

式中Mf= ρΛTADC-1Λ為附連水質量矩陣。

2 算例及分析

2.1 計算模型

圖1 三體船結構有限元模型Fig.1 Trimaran structure finite element model

有限元法中，采用Abaqus 軟件計算［8］。對于無限域流場采用Abaqus 提供的三維聲學流體單元AC3D4 進行模擬，定義流體介質的壓縮模量和密度。水線以下的結構濕表面和水的接觸面采用關鍵字TIE連接，使其始終保持接觸狀態(tài)而不分離。一般情況下模擬無限域流場的邊界距結構的距離至少應為結構尺度的6 倍左右，綜合考慮計算時間、精度和三體船結構特征，文中將流場半徑取為船中距側體中心距離的5 倍，建立三體船流固耦合計算模型(見圖2)。

圖2 三體船流固耦合計算模型Fig.2 Trimaran fluid-structure coupling calculation model

邊界元法中，采用MSC.Nastran 軟件計算［9］。定義濕表面網(wǎng)格為流固耦合界面，用邊界元代替三維聲學流體單元，將無限流域的定解問題簡化成僅在流固耦合界面進行數(shù)值積分。具體實現(xiàn)過程:在模型數(shù)據(jù)段，通過卡片MFLUID 定義參考坐標系、液面高度、流固耦合界面、流體密度、是否有對稱邊界條件、積分方法等參數(shù);通過卡片ELIST 定義構成“濕面”的二維單元，流固耦合界面由一組TRIA3 或QUAD4 單元組成。在情況控制段，通過卡片MFLUID=SID 標識流固耦合分析。

2.2 數(shù)值計算

采用Lanczos 算法求解結構的特征值和特征向量，即流固耦合系統(tǒng)的自由振動固有頻率和模態(tài)。受低階單元形函數(shù)的限制，數(shù)值計算結果一般只適用于低頻范圍。由于文中采用的簡化建模方法合理，低階模態(tài)中均為整體振動模態(tài)，選取前4 階典型模態(tài)作為研究對象，計算結果如表1所示。

由表1 可見，計及流體效應后的三體船流固耦合自振頻率比干模態(tài)頻率明顯降低，其中首階垂向彎曲和水平彎曲的振動頻率降幅最大;與邊界元法相比，有限元法的頻率計算值均偏小，高階振動頻率相對誤差較小，不超過5%。主要原因有2個:一是流場范圍對附連水質量的影響［10］。附連水質量隨著流場半徑的增加而減小，文中采取的流場范圍不足以精確模擬無限域流場的影響，致使計算結果偏小;二是流體單元類型、大小和質量對計算結果的影響。

典型振動模態(tài)如圖3所示。三體船前3 階總振動模態(tài)為垂向彎曲和水平彎曲，高階模態(tài)多為首部水平彎曲和尾部扭轉的耦合振動。由于三體船的側體布置于尾部，首部結構較為瘦削，首部和尾部的抗彎和抗扭剛度差異較大，且剪切中心線和水平彎曲中心線不一致，致使首部水平彎曲與尾部扭轉的耦合振動較為突出，該振動特性與普通的閉口類單體船有所不同。

為研究深V型、淺吃水側體的附連水質量對三體船總振動的影響，現(xiàn)分別考慮側體和主體附連水質量2 種情況進行比較分析。在MSC.Patran 中，利用卡片MFLUID 可以定義相應的流固耦合界面即可實現(xiàn)計算。計算結果如圖4所示。

由圖4 可見，僅考慮側體附連水質量的頻率計算值和干模態(tài)接近，最大偏差為2.37%;僅考慮主

圖3 典型振動模態(tài)Fig.3 Typical vibration modes

圖4 附連水質量的影響比較Fig.4 Additional water mass impact comparison

體附連水質量的頻率計算值與濕模態(tài)接近，最大偏差為4.85%。由此可知，深V型、淺吃水側體由于其結構形狀獨特和排水體積小的特點，其附連水質量對三體船總振動影響很小。

3 結 語

1)考慮流體效應時，三體船自振頻率均有所降低，其中首階固有頻率下降幅度最大。

2)三體船總振動較常規(guī)船型復雜，需要考慮尾部扭轉和首部水平的耦合振動以及連接橋區(qū)域的局部結構的耦合振動。同時，由于三體船航速較高，有必要分析螺旋槳和主機激振力作用下的結構振動響應。

3)深V型、淺吃水側體的附連水質量對三體船總振動的影響較小。在工程應用中，可忽略該類側體附連水質量的影響。

4)有限元法和邊界元法均能解決三體船流固耦合振動問題。相比之下，邊界元法降低求解流場問題的空間維數(shù)，且自動滿足遠場輻射條件，單元數(shù)少，計算量小，是預報三體船總振動更為快速有效的方法。

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