淺談點關于直線成軸對稱的運用

黃君明

(杭州財稅會計學校,浙江杭州 310012)

淺談點關于直線成軸對稱的運用

黃君明

(杭州財稅會計學校,浙江杭州 310012)

本文就點關于線成軸對稱問題進行演變、挖掘,通過幾何圖形、距離、光線等一些問題的應用,培養(yǎng)學生應變、求異、探索能力,啟迪學生綜合運用發(fā)散思維。

對稱性 圖形 距離 光線

在關于直線的對稱性問題的教學過程中，不僅要讓學生理解和掌握基本的知識內容，能熟練地解決一些基礎問題，而且要引導學生從這些基礎問題為藍本，培養(yǎng)學生的思維拓展、求異、探索的能力。本文就以點關于直線成軸對稱為例，談談教學的體會。

基礎問題:試求點A(1，3)關于直線L:2x-3y-6=0的對稱點的坐標。

解:設A(1，3)關于L的對稱點為A'(x0，y0)，則AA'的中點為M，又因M在直線L上，

所以點A(1，3)關于直線L:2x-3y-6=0的對稱點的坐標為(5，-3)。

另解:設A(1，3)關于L的對稱點為A'(x0，y0)，因為AA'⊥L，所以直線AA'的斜率

所以點A(1，3)關于直線L:2x-3y -6=0的對稱點的坐標為(5，-3)。

這兩種解題方法，雖然過程方法有所不同，但實質都基于軸對稱問題的一個基礎知識點，即:點A′是點A關于直線L的對稱點的充要條件線段AA′⊥L且線段AA′的中點在直線L上。在教學過程，大部分學生都能理解而且能夠掌握，但僅此不夠，還需引導學生從這類基礎問題出發(fā)，展開想象，去解決一些實際問題。先來總結一下某一點關于基本直線的對稱點的坐標:

①A(x，y)關于x軸的對稱點A'(x，-y);

②B(x，y)關于y軸的對稱點B'(-x，y);

③C(x，y)關于直線x-y=0的對稱點C'(y，x);

④D(x，y)關于直線x+y=0的對稱點D'(-y，-x);

⑤P(x，y)關于直線x=a的對稱點P'(2a-x，y);

⑥Q(x，y)關于直線y=b的對稱點Q'(x，2b-y)。

1 有關光線問題

例1.一束光線通過點A(-2，4)，在直線L:2x-3y-6=0反射，反射光線經(jīng)過點B(6，8)，求射入光線和反射光線所在的直線方程。

分析:從表面上看好象是物理光線問題，但實質上是點關于直線的對稱問題。由幾何光線知識可知:點A關于直線2x-3y-6=0的對稱點A′在反射光線所在的直線上，即:反射光線在直線A′B上;同理，入射光線在直線AB′(點B′是點B關于直線2x-3y-6=0的對稱點)上。

例2.一束光線通過點A(-3，2)照射到x軸上，經(jīng)x軸的反射，反射光線與圓x2+y22-8x+6y=0相切，求反射光線所在的直線方程。

分析:首先找出點A(-3，2)關于x軸的對稱點A′(-3，-2)，然后再求經(jīng)過點A′(-3，-2)的圓x2+y22-8x+6y=0的切線方程，即反射光線所在的這直線就是所求的切線方程。

解:顯然點A(-3，2)關于x軸的對稱點為A′(-3，-2)，設過點A′(-3，-2)

與圓x2+y2-8x+6y=0相切的直線斜率為k，則切線方程為:y+2=k(x+3)，即kx-y-2+3k=0。根據(jù)圓的切線性質可知，圓心到切線的距離等于半徑，圓x2+y2-8x+6y=0的圓心坐標為(4，-3)，半徑等于5，從而圓心(4，-3)到切線kx-y-2+3k=0的距離

化簡、整理得:12k2+7k-12=0，解得

從而反射光線所在的直線方程為:3x-4y+1=0。

2 有關最小值問題

例3.在一條公路同一邊有2個村莊A、B，它們在同一直角坐標系下，坐標分別為A(-2，1)、B(3，4)，公路所在直線位置為3x-2y-6=0。現(xiàn)需在公路邊建一個電力輸送站，問輸送站建在什么位置到A、B兩村莊的輸送線路最短？

分析:如果A、B村莊分別在公路的二邊，那么直線段AB與公路的相交位置(M)就是要尋找的輸送站的位置?，F(xiàn)在A、B村莊在公路的同一邊，根據(jù)兩點之間距離最短的是直線段和對稱性的知識可知，這個問題的實質仍為點關于直線的對稱問題。村莊A關于公路(直線3x-2y-6=0)的對稱點A′與B村莊的距離為|AM|+|BM|，因此直線段A′B與公路(直線3x-2y-6=0)相交的位置(M)，就是要找的輸送站位置。因為此時的M位置能使|AM|+|BM|的值最小。求解過程:(1)先求出點A(-2，1)關于直線3x-2y-6=0的對稱點A′的坐標，(2)求過A′、B兩點的直線方程，(3)求直線A′B與直線3x-2y-6=0的交點M的坐標，則該交點M就是公路邊建一個電力輸送站位置。

3 有關幾何圖形的對稱性問題

例4:△ABC的頂點A的坐標為(2，4)，∠B與∠C的平分線的方程分別為L1:x-y-2=0和L2:x+2y-5=0，求BC所在直線的方程。

分析:該題表面上求直線方程的條件不明顯，但根據(jù)角平分線和點關于直線的對稱有關知識，就可發(fā)現(xiàn)點A關于∠B，∠C的平分線的對稱點都在BC所在直線上。求解過程:(1)求出點A關于∠B與∠C的平分線L1和L2的兩個對稱點A1、A2，(2)求直線A1A2方程，(3)BC所在的直線方程就是直線A1A2的方程。

解:先求點A關于∠B的平分線L1:x-y-2=0的對稱點A1的坐標，顯然L1:x-y-2=0 k=1的斜率，且AA1⊥L1，則直線AA1的斜率k=-1，

從而有:y-4=-1(x-2)，即直線AA1的方程為x+y-6=0，

從而A1的坐標為(6，0)。

同理:A2的坐標為(0，0)。(A2是點A關于∠C的平分線L2:x+2y-5=0的對稱點)

則直線A1A2方程為y=0。

根據(jù)角平分線和點關于直線的對稱的性質，可知點A關于∠B，∠C的平分線的對稱點A1、A2都在BC所在直線上，所以BC所在的直線方程就是直線A1A2的方程，即:y=0。

例5:已知雙曲線C:3x2-y2=1與直線L:y=kx+1相交于M、N兩點，是否存在實數(shù)k，使M、N兩點關于直線x-2y=0對稱？

解:設M(x1，y2)、N(x2，y2)，且M、N的中點P(x0，y0)，假設存在實數(shù)k，使M、N兩點關于x-2y=0對稱，根據(jù)點關于直線的對稱的性質，可知直線MN的斜率

且點P(x0，y0)滿足直線方程x-2y=0，即x0-2y0=0，

因為M、N兩點在雙曲線C:3x2-y2=1上，因此有

從而y0=0，x0=0。

即M、N的中點P的坐標為(0，0)，顯然點P(0，0)不在直線MN(L:y=kx+1)上，

所以假設不成立，即不存在實數(shù)k，使M、N兩點關于直線x-2y=0對稱。