與非合作目標交會的追蹤衛(wèi)星軌道L2－L∞增益控制

鄧 泓 孫兆偉 仲惟超 張 健

1. 上海衛(wèi)星工程研究所，上海200240

2. 哈爾濱工業(yè)大學衛(wèi)星技術研究所，哈爾濱150001

3. 北京空間飛行器總體設計部，北京100094

空間非合作目標是指一類不能提供有效合作信息的空間飛行物，包括故障或失效衛(wèi)星、空間碎片和對方衛(wèi)星等［1］。與這類空間非合作目標進行交會是完成在軌服務、空間垃圾清除和空間攔截等空間任務的基礎［2］。當追蹤衛(wèi)星與對方衛(wèi)星這類空間非合作目標交會時，目標衛(wèi)星為了逃避追蹤可能存在軌道機動。本文主要針對這類情況的空間交會，研究了追蹤衛(wèi)星的軌道控制方法。

隨著推力可連續(xù)變化推進器的出現(xiàn)，基于控制理論的變推力軌道控制方法逐漸取代傳統(tǒng)的沖量式軌道控制方法，成為近年來研究熱點，如文獻［3 －4］分別采用自適應控制和滑模控制方法為空間交會設計了軌道控制器。這類方法通常可對系統(tǒng)的穩(wěn)定性進行設計和分析，因而具有更高的控制精度。當目標衛(wèi)星存在軌道機動時，傳統(tǒng)的Hill 方程或是橢圓相對軌道方程不再適用。為此，本文建立了在慣性系下描述的相對軌道近似模型。由于目標衛(wèi)星的非合作性，其軌道機動的大小是不可測得的，故本文將目標衛(wèi)星軌道機動處理成系統(tǒng)干擾。為了抑制干擾，通常可采用魯棒控制器，如文獻［5］研究了系統(tǒng)存在控制輸入干擾時追蹤衛(wèi)星的魯棒H∞軌道控制方法;文獻［6］考慮了干擾對系統(tǒng)輸出的L2增益，提出了一種自適應飛行控制方法;文獻［7］進一步研究了存在參數(shù)不確定性和控制干擾時的最優(yōu)控制。此外，執(zhí)行器的輸出一般都有幅值，即具有飽和特性。若不考慮該特性可能導致控制器在實際應用中精度降低甚至失效。因而有必要研究系統(tǒng)在該特性下仍能漸近穩(wěn)定的控制器設計方法，如文獻［8 －9］均針對控制輸入受限下的航天器姿態(tài)調(diào)節(jié)和姿態(tài)機動控制問題提出了相應的控制器設計方法。由于這類任務的快速性要求，可考慮系統(tǒng)的有限時間性能，如文獻［10］中以系統(tǒng)有限時間性能為優(yōu)化指標進行控制器的設計。

本文綜合考慮上述所有條件，以系統(tǒng)有限時間性能為優(yōu)化指標，提出了L2－L∞增益控制器設計方法，并基于線性不等式(Linear Matrix Inequality，LMI)技術證明了采用該控制器的閉環(huán)系統(tǒng)在執(zhí)行器飽和特性下是漸近穩(wěn)定的。

1 相對軌道模型

在地心慣性坐標系中［11］，目標衛(wèi)星和追蹤衛(wèi)星的軌道動力學方程分別為:

式中，μ 為地球引力常數(shù)，x，y，z 為衛(wèi)星在慣性系中的位置，r 表示衛(wèi)星地心距，m 表示衛(wèi)星質(zhì)量，f 表示衛(wèi)星軌道控制力，Δf 表示干擾力量，下標“t”代表目標衛(wèi)星，下標“c”代表追蹤衛(wèi)星。

令xe，ye，ze表示兩星相對位置在慣性系下的分量，假設兩星的相對距離遠遠小于它們的地心距，則有

同理，對另兩軸同樣有下式成立:

在追蹤衛(wèi)星逐漸逼近目標衛(wèi)星的過程中，其地心距rc是時變參數(shù)。因此將式(2 ～4)中包含rc的時變參數(shù)分成2 部分:1)時不變的參數(shù);2)時變參數(shù)，可視作模型的不確定性，即

式中，rc0為初始時刻追蹤衛(wèi)星的軌道半徑，δr(t)為由軌道半徑變化引起的時變參數(shù)，滿足表示其變化幅值。

由于目標衛(wèi)星的非合作性，其軌道控制力的變化是無法測得的，于是將目標衛(wèi)星的軌道控制力視作模型的擾動。令系統(tǒng)狀態(tài)向量、軌道控制力向量、測量輸出向量和干擾向量分別為:

并考慮追蹤衛(wèi)星和目標衛(wèi)星質(zhì)量的不確定性:

式中，mc0，mt0為質(zhì)量的初始值，δ1(t)，δ2(t)分別滿足和為幅值。

結合式(1 ～5)，則系統(tǒng)模型可寫為:

In表示維數(shù)為n 的單位陣，0m×n表示維數(shù)為m × n的零矩陣。不確定部分ΔA(t)，ΔBc(t)和ΔD(t)具有如下形式:

式中，H =［H0H0H0H0］，H0=［03×3I3］T，

可見，F(xiàn)T(t)F(t)≤I。

在實際應用中，衛(wèi)星軌道推進器的推力通常都有幅值，即具有飽和特性?？紤]該特性:

本文采用狀態(tài)反饋控制即uc(t)= KXe(t)，K為控制增益陣。故閉環(huán)系統(tǒng)可寫為:

2 L2 －L∞增益控制器設計

2.1 控制器設計目標

為抑制干擾對系統(tǒng)的影響，本文考慮了系統(tǒng)的L2－ L∞增益，即能量－ 峰值(Energy － to － Peak，EP)增益，其具體定義如下:

上式等價于，在零初始條件下 ye(t)∞≤β w(t)2。

當追蹤衛(wèi)星執(zhí)行與非合作目標衛(wèi)星的交會任務時，通常要求它能在燃料有限的情況下于有限時間內(nèi)完成。因此，考慮有限時間內(nèi)系統(tǒng)狀態(tài)和控制輸入向量的線性二次型性能:

式中，S，Q 和R 均為正定對稱矩陣，t0和tf分別表示初始時刻和終端時刻。

因此，本文控制器設計目標可描述為:針對不確定飽和系統(tǒng)(7)，設計控制增益陣K，使得閉環(huán)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定、系統(tǒng)的EP 增益滿足約束(9)且系統(tǒng)的有限時間性能J 達極小值。

2.2 控制器設計

為證明后文提出的定理，給出以下引理。

引理1［12］:設a，b 為具有相同維數(shù)的向量，對于具有相應維數(shù)的任意矩陣Γ 滿足ΓTΓ ≤I，則有2aTΓb ≤aTa + bTb。

引理2［12］:設M 和N 為實數(shù)矩陣，則對任意矩陣Γ 滿足ΓTΓ ≤I，存在實數(shù)ε ＞0 滿足MΓN +NTΓTMT≤ε－1MMT+ εNTN。

定理1 考慮不確定飽和系統(tǒng)(7)，如果存在正定對稱矩陣P 滿足

由引理1 可知:

故當w(t)= 0 時，

對于有限時間性能J，當R 為對角陣時有

當w(t)≠0 時有:

式中:ξT(t)= ［XT(t) wT(t)］。則由式(10)可知，(t)－ wT(t)w(t)＜0 。對該式從0 到τ 積分

并利用零初始條件，可得:

定理2 :考慮不確定飽和系統(tǒng)(7)，如果存在實數(shù)β ＞0，μ ＞0，α ＞0，正定對稱矩陣Ω 和矩陣Ψ 滿足

式中，∑= AΩ+ΩAT+BcΨ++μHHT。則存在控制增益陣K 使該系統(tǒng)漸近穩(wěn)定、系統(tǒng)的EP增益滿足式(9)、有限時間性能J 有上界J ＜α，且控制增益陣K 可由下式計算:

證明:定義Ω = P－1，Ψ =。由定義可知式(16)和(19)均成立。用矩陣J1= diag(Ω，I)對式(10)做全等變換并利用Schur 補定理［9］，則有:

將不確定結構(6)代入上式可得，

式中，

由引理3 知，存在實數(shù)μ ＞0 ，使得當式(15)成立時式(21)成立，即式(15)成立時式(10)必然成立。用矩陣Ω 對式(12)做全等變換并利用Schur補定理可得到式(17)。根據(jù)Schur 補定理式(18)等價于(t0)PXe(t0)＜α，故性能J 有上界α。

推論1 求解如下凸優(yōu)化問題可獲得有限時間性能的最優(yōu)值和控制增益陣:

即對于給定β 尋找滿足不等式(17)～(20)的實數(shù)μ和矩陣S－1，Q－1，^R－1，Ω，Ψ 使得α 值最小。

3 仿真分析

追蹤衛(wèi)星質(zhì)量為500kg，其不確定度為0.1，執(zhí)行器推力幅值為500N，初始軌道參數(shù)見表1。目標衛(wèi)星質(zhì)量為500kg，其不確定度為0.1，執(zhí)行器推力幅值為100N，初始軌道參數(shù)見表1。追蹤衛(wèi)星相對目標衛(wèi)星的初始相對軌道狀態(tài)為(42.00，11.15，－72.48)km 和(－68.68，－32.32，－43.78)m/s。模型的不確定度為

表1 追蹤衛(wèi)星和目標衛(wèi)星軌道參數(shù)

給定系統(tǒng)的EP 增益為β = 0.1 ，利用MATLAB中的LMI 工具箱求解推論1，可得:

則由式(47)計算可得控制增益陣:

仿真中，給定追蹤衛(wèi)星的控制干擾始終為控制輸入的10%，目標衛(wèi)星軌道推力在1000s 內(nèi)的輸出程正弦變化，即

根據(jù)上述仿真參數(shù)和設計的控制器，可得仿真結果如圖1 ～3 所示。圖1 為追蹤衛(wèi)星三軸控制輸入的變化圖。在仿真初期，2 星相對位置較大，理論計算的控制輸入也大。由于推進器的飽和特性，實際的控制輸入一直為推進器的推力幅值;隨著追蹤衛(wèi)星逐漸逼近目標衛(wèi)星，當理論計算的控制輸入小于推進器幅值時，實際的控制輸入就等于理論計算的控制輸入。圖2 和3 分別為相對位置和相對速度變化圖。由圖可知，相對位置和相對速度均快速收斂，2000s 時控制精度分別為1.7m 和0.01m/s。由以上仿真結果可知，當目標衛(wèi)星存在軌道機動時，對于帶飽和執(zhí)行器追蹤衛(wèi)星的軌道控制，本文設計的控制器是有效的。

圖1 追蹤衛(wèi)星三軸控制輸入

圖2 相對位置

圖3 相對速度

為進一步驗證本文設計的控制器對參數(shù)不確定性以及干擾的魯棒性，在仿真中令追蹤衛(wèi)星和目標衛(wèi)星質(zhì)量的不確定度均增大為0.5，追蹤衛(wèi)星的控制干擾增大為控制輸入的30%，目標衛(wèi)星的推力幅值增大為150N。仿真結果表明，相對位置和速度仍能快速收斂并穩(wěn)定，且2000s 時的控制精度分別為2.1m 和0.013m/s?？梢?，本文設計的控制器對參數(shù)不確定性和干擾具有較好的魯棒性。

4 結論

考慮參數(shù)不確定性和推進器的飽和性，將非合作目標衛(wèi)星的軌道機動視作系統(tǒng)干擾，以燃料消耗和時間為優(yōu)化指標，提出了一種適用于追蹤衛(wèi)星的L2－L∞增益軌道控制器設計方法。仿真結果表明，當目標衛(wèi)星存在未知軌道推力時，系統(tǒng)能快速收斂并穩(wěn)定，對系統(tǒng)的不確定性和干擾具有較好的魯棒性，且控制器結構簡單，便于工程實現(xiàn)。本文研究的干擾為能量有界時的控制器設計方法，為進一步提高控制器的適用范圍，未來可研究干擾為幅值有界時的控制器設計方法。

［1］車汝才，張洪華. 追蹤衛(wèi)星跟蹤空間非合作目標的相對軌道設計［J］. 航天控制，2006，24(5):40-45.(Che Rucai ，Zhang Honghua. Relative Orbit Design of a Chaser Tracking a Non-cooperative Target in Space［J］. Aerospace Control，2006，24(5):40-45.)

［2］Zhang Dawei，Song Shenmin，Pei Run. Safe Guidance for Autonomous Rendezvous and Docking with a Noncooperative Target［C］. AIAA Guidance，Navigation，and Control Conference，Toronto，2010.

［3］P Singla，K Subbarao，J L Junkins. Adaptive Output Feedback Control for Spacecraft Rendezvous and Docking under Measurement Uncertainty［J］. Journal of Guidance，Control，and Dynamics，2006，29(4):892-902.

［4］B Ebrahimi，M Bahrami，J Roshanian. Optimal Sliding-mode Guidance with Terminal Velocity Constraint for Fixed-Interval Propulsive Maneuvers［J］. Acta Astronautica，2008，60(10):556-562.

［5］Gao Huijun，Yang Xuebo，Shi Peng. Multi-Objective Robust H∞Control of Spacecraft Rendezvous［J］.IEEE Transactions on Control Systems Technology，2009，17(4):794-802.

［6］Yang BongJun，Yucelen Tansel，Shin JongYeob，Anthony J. Calise. An LMI-based Analysis for Adaptive Flight Control with Unmodeled Input Dynamics［C］.AIAA Guidance，Navigation，and Control Conference，Toronto，2010.

［7］黃靜，劉剛，馬廣富. 含不確定性的繩系衛(wèi)星姿態(tài)的魯棒最優(yōu)控制［J］. 宇航學報，2012，33(10):1423-1431.(Huang Jing，Liu Gang，Ma Guangfu. Nonlinear Robust Optimal Attitude Tracking of Tethered Satellite System with Uncertainties［J］. Journal of Astronautics，2012，33(10):1423-1431.)

［8］Imran Ali，Gianmarco Radice，Jongrae Kim. Backstepping Control Design with Actuator Torgue Bound for Spacecraft Attitude Maneuver［J］. Journal of Guidance，Control，and Dynamics，2010，33(1):254-259.

［9］王景，劉良棟，李果. 控制輸入受限情況下衛(wèi)星姿態(tài)的魯棒自適應控制［J］. 宇航學報，2006，27(4):588-593.(Wang Jing，Liu Liangdong，Li Guo. Robust Adaptive Attitude Control of Satellite Under Control Input Saturation［J］. Journal of Astronautics，2006，27(4):588-593.)

［10］李四平，劉錦陽，國鳳林，許金泉. 軌道機動的時間能量綜合最優(yōu)控制［J］. 宇航學報，2010，31(1):137-142. (Li Siping，Liu Jinyang，Guo Fenglin，Xu Jinquan. Time-Energy Comprehensive Optimal Control of Orbital Maneuvering［J］. Journal of Astronautics.2010. 31(1):137-142.)

［11］徐光延，項峰，諶穎. 高階帶諧攝動下衛(wèi)星相對運動精確動力學模型［J］. 宇航學報，2012，33(9):1203-1209.(Xu Guangyan，Xiang Feng，Chen Ying. Exact Dynamic Model of Satellite Relative Motion under Arbitrary Zonal Harmonic Perturbations［J］. Journal of Astronautics，2012，33(9):1203-1209.)

［12］俞立. 魯棒控制——線性矩陣不等式［M］. 北京:清華大學出版社，2002:25-26. (Yu Li. Robust Control:Linear Matrix Inequality［M］. Beijing:Tsinghua University Press，2002:25-26.)