基于α穩(wěn)定分布模型的水聲信號白化濾波方法

李宗吉，張西勇

(海軍工程大學 新兵器技術(shù)與應(yīng)用研究所，湖北 武漢430033)

0 引 言

在傳統(tǒng)的水聲信號檢測理論中，干擾背景多被假設(shè)為高斯分布。但在實際應(yīng)用中，尤其是主動聲吶條件下，由于海洋噪聲背景和混響的聯(lián)合作用，干擾背景明顯偏離了高斯分布，具有顯著尖峰脈沖特性，其概率密度函數(shù)的衰減過程比高斯分布要慢，即呈現(xiàn)代數(shù)拖尾。

廣義中心極限定理指出，無限個無限方差的獨立分布同隨機變量的極限分布是一種穩(wěn)定分布，而α 穩(wěn)定分布是唯一的滿足廣義中心極限定理的分布族，比高斯分布有更廣泛的適用性。α 穩(wěn)定分布的統(tǒng)計特性由其特征函數(shù)的4 個參數(shù)決定，其中最重要的參數(shù)為特征指數(shù)α ∈(0，2］，它決定著α 穩(wěn)定分布概率密度函數(shù)拖尾的厚度。α 的取值越小，概率密度函數(shù)拖尾越厚，表明隨機信號的尖峰脈沖特性越明顯。因此，α 穩(wěn)定分布可以很好地對水聲干擾背景噪聲信號進行描述。此外，α 能夠在(0，2］之間任意取值，因此α 穩(wěn)定分布可以更加靈活地對水聲干擾背景噪聲信號進行描述。特別地，當α=2 時，α 穩(wěn)定分布與高斯分布完全相同，即高斯分布是α 穩(wěn)定分布的特例。α 穩(wěn)定分布都可以由SαS 分布變換得到，不失一般性，本文將主要討論基于SαS 分布噪聲建模的白化濾波方法。

SαS 分布沒有顯性的概率密度函數(shù)表達式，但其特征函數(shù)可由式(1)明確表達:

1 共變譜與穩(wěn)定白噪聲

對于SαS 分布過程，由于不存在二階矩，其功率譜不存在。為了進行頻域處理，引入共變譜的概念。

對于一個嚴平穩(wěn)復(fù)SαS 過程{x(t);－∞＜t＜∞}，總存在如下一種譜表示:

其中ζ(ω)的獨立增量滿足如下關(guān)系:

式中:C(p，α)為依賴于p 與α 的常量;Φ(ω)為x(t)的一種稱作譜密度的非負函數(shù)。當α=2 時，譜密度Φ(ω)就是對應(yīng)高斯過程的功率譜;0 ＜α ＜2 時，譜密度Φ(ω)并不表示x(t)的功率譜。但在一些如線性預(yù)測與濾波的應(yīng)用中，它起著和功率譜一樣類似的作用，也就是說，譜密度Φ(ω)完全可以描述x(t)的一種頻率分布。當且僅當dζ(ω)具有全向或者旋轉(zhuǎn)不變增量時，過程{x(t)}為嚴平穩(wěn)過程，并且有如下穩(wěn)定過程的共變函數(shù)的表達式:

因此，穩(wěn)定分布過程的自共變函數(shù)與二階過程的自協(xié)方差函數(shù)有著同樣的意義，它與譜密度Φ(ω)構(gòu)成一個傅里葉變換對。根據(jù)自共變函數(shù)的定義:

可以建立如下準則:當且僅當自共變函數(shù)Γx(τ)在理論上滿足Γx(τ)=γxδ(τ)時，{x(t)}為穩(wěn)定分布白噪聲過程，其中δ(τ)是沖激函數(shù)。自共變函數(shù)是對二階過程的自相關(guān)函數(shù)的廣義化，對自共變函數(shù)Γx(τ)進行傅里葉變換可以得到一種分數(shù)階譜——共變譜(Covariation Spectrum，CS):

若將自共變函數(shù)換成自相關(guān)函數(shù)，則得到功率譜密度函數(shù)。由于自相關(guān)函數(shù)是自共變函數(shù)當α=2時的特例，因此，二階過程的功率譜是共變譜的特例，共變譜是功率譜的廣義化形式。在離散時域，一個嚴平穩(wěn)復(fù)SαS 序列{x(t)}也總存在如下一種譜表示:

因此，一個穩(wěn)定分布白噪聲序列{x(n)}的自共變序列Γx(n)=［x(m)，x(m－n)］α應(yīng)為序列γxδ(n)，其共變譜理論上應(yīng)是平坦均勻直線。

2 基于廣義Yule-Walker 方程的白化濾波

對SαSAR(P)序列x(n)作如下改寫:

其中u(n)是一個特征指數(shù)為α，分散系數(shù)為γ 的SαS 分布白噪聲序列。

x(n)可以看成是無窮多個獨立同分布穩(wěn)定白噪聲變量的線性組合，x(n)與u(n)具有相同的特征指數(shù)α。

對于嚴平穩(wěn)穩(wěn)定分布序列x(n)，其離差應(yīng)該滿足:

可以得到x(n)的離差如下式所示:

因此，嚴平穩(wěn)穩(wěn)定分布序列x(n)是與u(n)具有相同的特征指數(shù)α、分散系數(shù)為γx(n)的穩(wěn)定有色噪聲。

當滿足條件1 ＜α ≤2 時，在差分方程式(8)的兩端分別取關(guān)于x(n－m)的共變函數(shù)，可以得到:

可以得到:

即

式中:λu(n)x(n－m)為u(n)和x(n－m)的共變系數(shù)，記為λux(m);λx(n)x(n－m)為x(n)的自共變系數(shù)，記為λ(m)。

共變系數(shù)λux(m)和濾波器的脈沖響應(yīng)相關(guān)，可得

上式最后一步利用了共變的偽線性。u(n)是穩(wěn)定白噪聲，滿足如下條件:

結(jié)合式(12)、式(14)～式(16)可得:

因此，對于一個SαSAR(P)過程，自共變系數(shù)存在如下關(guān)系:

SαSAR(P)參數(shù)矢量a 可以通過求解Yule-Walker 方程組得到。

將使用自共變系數(shù)描述的Yule-Walker 方程稱為廣義(或分數(shù)低階)Yule-Walker 方程，記為Ca=p。穩(wěn)定白噪聲離差γu(n)的估計值^γu(n)可以用下面的等式計算得到:

對于高斯過程而言，自共變系數(shù)矩陣C 是對稱和正定的。但對于非高斯過程而言，C 通常是非對稱，甚至是奇異的。

3 自共變系數(shù)的估計

基于廣義Yule-Walker 方程頻譜估計算法的性能除了取決于算法本身，自共變系數(shù)λ(i)的估計也至關(guān)重要。在實際應(yīng)用中，需要根據(jù)觀測樣本值估計自共變系數(shù)矩陣C和加權(quán)矢量p，即需要估計自共變系數(shù)λ(i)［2］。

對于任何1 ≤p ＜α，聯(lián)合α 穩(wěn)定分布隨機變量X和Y 的共變系數(shù)可定義如下:

對于獨立觀測值(X1，Y1)，…，(XN，YN)，共變系數(shù)的估計值如下式所示:

為了簡化計算量，可以令p=1，于是得到:

如果觀測值獨立，則上式一致收斂。然而，對于AR 過程，其輸出序列并不滿足獨立性，但FLOM估計依然滿足一致收斂［1］。在實際應(yīng)用中，對于FLOM 估計，只需將式(22)和式(23)分別作如下改寫:

4 預(yù)白化濾波及實驗數(shù)據(jù)檢驗

在實際的主動信號檢測中，往往采用滑動窗技術(shù)，對每次的窗內(nèi)數(shù)據(jù)進行“譜估計→預(yù)白化→檢測處理”。預(yù)白化濾波器的構(gòu)建基于譜估計，得到AR 參數(shù)估計后，即可基于該估計建立起預(yù)白化濾波器。

顯然，這是具有MA 結(jié)構(gòu)的濾波器。它可以從觀測樣本序列{xn}估計出激勵序列{un}，式(27)亦被稱為激勵估計器。一般來說，AR 濾波有時亦被看作基于前P 個的觀測樣點預(yù)測當前樣點的線性預(yù)測器，這樣{un}亦是預(yù)測誤差，該式又被稱為線性預(yù)測誤差估計器。

使用［0601 三亞海試］中一段基元級混響數(shù)據(jù)，發(fā)射信號為800 ～1 000 Hz 的HFM 脈沖，脈寬為4 s，采樣頻率為6 kHz。帶通濾波已向發(fā)射通帶兩端各擴展50 Hz，即為750 ～1 050 Hz。數(shù)據(jù)長度與脈寬同長。使用廣義Yule-Walker 方程算法對其進行AR(256)譜估計和預(yù)白化處理，設(shè)定p=1，處理結(jié)果如圖1所示。由圖1(b)可以看到，在全帶內(nèi)，觀測樣本擬合CS 曲線與觀測樣本統(tǒng)計CS 曲線重合得很好，經(jīng)過預(yù)白濾波后，通帶內(nèi)成功實現(xiàn)了白化。

圖1 一段海試數(shù)據(jù)預(yù)白化前后的CSFig.1 Covariation spectrum of a segment of sea trial data before and after prewhitened

需要指出的是，對于AR 模型階數(shù)P 的選擇目前尚無有效的定階方法，因此在實際應(yīng)用中，一般是憑借經(jīng)驗來指定AR 模型的階數(shù)。在數(shù)據(jù)有效長度損失和運算時長允許的范圍內(nèi)，為了達到理想的預(yù)白效果，通常將階數(shù)指定的偏高一些。

5 結(jié) 語

本文主要研究基于分數(shù)低階統(tǒng)計量AR 模型參數(shù)的估計方法。首先，介紹共變譜、α 譜的概念以及穩(wěn)定白噪聲的判別準則，并采用實際海試數(shù)據(jù)檢驗分析了共變譜的性能;討論一種基于α 譜的頻域廣義白化濾波方法。然后，從α 譜的角度出發(fā)，推導出基于自共變系數(shù)的廣義Yule-Walker 方程。通過仿真深入討論了基于廣義Yule-Walker 方程頻譜估計算法中，各參數(shù)對算法性能的影響。

本文第2 個主要研究內(nèi)容是基于譜估計的預(yù)白化技術(shù)。對于AR 模型擬合的有色數(shù)據(jù)而言，預(yù)白實際上就是一個基于各AR 參數(shù)估計建立起來的MA濾波，亦即AR 激勵估計，只要模型參數(shù)估計足夠準確，就能得到理想的預(yù)白效果。采用大量水池實驗、湖試、海試實際數(shù)據(jù)，考察了分數(shù)低階白化濾波器的性能。

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