交通流量分析中的線性代數(shù)

白梅花

摘 要：本文給出了線性代數(shù)在交通流量問題中的應(yīng)用實(shí)例，使得線性代數(shù)基本概念及理論更易于理解和掌握。

關(guān)鍵詞：線性代數(shù) 交通流量 應(yīng)用

中圖分類號(hào)：G642 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1672-3791（2014）09（b）-0145-01

線性代數(shù)是數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支，其理論性強(qiáng)，計(jì)算繁瑣，但是它廣泛應(yīng)用于社會(huì)生活各個(gè)領(lǐng)域。如在交通流量統(tǒng)計(jì)問題；人員流動(dòng)，金融公司的現(xiàn)金流動(dòng)問題；圖像的代數(shù)重建問題；信息加密解密問題；平衡價(jià)格問題等等都應(yīng)用到線性代數(shù)的知識(shí)來解決。為激發(fā)學(xué)生強(qiáng)大的學(xué)習(xí)興趣和學(xué)習(xí)積極性，在線性代數(shù)課堂教學(xué)中多插入些實(shí)際應(yīng)用例子或應(yīng)用背景來講解和解釋線性代數(shù)的重要理論和重要概念是線性代數(shù)目前的重要教學(xué)目標(biāo)。下面以交通流量分析問題為例認(rèn)識(shí)線性代數(shù)中的重要內(nèi)容——線性方程組及其相關(guān)概念。

1 交通流量分析問題

現(xiàn)代城市道路網(wǎng)錯(cuò)綜復(fù)雜，車流量非常的大，交通狀況不容樂觀。因此對(duì)每條道路、每個(gè)交叉路口的車流量統(tǒng)計(jì)調(diào)查是分析、評(píng)價(jià)及改善城市交通狀況的基礎(chǔ)。根據(jù)實(shí)際車流量信息可以設(shè)計(jì)流量控制方案，必要時(shí)設(shè)置單行線，以免大量車輛長(zhǎng)時(shí)間擁堵。

實(shí)例：如下圖1所示，給出了某城市單行線圖，其中的數(shù)字表示該路段每小時(shí)按箭頭方向行駛的車流量，流量單位為：輛。

問：圖1中的四個(gè)未知量都需要統(tǒng)計(jì)嗎？由線性代數(shù)中的線性方程組可否解決此問題？

解：假設(shè)每個(gè)交叉路口進(jìn)入和離開的車輛數(shù)目一樣，則根據(jù)圖1，在①，②，③， ④四個(gè)路口進(jìn)出車輛數(shù)目分別滿足：

上述等式整理可得有四個(gè)未知量四個(gè)方程的非齊次線性方程組：

（1）由于<4，因此建立的線性方程組有無窮多個(gè)解，實(shí)際中想要唯一確定未知流量，只要增加x4統(tǒng)計(jì)的值即可確定。

（2）由增廣陣（A，b）的行最簡(jiǎn)形可見，，即秩為3，說明上述方程組中有一個(gè)方程是多余的，如上表達(dá)式可看到最后一個(gè)方程是多余的，這意味著最后一個(gè)方程中的數(shù)據(jù)30可以不用統(tǒng)計(jì)。

（3）由解的向量形式：

，可看到方程組的一個(gè)特解為：，對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組的解空間的結(jié)構(gòu)：空間秩為1，其中一個(gè)基礎(chǔ)解析為：。

（4）解當(dāng)中的自由未知量也可以是除外其它都可以，即解可表示為：

這就是說x1，x2，x3，x4這四個(gè)未知量中，任意一個(gè)未知量的值統(tǒng)計(jì)出來之后都可以確定出其他三個(gè)未知量的值。另外從上式還可看到建立的非齊次方程組的特解不唯一，如也可選擇：，為其特解都是可以的，同時(shí)注意到對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組的解空間的基礎(chǔ)解析也是不唯一的，如我們可選擇與：無關(guān)的解空間的任何向量都可以為其基礎(chǔ)解析。

2 結(jié)語(yǔ)

本文列舉了簡(jiǎn)單的交通流量分析實(shí)例，而這個(gè)實(shí)例用線性代數(shù)基本知識(shí)很容易就能解決。在線性代數(shù)的教學(xué)過程中經(jīng)常舉些應(yīng)用例子的好處是，能引起學(xué)生對(duì)線性代數(shù)的學(xué)習(xí)興趣，能使學(xué)生易于理解和掌握其基本概念及理論，達(dá)到與后續(xù)課程的銜接。

參考文獻(xiàn)

[1] 同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.工程數(shù)學(xué).線性代數(shù)[M].5版.北京：高等教育出版社，2007，5.

[2] 何良材，李新.線性代數(shù)[M].重慶：重慶大學(xué)出版社，2007，10.

[3] 陳懷琛，高淑萍.工程線性代數(shù)（MATL AB版）[M].北京：電子工業(yè)出版社，2007，7.endprint

摘 要：本文給出了線性代數(shù)在交通流量問題中的應(yīng)用實(shí)例，使得線性代數(shù)基本概念及理論更易于理解和掌握。

關(guān)鍵詞：線性代數(shù) 交通流量 應(yīng)用

中圖分類號(hào)：G642 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1672-3791（2014）09（b）-0145-01

線性代數(shù)是數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支，其理論性強(qiáng)，計(jì)算繁瑣，但是它廣泛應(yīng)用于社會(huì)生活各個(gè)領(lǐng)域。如在交通流量統(tǒng)計(jì)問題；人員流動(dòng)，金融公司的現(xiàn)金流動(dòng)問題；圖像的代數(shù)重建問題；信息加密解密問題；平衡價(jià)格問題等等都應(yīng)用到線性代數(shù)的知識(shí)來解決。為激發(fā)學(xué)生強(qiáng)大的學(xué)習(xí)興趣和學(xué)習(xí)積極性，在線性代數(shù)課堂教學(xué)中多插入些實(shí)際應(yīng)用例子或應(yīng)用背景來講解和解釋線性代數(shù)的重要理論和重要概念是線性代數(shù)目前的重要教學(xué)目標(biāo)。下面以交通流量分析問題為例認(rèn)識(shí)線性代數(shù)中的重要內(nèi)容——線性方程組及其相關(guān)概念。

1 交通流量分析問題

現(xiàn)代城市道路網(wǎng)錯(cuò)綜復(fù)雜，車流量非常的大，交通狀況不容樂觀。因此對(duì)每條道路、每個(gè)交叉路口的車流量統(tǒng)計(jì)調(diào)查是分析、評(píng)價(jià)及改善城市交通狀況的基礎(chǔ)。根據(jù)實(shí)際車流量信息可以設(shè)計(jì)流量控制方案，必要時(shí)設(shè)置單行線，以免大量車輛長(zhǎng)時(shí)間擁堵。

實(shí)例：如下圖1所示，給出了某城市單行線圖，其中的數(shù)字表示該路段每小時(shí)按箭頭方向行駛的車流量，流量單位為：輛。

問：圖1中的四個(gè)未知量都需要統(tǒng)計(jì)嗎？由線性代數(shù)中的線性方程組可否解決此問題？

解：假設(shè)每個(gè)交叉路口進(jìn)入和離開的車輛數(shù)目一樣，則根據(jù)圖1，在①，②，③， ④四個(gè)路口進(jìn)出車輛數(shù)目分別滿足：

上述等式整理可得有四個(gè)未知量四個(gè)方程的非齊次線性方程組：

（1）由于<4，因此建立的線性方程組有無窮多個(gè)解，實(shí)際中想要唯一確定未知流量，只要增加x4統(tǒng)計(jì)的值即可確定。

（2）由增廣陣（A，b）的行最簡(jiǎn)形可見，，即秩為3，說明上述方程組中有一個(gè)方程是多余的，如上表達(dá)式可看到最后一個(gè)方程是多余的，這意味著最后一個(gè)方程中的數(shù)據(jù)30可以不用統(tǒng)計(jì)。

（3）由解的向量形式：

，可看到方程組的一個(gè)特解為：，對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組的解空間的結(jié)構(gòu)：空間秩為1，其中一個(gè)基礎(chǔ)解析為：。

（4）解當(dāng)中的自由未知量也可以是除外其它都可以，即解可表示為：

這就是說x1，x2，x3，x4這四個(gè)未知量中，任意一個(gè)未知量的值統(tǒng)計(jì)出來之后都可以確定出其他三個(gè)未知量的值。另外從上式還可看到建立的非齊次方程組的特解不唯一，如也可選擇：，為其特解都是可以的，同時(shí)注意到對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組的解空間的基礎(chǔ)解析也是不唯一的，如我們可選擇與：無關(guān)的解空間的任何向量都可以為其基礎(chǔ)解析。

2 結(jié)語(yǔ)

本文列舉了簡(jiǎn)單的交通流量分析實(shí)例，而這個(gè)實(shí)例用線性代數(shù)基本知識(shí)很容易就能解決。在線性代數(shù)的教學(xué)過程中經(jīng)常舉些應(yīng)用例子的好處是，能引起學(xué)生對(duì)線性代數(shù)的學(xué)習(xí)興趣，能使學(xué)生易于理解和掌握其基本概念及理論，達(dá)到與后續(xù)課程的銜接。

參考文獻(xiàn)

[1] 同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.工程數(shù)學(xué).線性代數(shù)[M].5版.北京：高等教育出版社，2007，5.

[2] 何良材，李新.線性代數(shù)[M].重慶：重慶大學(xué)出版社，2007，10.

[3] 陳懷琛，高淑萍.工程線性代數(shù)（MATL AB版）[M].北京：電子工業(yè)出版社，2007，7.endprint

摘 要：本文給出了線性代數(shù)在交通流量問題中的應(yīng)用實(shí)例，使得線性代數(shù)基本概念及理論更易于理解和掌握。

關(guān)鍵詞：線性代數(shù) 交通流量 應(yīng)用

中圖分類號(hào)：G642 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1672-3791（2014）09（b）-0145-01

線性代數(shù)是數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支，其理論性強(qiáng)，計(jì)算繁瑣，但是它廣泛應(yīng)用于社會(huì)生活各個(gè)領(lǐng)域。如在交通流量統(tǒng)計(jì)問題；人員流動(dòng)，金融公司的現(xiàn)金流動(dòng)問題；圖像的代數(shù)重建問題；信息加密解密問題；平衡價(jià)格問題等等都應(yīng)用到線性代數(shù)的知識(shí)來解決。為激發(fā)學(xué)生強(qiáng)大的學(xué)習(xí)興趣和學(xué)習(xí)積極性，在線性代數(shù)課堂教學(xué)中多插入些實(shí)際應(yīng)用例子或應(yīng)用背景來講解和解釋線性代數(shù)的重要理論和重要概念是線性代數(shù)目前的重要教學(xué)目標(biāo)。下面以交通流量分析問題為例認(rèn)識(shí)線性代數(shù)中的重要內(nèi)容——線性方程組及其相關(guān)概念。

1 交通流量分析問題

現(xiàn)代城市道路網(wǎng)錯(cuò)綜復(fù)雜，車流量非常的大，交通狀況不容樂觀。因此對(duì)每條道路、每個(gè)交叉路口的車流量統(tǒng)計(jì)調(diào)查是分析、評(píng)價(jià)及改善城市交通狀況的基礎(chǔ)。根據(jù)實(shí)際車流量信息可以設(shè)計(jì)流量控制方案，必要時(shí)設(shè)置單行線，以免大量車輛長(zhǎng)時(shí)間擁堵。

實(shí)例：如下圖1所示，給出了某城市單行線圖，其中的數(shù)字表示該路段每小時(shí)按箭頭方向行駛的車流量，流量單位為：輛。

問：圖1中的四個(gè)未知量都需要統(tǒng)計(jì)嗎？由線性代數(shù)中的線性方程組可否解決此問題？

解：假設(shè)每個(gè)交叉路口進(jìn)入和離開的車輛數(shù)目一樣，則根據(jù)圖1，在①，②，③， ④四個(gè)路口進(jìn)出車輛數(shù)目分別滿足：

上述等式整理可得有四個(gè)未知量四個(gè)方程的非齊次線性方程組：

（1）由于<4，因此建立的線性方程組有無窮多個(gè)解，實(shí)際中想要唯一確定未知流量，只要增加x4統(tǒng)計(jì)的值即可確定。

（2）由增廣陣（A，b）的行最簡(jiǎn)形可見，，即秩為3，說明上述方程組中有一個(gè)方程是多余的，如上表達(dá)式可看到最后一個(gè)方程是多余的，這意味著最后一個(gè)方程中的數(shù)據(jù)30可以不用統(tǒng)計(jì)。

（3）由解的向量形式：

，可看到方程組的一個(gè)特解為：，對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組的解空間的結(jié)構(gòu)：空間秩為1，其中一個(gè)基礎(chǔ)解析為：。

（4）解當(dāng)中的自由未知量也可以是除外其它都可以，即解可表示為：

這就是說x1，x2，x3，x4這四個(gè)未知量中，任意一個(gè)未知量的值統(tǒng)計(jì)出來之后都可以確定出其他三個(gè)未知量的值。另外從上式還可看到建立的非齊次方程組的特解不唯一，如也可選擇：，為其特解都是可以的，同時(shí)注意到對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組的解空間的基礎(chǔ)解析也是不唯一的，如我們可選擇與：無關(guān)的解空間的任何向量都可以為其基礎(chǔ)解析。

2 結(jié)語(yǔ)

本文列舉了簡(jiǎn)單的交通流量分析實(shí)例，而這個(gè)實(shí)例用線性代數(shù)基本知識(shí)很容易就能解決。在線性代數(shù)的教學(xué)過程中經(jīng)常舉些應(yīng)用例子的好處是，能引起學(xué)生對(duì)線性代數(shù)的學(xué)習(xí)興趣，能使學(xué)生易于理解和掌握其基本概念及理論，達(dá)到與后續(xù)課程的銜接。

參考文獻(xiàn)

[1] 同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.工程數(shù)學(xué).線性代數(shù)[M].5版.北京：高等教育出版社，2007，5.

[2] 何良材，李新.線性代數(shù)[M].重慶：重慶大學(xué)出版社，2007，10.

[3] 陳懷琛，高淑萍.工程線性代數(shù)（MATL AB版）[M].北京：電子工業(yè)出版社，2007，7.endprint