基于LM的電阻抗成像的圖像重建算法

陸鑫 （北京航空航天大學(xué)北海學(xué)院軟件與信息工程學(xué)院，廣西 北海536000）

電阻抗成像（Electrical impedance tomography，EIT）技術(shù)，是一項新興的圖像重建技術(shù)［1］。該技術(shù)要求在物體表面布上一層或者一圈電極，通過邊緣注入電流時觀察各個方向的電勢情況，進行物體內(nèi)部圖像重建。與其他的醫(yī)學(xué)成像方式比較而言，EIT技術(shù)具有成像的空間分辨率低但時間分辨率高的特點，可以在醫(yī)學(xué)上用于腫瘤、骨傷、中風(fēng)等傷情的監(jiān)控［2］。

1 EIT問題的基本模型

EIT問題自70年代研究以來，已經(jīng)提出許多圖像重建算法［3－5］。

在磁場內(nèi)部，由于生物組織磁導(dǎo)率低，所以磁場效應(yīng)可以忽略不計，根據(jù)MaxWell方程及歐姆定律，可得出如下描述：

式中，ρ為電阻率分布函數(shù)；φ為電位分布；J為邊界電流密度函數(shù)。由于生物組織內(nèi)部無電流通過，故：

由式（2）可以得到生物內(nèi)部電阻率與電位分布的關(guān)系：

該微分方程需滿足的Dirichlet邊界條件：

式中，Ω為物體所在的空間區(qū)域。

對于有電流注入的電極，Neumann邊界條件為：

式（3）、（4）、（5）構(gòu)成了EIT問題的基本模型［6］。

2 EIT問題的求解算法

2.1 LM反問題求解法

由問題（3）～（5）可知，求解電阻率分布函數(shù)ρ是一個非線性的反問題。由于非線性反問題的Tikhonov泛函不嚴(yán)格凸，且非線性算子不可微等，因此無法繼續(xù)使用線性反問題使用的正則化方法。該問題可以用以下形式描述：

式中，F(xiàn)為ρ→V的非線性算子，并且ρ和V都屬于Hilbert空間。

然而，在真正的EIT試驗中，該方程往往是不適定的，測得的數(shù)據(jù)V往往帶有擾動誤差，筆者用δ表示，滿足‖V－Vδ‖≤δ。為了找到解使得‖F(xiàn)（ρ＊）－Vδ‖，ρ∈Ρ取到最小值，筆者使用Levenberg－Marpuardt（LM）方法解決。

1）線性化。取其中的一個點的值為ρδk，在此基礎(chǔ)上，將F（ρ）＝V線性化得到：

2）正則化。為了解決線性化后不適定的問題，筆者使用正則化。該問題可以描述成式（8）的形式，并且要解得其最小解：

通過式（8）可以得到LM方法的迭代函數(shù)：

式中，αn是LM方法的調(diào)節(jié)因子。

2.2 負(fù)梯度算法

求解EIT電阻率分布函數(shù)問是一個多維無約束問題，可應(yīng)用多維無約束優(yōu)化方法。負(fù)梯度算法的過程如下：在初步測量時取出數(shù)據(jù)ρ（k），一維尋優(yōu)解的方向為s，根據(jù)負(fù)梯度方向為－▽f（ρ（k））進行迭代：

用φ（ρ）來表示函數(shù)表達(dá)式（10）的目標(biāo)函數(shù)，根據(jù)函數(shù)（12）的求導(dǎo)結(jié)果，可以計算出步長αk：

通過求極值點可以得到α的值，再將該值引入到下一輪尋優(yōu)中。其收斂精度為：

在實際構(gòu)圖的過程中，筆者發(fā)現(xiàn)原始的LM算法收斂速度較為穩(wěn)定，雖然它與非線性最小二乘問題的高斯－牛頓算法都被認(rèn)為是解決EIT問題的有效方法之一，但是實際的圖像重建中效果并不理想。負(fù)梯度算法的收斂圖像存在鋸齒現(xiàn)象，雖然在開始的迭代中收斂速度很快，但是靠近極小值時收斂速度較慢。

3 基于負(fù)梯度法的LM算法

考慮到LM算法以及負(fù)梯度算法的各自優(yōu)缺點，筆者采用負(fù)梯度算法與LM算法的聯(lián)合算法。在EIT計算中前期可以用負(fù)梯度法迭代，提高收斂速度，后期使用LM算法，保證收斂的精準(zhǔn)。對于負(fù)梯度算法，筆者給出一個收斂最小值ε用以控制迭代精度。

下面給出基于負(fù)梯度法的LM算法的具體流程：

1）取定ρ0，測得邊緣電壓V，邊界電流分布J。設(shè)置負(fù)梯度算法迭代收斂最小值ε，LM算法結(jié)束閥值εlm，n為迭代次數(shù)。

2）取ρk初值為ρ0，設(shè)定初值αk。

3）根據(jù)式（11）、（12）計算ρk＋1。

4）令φ′（α）＝0，解得最優(yōu)步長αk。

5）檢驗是否▽f（ρk）＞ε，若是轉(zhuǎn)2）。

6）令ρn＝ρk，引入擾動算子后ρδn。

7）求解Φ（ρ，ρδn）的極小值，依據(jù)式（8）、（9）計算出ρδn－1。

8）檢驗是否αn＞εlm，若是轉(zhuǎn)7）。

9）完整算法結(jié)束，得出最優(yōu)解ρ。

4 Matlab試驗及結(jié)果分析

在該網(wǎng)格建立的試驗中，網(wǎng)格數(shù)量為2000個，節(jié)點數(shù)量為1000，如圖1所示。在模擬的區(qū)域的中下方放置了一塊圓形塊狀區(qū)域，用作模擬測試。圖2為負(fù)梯度法的重建結(jié)果，圖3為LM迭代算法的重建結(jié)果，圖4為基于負(fù)梯度法的LM算法的圖像重建結(jié)果。

圖1 建立網(wǎng)格的圖像

圖2 基于負(fù)梯度法重建的圖像

圖3 基于LM迭代法重建的圖像

圖4 基于負(fù)梯度法的LM迭代法重建的圖像

圖5 網(wǎng)格內(nèi)放置物體的模擬圖

與圖5的原始放置物體的模擬圖相比，顯而易見，負(fù)梯度法圖像失真最大，而基于負(fù)梯度法的LM算法最為靠近真實情況。

5 結(jié)語

研究并總結(jié)了負(fù)梯度法以及LM迭代算法，并提出了將負(fù)梯度法與LM迭代算法的結(jié)合算法。該結(jié)合算法具有一定的優(yōu)化效果，改善求解問題的病態(tài)，但是在現(xiàn)實中應(yīng)用電阻抗成像技術(shù)時仍存在許多難點與挑戰(zhàn)，如圖像分辨率不夠高，重建過程時間長等問題。由于該技術(shù)還不夠成熟，現(xiàn)有的條件還不可能讓電阻抗成像技術(shù)能在臨床醫(yī)學(xué)上取代CT、MRI等傳統(tǒng)技術(shù)。在該問題的進一步研究中，還需要國內(nèi)外學(xué)者付出巨大的努力。

［1］ 董秀珍 .生物電阻抗成像研究的現(xiàn)狀與挑戰(zhàn) ［J］.中國生物醫(yī)學(xué)工程學(xué)報，2008，27（5）：641－646.

［2］ Bayford R.Bioimpedance tomography（Electrical impedance tomography） ［J］.Annual Review of Biomedical Engineering，2006，8：63－91.

［3］ Weberster J G.Electrical Impedance Tomography ［M］.Adam Hilger，Bristol and New York，1990：97－137.

［4］ Yorkey T J，Webster J G，Tompkins W J.Comparing reconstruction algorithm for electrical impedance tomography ［J］.IEEE Trans Biomed Eng，1987，34（11）：843－852.

［5］ Woo E J，Hua P，Webster J G，et al.A Robust image reconstruction algorithm for electrical impedance tomography ［J］.IEEE Trans Med Imaging，1993，12（2），137－146.

［6］ 杜巖，程吉寬，柳重堪 .用組合變尺度法求解電阻抗成像問題 ［J］.中國生物醫(yī)學(xué)工程學(xué)報，1997（2）：18－20.