時(shí)間序列長度對(duì)基于ARIMA模型的月徑流預(yù)報(bào)效果的影響分析

徐敏 （武漢大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，湖北 武漢430072）

謝倩倩 （武漢大學(xué)深圳研究院，廣東 深圳518057）

水文預(yù)報(bào)是現(xiàn)代水文科學(xué)的一個(gè)重要分支，其中徑流預(yù)報(bào)是水文學(xué)研究的重點(diǎn)，即根據(jù)已有資料建立較準(zhǔn)確反映時(shí)間序列中包含的動(dòng)態(tài)依存關(guān)系的隨機(jī)模型，進(jìn)而對(duì)徑流未來狀態(tài)及變化做出預(yù)報(bào)。時(shí)間序列分析是水文預(yù)報(bào)的一個(gè)重要工具，其中Box等提出的一類有限參數(shù)型線性時(shí)間序列預(yù)測模型（Autoregressive Integrated Moving Average，ARIMA）可用于時(shí)間序列分析，由于具有簡單性、可行性和對(duì)水文序列趨勢的預(yù)測準(zhǔn)確率較高的特性，其在水文預(yù)報(bào)領(lǐng)域有著廣闊的應(yīng)用前景［1］。在實(shí)際研究中，由于資料獲取方面的限制，某些河段只有二三十年的月數(shù)據(jù)，在這種情況下能否建立可靠的ARIMA模型還需要深入探討。目前，針對(duì)歷史觀測資料時(shí)間序列長度不足是否會(huì)產(chǎn)生預(yù)報(bào)誤差鮮有報(bào)道。為此，筆者基于ARIMA模型，以宜昌水文站逐月徑流量為例，分析時(shí)間序列長度對(duì)基于ARIMA模型的月徑流預(yù)報(bào)效果的影響，以便為水文預(yù)報(bào)提供參考。

1 ARIMA模型概述

ARIMA模型（Autoregressive Moving Average，求和自回歸滑動(dòng)平均模型）定義如下［2］：如果一個(gè)序列｛Xt｝經(jīng)過d階差分運(yùn)算后為平穩(wěn)序列，而且能用ARMA模型進(jìn)行平穩(wěn)序列建模，則稱｛Xt｝的模型結(jié)構(gòu)為求和自回歸滑動(dòng)平均模型，簡稱了ARIMA（p，d，q），其具體表達(dá)式如下：

式中，p和q分別為模型的自回歸（AR）階數(shù)和滑動(dòng)平均（MA）階數(shù)；φ（B）＝1－φ1B－φ2B2－…－φpBp和θ（B）＝1－θ1B－θ2B2－…θqBq分別為自回歸算子和滑動(dòng)平均算子。

2 月徑流ARIMA模型的建立

1）序列的去季節(jié)化 水文時(shí)間序列由于受季節(jié)因素的影響較大，表現(xiàn)出較強(qiáng)的季節(jié)變化特征，其季節(jié)均值作為確定性成分對(duì)預(yù)報(bào)有積極的作用。為此，采用剔除季節(jié)因素的方法將序列季節(jié)標(biāo)準(zhǔn)化，建立排除季節(jié)相關(guān)性影響的ARIMA模型。對(duì)于月徑流數(shù)據(jù)的去季節(jié)化處理可表示如下：

式中，r表示年份；m表示月份；μm、σm分別表示第m個(gè)月的月均值和標(biāo)準(zhǔn)差；xr，m表示第r年m月的月徑流；yr，m表示去季節(jié)化后的結(jié)果。

2）數(shù)據(jù)的平穩(wěn)化處理 非平穩(wěn)序列經(jīng)過差分提取確定性信息后，可以顯示出平穩(wěn)序列的性質(zhì)，具體處理方法如下：對(duì)原數(shù)據(jù)分別作j次（j＝1，2，…，d）差分，綜合分析其樣本自相關(guān)函數(shù)和偏自相關(guān)函數(shù)的截尾性或拖尾性來確定差分次數(shù)。對(duì)差分后的序列要進(jìn)行平穩(wěn)性檢驗(yàn)，基本方法包括ADF檢驗(yàn)和 PP檢驗(yàn)［3］。

3）模型的識(shí)別和參數(shù)估計(jì) ARIMA模型的階數(shù)p、q可通過樣本自相關(guān)和偏自相關(guān)函數(shù)圖來初步確定范圍，再根據(jù)AIC準(zhǔn)則和BIC準(zhǔn)則選定使準(zhǔn)則函數(shù)最小的模型為相對(duì)最優(yōu)模型［1］。模型參數(shù)的估計(jì)一般采用極大似然估計(jì)法［4］，該方法利用了每一個(gè)觀察值所提供的信息，估計(jì)精度高，且具有一致性的特點(diǎn)。

4）模型診斷檢驗(yàn) 經(jīng)過模型識(shí)別和參數(shù)估計(jì)后，還要對(duì)模型進(jìn)行診斷性檢驗(yàn)。一般通過對(duì)殘差序列相關(guān)性的檢驗(yàn)來進(jìn)行判斷，其中Ljung－Box方法是檢驗(yàn)序列相關(guān)性的常用方法。Ljung－Box方法的原假設(shè)如下［2］：序列是序列m階不相關(guān)，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量記為LB，可表示如下：

當(dāng)給定置信水平1－α，若LB＜χ21－α（m－p－q），則接受原假設(shè)，認(rèn)為模型通過診斷檢驗(yàn)。

5）預(yù)報(bào)及預(yù)報(bào)效果評(píng)價(jià) 基于ARIMA模型進(jìn)行月徑流預(yù)報(bào)，一般采用線性最小方差預(yù)測的方法比較符合預(yù)報(bào)流域水文特性。水文序列未來某月的徑流預(yù)報(bào)值等于季節(jié)均值加上由ARIMA模型預(yù)測的值。為了比較同類預(yù)測方法的時(shí)間序列長度對(duì)預(yù)測效果的影響，引入常用的預(yù)測效果評(píng)價(jià)指標(biāo)如下［5］（設(shè)真實(shí)值xT＋1，xT＋2，…，xT＋l的預(yù)測值為l為預(yù)測長度，T 表示一段時(shí)間序列的開始時(shí)刻，為實(shí)測值的均值）。

①均方根誤差（Root Mean Square Error）：

②絕對(duì)誤差平均（Mean Absolute Error）：

③相對(duì)誤差絕對(duì)值平均（Mean Absolute Percentage Error）：

④正則均方誤差（Normalised Mean Square Error）：

式中，σ為｛xt｝Tt＝1的標(biāo)準(zhǔn)差。

⑤確定性系數(shù)，預(yù)報(bào)值與實(shí)測值之間的吻合程度可用確定性系數(shù)作為指標(biāo)，按下式計(jì)算：

3 實(shí)例分析

宜昌水文站位于湖北省宜昌市境內(nèi)，是長江三峽的出口控制站，控制流域面積100.55×104km2，占全流域面積的55%。根據(jù)宜昌水文站52年（1949～2001年）624個(gè)月徑流數(shù)據(jù)，分析時(shí)間序列從2年，3年，…，52年的逐年長度變化對(duì)2001年的月徑流預(yù)報(bào)效果的影響（以相對(duì)誤差不超過20%為合格，月徑流單位 m3／s）。

分析宜昌水文站多年月平均徑流量曲線圖（見圖1），可以看出月徑流幅度變化較大，可分為汛期和非汛期月份（6月份到10月份為汛期，7月份達(dá)到洪峰值），其中非汛期徑流量較為平穩(wěn)，變化不大。

通過平穩(wěn)性檢驗(yàn)和模型識(shí)別，根據(jù)AIC準(zhǔn)則分別對(duì)1949～2000年，1950～2000年，…，1998～2000年共50組不同長度的歷史月徑流數(shù)據(jù)擬合適當(dāng)階數(shù)模型，并用極大似然估計(jì)法進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，模型通過診斷檢驗(yàn)后再利用最小方差預(yù)測得到50組不同的2001年逐月徑流數(shù)據(jù)的預(yù)報(bào)值。圖2所示為預(yù)報(bào)結(jié)果的相對(duì)誤差隨時(shí)間序列長度的變化情況。

圖1 宜昌水文站多年月平均徑流量和預(yù)報(bào)年2001年的月平均徑流量實(shí)測值曲線圖

由于異常氣象因素等不確定因素的影響，徑流預(yù)報(bào)出現(xiàn)誤差是不可避免的，根據(jù)徑流業(yè)務(wù)預(yù)報(bào)精度評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)，允許預(yù)報(bào)數(shù)值與實(shí)際值存在偏差：非汛期（11月至翌年5月）預(yù)報(bào)的相對(duì)誤差 ，汛期（6月至10月）預(yù)報(bào)的相對(duì)誤差 。從圖2可以看出，在所預(yù)報(bào)的2001年月平均徑流量中，預(yù)測的相對(duì)誤差超過20%的僅有7月份。根據(jù)2001年湖北省水資源公報(bào)可知，2001年7月份由于氣象因素異常，該月降水量出現(xiàn)異常，2001年湖北大部分地區(qū)出現(xiàn)汛期干旱，宜昌市降水量比常年偏少24.5%，與2000年比較減少30.51%，從而引起洪峰量異常。由于預(yù)報(bào)年7月份受降水異常的影響較強(qiáng)，因而不對(duì)7月份的預(yù)報(bào)效果進(jìn)行分析。

根據(jù)水文情報(bào)規(guī)范，作業(yè)預(yù)報(bào)按每次預(yù)報(bào)誤差的大小分為4個(gè)等級(jí)（許可誤差可取20%的相對(duì)誤差）：優(yōu)（預(yù)報(bào)誤差在許可誤差的25%以下，即在相對(duì)誤差的5%以內(nèi)）；良（預(yù)報(bào)誤差在許可誤差的25%～50%，即在相對(duì)誤差的5%～10%）；合格（預(yù)報(bào)誤差在許可誤差的50%～100%，即在相對(duì)誤差的10%～20%）；不合格（預(yù)報(bào)誤差大于許可誤差，即相對(duì)誤差大于20%）。

1）1月份、2月份、11月份、12月份 所有時(shí)間序列長度的預(yù)報(bào)相對(duì)誤差均小于20%（基本穩(wěn)定在10%左右），表明預(yù)報(bào)等級(jí)為合格，且預(yù)測精度隨時(shí)間序列長度變化不大。

2）3月份 所有時(shí)間序列長度預(yù)報(bào)的相對(duì)誤差均小于10%，表明預(yù)報(bào)等級(jí)為良。同時(shí)，相對(duì)誤差隨樣本長度增加后的遞減趨勢較明顯，即在時(shí)間序列長度小于240的范圍內(nèi)，相對(duì)誤差在5%～10%；當(dāng)時(shí)間序列長度超過240時(shí)，相對(duì)誤差在5%以內(nèi)；當(dāng)時(shí)間序列長度大于336時(shí)，相對(duì)誤差基本小于1%，當(dāng)時(shí)間序列長度超過300時(shí)，相對(duì)誤差保持在0.5%。因此，時(shí)間序列長度取240以上時(shí)預(yù)報(bào)較為精確。

3）4月份 當(dāng)時(shí)間序列長度小于300時(shí)，相對(duì)誤差精度較不穩(wěn)定，在10%～20%的范圍內(nèi)上下浮動(dòng)，表明預(yù)報(bào)等級(jí)屬于合格；當(dāng)時(shí)間序列長度超過300時(shí)，相對(duì)誤差收斂于10%，表明預(yù)報(bào)等級(jí)屬于良。

4）5月份 時(shí)間序列長度小于400時(shí)，相對(duì)誤差在10%～20%內(nèi)波動(dòng)，表明預(yù)報(bào)等級(jí)屬于合格；時(shí)間序列長度大于400時(shí)，相對(duì)誤差穩(wěn)定在20%，尤其當(dāng)時(shí)間序列長度為24、36時(shí)，預(yù)測的相對(duì)誤差在5%，表明預(yù)報(bào)等級(jí)為優(yōu)，說明預(yù)報(bào)年2001年5月份的徑流量與近3年該月份徑流量高度相似。

5）6月份 預(yù)報(bào)情況較好，即相對(duì)誤差在10%以內(nèi)，尤其當(dāng)時(shí)間序列長度大于72以后，相對(duì)誤差在5%以內(nèi)。

6）8月份 除了時(shí)間序列長度為48、60、72以外（相對(duì)誤差分別達(dá)到36.2%，43.9%，37.5%），其余時(shí)間序列長度的相對(duì)誤差在20%以內(nèi)，表明預(yù)報(bào)等級(jí)為合格。

7）9月份 當(dāng)時(shí)間序列長度小于216時(shí)，預(yù)報(bào)效果不穩(wěn)定。當(dāng)時(shí)間序列長度大于216時(shí)，相對(duì)誤差基本穩(wěn)定在20%，表明預(yù)報(bào)等級(jí)為合格。

圖2 2001年各月預(yù)報(bào)相對(duì)誤差隨時(shí)間序列長度的變化曲線圖

8）10月份 當(dāng)時(shí)間序列長度小于200時(shí)，相對(duì)誤差精度較不穩(wěn)定，在10%～20%的范圍內(nèi)上下浮動(dòng)，表明預(yù)報(bào)等級(jí)屬于合格；當(dāng)時(shí)間序列長度超過200時(shí)，相對(duì)誤差收斂于10%，表明預(yù)報(bào)等級(jí)屬于良。

由圖3可知，預(yù)測效果評(píng)價(jià)指標(biāo)MAE、RMSE、MAPE、NMSE隨時(shí)間序列長度的增加呈現(xiàn)逐漸趨于穩(wěn)定狀態(tài)；當(dāng)時(shí)間序列長度大于200時(shí)，確定性系數(shù)DC基本穩(wěn)定在80%～90%，說明預(yù)報(bào)效果較好（見圖4），同時(shí)表明隨著時(shí)間序列長度的增加，預(yù)報(bào)效果逐漸穩(wěn)定下來。

圖3 預(yù)測效果評(píng)價(jià)指標(biāo)隨時(shí)間序列長度的變化曲線圖

4 結(jié)論

1）線性最小方差預(yù)測適合用于月徑流預(yù)報(bào)，尤其在非汛期的月徑流預(yù)報(bào)中有較高的準(zhǔn)確性。

2）隨時(shí)間序列長度的增加，預(yù)報(bào)值的相對(duì)誤差和預(yù)測評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)MAE、RMSE、MAPE、NMSE確定性系數(shù)逐漸趨于穩(wěn)定。月徑流數(shù)據(jù)量不足會(huì)對(duì)預(yù)報(bào)效果產(chǎn)生影響，總體而言，對(duì)非汛期月份的徑流預(yù)報(bào)影響較小，對(duì)汛期月份的徑流預(yù)報(bào)影響較大。

3）在月徑流數(shù)據(jù)量相同的條件下，非汛期月份較汛期月份的徑流預(yù)報(bào)效果要好（因?yàn)橹恍柘鄬?duì)較少的歷史觀測數(shù)據(jù)就能達(dá)到預(yù)報(bào)合格的標(biāo)準(zhǔn)），這表明對(duì)于不同月份來說，達(dá)到一定的預(yù)測效果對(duì)時(shí)間序列長度的要求是不同的。

圖4 確定性系數(shù)隨時(shí)間序列長度的變化曲線圖

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