復(fù)雜型腔環(huán)切拐角過(guò)渡刀軌生成技術(shù)

雷偉軍，程筱勝，戴 寧，郭保蘇

（南京航空航天大學(xué) 機(jī)電學(xué)院，江蘇 南京 210016）

0 引言

在模具、醫(yī)學(xué)修復(fù)體等各種表面形態(tài)復(fù)雜的零件中，型腔是一種常見(jiàn)的加工形狀，常采用數(shù)控銑削的方式進(jìn)行加工。對(duì)于型腔加工，生成合理的加工軌跡是保證加工質(zhì)量和提高加工效率的一個(gè)重要途徑。目前，常見(jiàn)的加工軌跡可分為線(xiàn)性走刀和非線(xiàn)性走刀。線(xiàn)性走刀主要包含單向行切和雙向行切，單向行切在加工過(guò)程中存在大量的跳刀，其中50%以上的路徑為非切削刀軌［1］，加工效率低；雙向行切雖然減少了來(lái)回跳刀的路徑長(zhǎng)度，但是在加工過(guò)程中采用往復(fù)的順逆銑，降低了模型的加工質(zhì)量和刀具壽命，不利于型腔的實(shí)際加工。在非線(xiàn)性走刀中，常見(jiàn)的有環(huán)切、螺旋線(xiàn)和擺線(xiàn)加工。螺旋線(xiàn)具有很好的光順軌跡，加工過(guò)程平穩(wěn)，適合高速銑削，但是螺旋線(xiàn)加工對(duì)加工輪廓形狀有一定要求，最好是近似圓形和單連通的區(qū)域，并不適合復(fù)雜型腔的銑削加工。而擺線(xiàn)加工雖能保證刀軌G1階連續(xù)，但是在加工過(guò)程中，刀具切削量少和刀軌路徑過(guò)長(zhǎng)，將影響整體的切削效率。環(huán)切加工由于加工軌跡連續(xù)，在加工過(guò)程中能夠一直保持順逆銑，切削效率和加工質(zhì)量高，對(duì)解決復(fù)雜型腔的加工不失為一種很好的策略。但是，由于型腔輪廓本身形狀和刀軌環(huán)在偏置中存在容易自交等因素，在生成的環(huán)切刀軌中普遍會(huì)產(chǎn)生一系列拐角，這些拐角在加工過(guò)程中會(huì)引起切削力大小和方向的突變，并帶來(lái)機(jī)床頻繁加減速等問(wèn)題，若不能有效處理這些環(huán)切拐角，將影響整體加工質(zhì)量和加工效率。為了在環(huán)切拐角處保證加工質(zhì)量并實(shí)現(xiàn)平穩(wěn)銑削，需要滿(mǎn)足［2-3］：①切削力在切削過(guò)程中均勻變化，且低于刀具的最大許可切削力；②在拐角處的刀具軌跡要保持光順連接，至少達(dá)到C1階連續(xù)；③拐角處無(wú)殘留量剩余；④加工過(guò)程中無(wú)多余空刀。若能在加工過(guò)程中滿(mǎn)足這些要求，則將極大地提高型腔拐角的加工質(zhì)量和加工效率，縮短整體加工時(shí)間，對(duì)型腔拐角加工具有很大的現(xiàn)實(shí)意義。

目前，對(duì)于環(huán)切拐角優(yōu)化的研究主要集中在以下兩個(gè)方面：

（1）從機(jī)床和運(yùn)動(dòng)學(xué)特性方面進(jìn)行優(yōu)化 張得禮［4］和何波［5］等考慮了機(jī)床的特性，為防止在拐角處發(fā)生過(guò)載，利用超前分析法和插入微小圓弧段的方法，提出多程序段的平滑算法，但是該方法難免會(huì)引起機(jī)床的頻繁加減速，對(duì)數(shù)控系統(tǒng)的穩(wěn)定性提出了較高的要求；PATELOUP 等［3］研究了拐角處進(jìn)給速度和加速度的變化特性，通過(guò)修訂拐角半徑來(lái)增加實(shí)際銑削速度，并利用Bspline進(jìn)行拐角過(guò)渡連接，能夠達(dá)到在某些特定情況下的加速度連續(xù)，但是并沒(méi)有考慮對(duì)環(huán)切殘留量的去除問(wèn)題。

（2）從刀具軌跡光順?lè)矫孢M(jìn)行優(yōu)化 張鳴等［6］考慮環(huán)切拐角處產(chǎn)生的殘留量問(wèn)題，在原有環(huán)切刀軌上增加了清角加工軌跡，有效去除了拐角處產(chǎn)生的殘留量，但是由于清角刀軌只能保證C0階連續(xù)，在實(shí)際加工中會(huì)增加機(jī)床振動(dòng)的頻率，不利于實(shí)際加工；CHOY 等［7］采用弓狀（bow-like）曲線(xiàn)進(jìn)行拐角優(yōu)化，其實(shí)質(zhì)是對(duì)殘留區(qū)域進(jìn)行多次來(lái)回銑削，該方式無(wú)疑會(huì)增加拐角處的刀軌長(zhǎng)度，并且需要大量的偏置操作來(lái)完成，從而導(dǎo)致效率低下；安魯陵［1，8］和ZHAO［2］等采用單雙圓弧方式進(jìn)行拐角過(guò)渡連接，將直線(xiàn)和圓弧以及圓弧和圓弧連接的方式進(jìn)行過(guò)渡連接，但是這種優(yōu)化方式至多能達(dá)到刀軌的C1階連續(xù)，不能保證加速度連續(xù)；WALTON 等［9］提出采用螺旋曲線(xiàn)連接的方式過(guò)渡拐角，根據(jù)角度不同分為C-shaped和S-shaped進(jìn)行拐角插補(bǔ)，能有效地保證拐角的光滑過(guò)渡，但是沒(méi)有考慮殘留量對(duì)數(shù)控加工的影響。

由上述分析可知，目前對(duì)拐角刀軌優(yōu)化的結(jié)果大多是達(dá)到過(guò)渡連接的C0～C1階連續(xù)，只有少數(shù)文獻(xiàn)能夠?qū)崿F(xiàn)在某些特定情況下的C2階連續(xù)。在數(shù)控加工中，C0階連續(xù)只能保證曲線(xiàn)在連接點(diǎn)的位置連續(xù)，不能確保速度和加速度的連續(xù)過(guò)渡，C1階雖能保證曲線(xiàn)在連接點(diǎn)的速度連續(xù)變化，但其加速度在連接點(diǎn)處會(huì)產(chǎn)生突變，因此若在C0～C1階連續(xù)的情況下進(jìn)行拐角銑削加工，則因其加速度不連續(xù)，在實(shí)際加工過(guò)程中會(huì)引起機(jī)床的振動(dòng)，而降低模型加工質(zhì)量和加工效率。在加工過(guò)程中，C2階連續(xù)不但保證了曲線(xiàn)過(guò)渡的速度連續(xù)，而且確保了其加速度的連續(xù)，從而大大減少由于機(jī)床頻繁加減速帶來(lái)的機(jī)床振動(dòng)，能夠有效提高型腔的加工質(zhì)量和效率。

為了實(shí)現(xiàn)在環(huán)切拐角處的刀軌C2階連續(xù)，本文在確保有效去除拐角殘留量的情況下，提出采用三段式Clothoid曲線(xiàn)對(duì)拐角進(jìn)行過(guò)渡連接，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)拐角的平穩(wěn)銑削加工。首先采用基于骨架線(xiàn)提取的原理計(jì)算清角加工所需步長(zhǎng)，然后在清角加工軌跡的基礎(chǔ)上選取一系列點(diǎn)控制三段Clothoid曲線(xiàn)，從而實(shí)現(xiàn)拐角的光順過(guò)渡，最后通過(guò)實(shí)例對(duì)比分析，證明該方法可以提高加工質(zhì)量和效率。

1 拐角殘區(qū)的識(shí)別與提取

在環(huán)切刀軌偏置過(guò)程中，若兩線(xiàn)段的重疊率χ＜50%，則會(huì)出現(xiàn)如圖1所示的殘留區(qū)域，其中Lpi和Lpo為外環(huán)進(jìn)出線(xiàn)段，Lsi和Lso為內(nèi)環(huán)進(jìn)出線(xiàn)段。由于殘留區(qū)域的存在，導(dǎo)致刀具在整個(gè)銑削過(guò)程中受力不均勻，影響刀具使用壽命，若殘區(qū)存在于精加工過(guò)程中，則會(huì)影響最終的加工質(zhì)量。對(duì)于殘區(qū)的處理，以前常將殘區(qū)作為一個(gè)單獨(dú)的加工階段進(jìn)行加工，由于這些殘區(qū)分布不均勻且零散，導(dǎo)致來(lái)回跳刀和下刀，影響加工效率。因此，這種方式已經(jīng)逐漸被拋棄，而更加關(guān)注于如何在原有刀軌上增加切削刀軌來(lái)去除殘區(qū)。

為有效切除這些殘留區(qū)域，首先需要抽取殘留區(qū)域的清角加工軌跡。傳統(tǒng)的拐角殘區(qū)計(jì)算方法是將尖角對(duì)之間的區(qū)域簡(jiǎn)化為一個(gè)直線(xiàn)相交的菱形處理［2］，或者通過(guò)對(duì)拐角進(jìn)行偏置和求交來(lái)計(jì)算殘留區(qū)域。然而，這兩種方法通過(guò)近似運(yùn)算和大量求交運(yùn)算后，結(jié)果的準(zhǔn)確性和運(yùn)算效率不容樂(lè)觀(guān)。為了高效和準(zhǔn)確地計(jì)算出殘留區(qū)域所需的加工步長(zhǎng)，本文借鑒骨架線(xiàn)提?。?0-11］原理來(lái)計(jì)算殘留區(qū)域的清角加工軌跡。

1.1 拐角骨架線(xiàn)與相伴曲線(xiàn)的映射關(guān)系

根據(jù)骨架線(xiàn)的定義，為便于描述，本文將拐角骨架線(xiàn)定義為從子環(huán)拐角到相鄰?fù)猸h(huán)對(duì)應(yīng)拐角的所有相切于外環(huán)的最大圓盤(pán)的圓心集合，如圖2中的子父環(huán)之間的虛線(xiàn)段所示。假設(shè)子環(huán)拐角進(jìn)入段Lsi和輸出段Lso之間的拐角點(diǎn)為p，則p稱(chēng)為拐角骨架線(xiàn)的起始點(diǎn)，Lpi和Lpo為拐角骨架線(xiàn)的相伴曲線(xiàn)。如圖2所示，在p點(diǎn)和相伴曲線(xiàn)上垂足點(diǎn)q1和q2上建立對(duì)應(yīng)的Frenet標(biāo) 架，則相伴曲線(xiàn)與拐角骨架線(xiàn)上的Frenet標(biāo)架具有如下映射關(guān)系：

式中θ為e1和pq1的夾角。

由于相伴曲線(xiàn)Lpi和Lpo是到拐角骨架線(xiàn)距離相等的曲線(xiàn)，根據(jù)骨架線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性質(zhì)，用r1和r2表述q1和q2的矢徑，r表述p點(diǎn)的矢徑，則Lpi和Lpo可以表述為

為建立拐角和相伴曲線(xiàn)的參數(shù)微分映射關(guān)系，對(duì)式（3）兩端同時(shí)進(jìn)行微分，用Frenet公式簡(jiǎn)化，可得

式中：k1和k2分別表示q1和q2在相伴曲線(xiàn)Lpi和Lpo上的曲率；s1，s2和s分別表示q1，q2和p處的自然參數(shù)。分別將與式（4）進(jìn)行點(diǎn)乘，可得拐角骨架線(xiàn)和相伴曲線(xiàn)的參數(shù)映射關(guān)系式：

通過(guò)式（5）可以得到拐角骨架線(xiàn)的微分表達(dá)式，且可通過(guò)相伴曲線(xiàn)的曲率ρ1=1／k1，ρ2=1／k2得到拐角骨架線(xiàn)的曲率

1.2 清角加工軌跡段的生成

根據(jù)泰勒公式，將高階小量（大于等于三階）省去，可得拐角骨架線(xiàn)的表達(dá)式為

式中：Δs表示沿e1方向的弧微分；p＊表示骨架拐角線(xiàn)的一點(diǎn)；δ表示Δs所在圓對(duì)應(yīng)的角度，δ=kΔs。

將1.1節(jié)中所求的相應(yīng)參數(shù)代入式（7），能夠求得下一點(diǎn)的位置，依次循環(huán)迭代，可以算出拐角骨架線(xiàn)上的所有點(diǎn)。然而，并不是所有的拐角骨架線(xiàn)都需要進(jìn)行清角加工。事實(shí)上，當(dāng)拐角骨架線(xiàn)所在的圓的半徑r等于加工刀具的半徑時(shí)，清角加工軌跡終止，所得的線(xiàn)段即清角所需加工步長(zhǎng)，如圖3b中的ppe段。

2 Clothoid曲線(xiàn)拐角過(guò)渡方法

若將1.2節(jié)中提取出的清角加工路徑ppe直接添加到原有的刀軌中進(jìn)行數(shù)控加工，則由于清角路徑僅為一條延伸曲線(xiàn)，在加工過(guò)程中會(huì)進(jìn)行來(lái)回折返運(yùn)動(dòng)，當(dāng)加工至pe時(shí)，先降速為0然后迅速加速到降速前的速度，會(huì)引起機(jī)床的強(qiáng)烈振動(dòng)，從而降低加工質(zhì)量。因此，要想在拐角進(jìn)行光滑過(guò)渡并保證較高的加工質(zhì)量，應(yīng)該在提取出的清角加工軌跡段的基礎(chǔ)上進(jìn)一步過(guò)渡優(yōu)化，本文采用三段式Clothoid曲線(xiàn)進(jìn)行拐角過(guò)渡連接優(yōu)化。

2.1 Clothoid的定義與性質(zhì)

Clothoid曲線(xiàn)常用于高速公路、橋梁的線(xiàn)形設(shè)計(jì)，以提高行車(chē)的速度和平穩(wěn)性。最近幾年，逐漸被應(yīng)用于數(shù)控加工領(lǐng)域［9，11-12］，生成螺旋刀軌和進(jìn)行高速加工等。Clothoid曲線(xiàn)［13］是在Fresnel積分的基礎(chǔ)上提出的，曲線(xiàn)的曲率變化與曲線(xiàn)的弧長(zhǎng)呈正比關(guān)系，并且包含直線(xiàn)和圓的特殊情況。如圖4所示，以弧長(zhǎng)s為參變量，單位回旋曲線(xiàn)的表達(dá)式為：

將單位回旋曲線(xiàn)進(jìn)行回轉(zhuǎn)、比例和平移變換，可以得到回旋曲線(xiàn)的通用表達(dá)式：

式中：a表示比例因子，φ0 為直線(xiàn)在參考坐標(biāo)系中的傾斜角。由該式可以推導(dǎo)出切線(xiàn)角φ、曲率k與弧長(zhǎng)s之間的關(guān)系：

從式（11）可以得出，隨著弧長(zhǎng)的增大，曲線(xiàn)的曲率也隨之增大。當(dāng)s=0 時(shí)曲率k=0，即曲線(xiàn)在原點(diǎn)處時(shí)，曲線(xiàn)的曲率為零，這是Clothoid曲線(xiàn)的特性。利用這一特性連接Clothoid曲線(xiàn)和直線(xiàn)，能保證連接點(diǎn)的曲率連續(xù)，從而在連接拐角處的直線(xiàn)時(shí)能達(dá)到拐角的光滑過(guò)渡。

2.2 拐角過(guò)渡處理方法

獲得了拐角殘區(qū)步長(zhǎng)線(xiàn)后，為了能夠設(shè)計(jì)出光滑的曲線(xiàn)過(guò)渡，需要解決拐角的特征點(diǎn)、過(guò)渡范圍以及曲線(xiàn)的連接順序等問(wèn)題，其拐角過(guò)渡曲線(xiàn)設(shè)計(jì)流程如圖5所示。首先需要計(jì)算出拐角控制點(diǎn)來(lái)得到曲線(xiàn)過(guò)渡的范圍，然后在控制點(diǎn)所構(gòu)成的過(guò)渡區(qū)間內(nèi)選擇合適的初始插入點(diǎn)，最后以初始插入點(diǎn)作為直線(xiàn)和曲線(xiàn)的連接點(diǎn)，進(jìn)行Clothoid 曲線(xiàn)過(guò)渡設(shè)計(jì)。

2.3 拐角過(guò)渡特征點(diǎn)的選取

拐角過(guò)渡特征點(diǎn)包括Clothoid曲線(xiàn)控制點(diǎn)和曲線(xiàn)初始插入點(diǎn)。為保證設(shè)計(jì)的Clothoid曲線(xiàn)不產(chǎn)生過(guò)切，需要在清角加工軌跡及父子環(huán)之間選取一系列點(diǎn)作為Clothoid曲線(xiàn)控制點(diǎn)（如圖6）。由式（11）可知，曲線(xiàn)的曲率與弧長(zhǎng)呈正比關(guān)系，與縮放因子呈反比關(guān)系，當(dāng)弧長(zhǎng)過(guò)大或縮放因子過(guò)小時(shí)都會(huì)嚴(yán)重影響曲線(xiàn)曲率的變化幅值。因此，在保證控制點(diǎn)處于父子環(huán)的尖角對(duì)之間的前提下，為了使曲線(xiàn)曲率的變化幅值均勻化，控制點(diǎn)所構(gòu)成的多邊形應(yīng)盡可能對(duì)稱(chēng)，且所選的控制點(diǎn)便于Clothoid曲線(xiàn)連接。拐角控制點(diǎn)的選取步驟如下：

步驟1 做拐角p處兩相鄰線(xiàn)段（圓?。㎜si，Lso的延長(zhǎng)線(xiàn)（切線(xiàn)）Lsi＿e，Lso＿e。

步驟2 過(guò)pe點(diǎn)分別做Lsi＿e，Lso＿e的兩條平行線(xiàn)，并與Lsi＿e，Lso＿e求交，記交點(diǎn)為pin＿e，pout＿e。

步驟3 若pin＿e，pout＿e在 父子環(huán)LsiLsoLpiLpo之間，則將pin＿e，pout＿e分別賦值給pin，pout；否則，計(jì)算延長(zhǎng)線(xiàn)Lsi＿e，Lso＿e與父環(huán)Lpo，Lpi的交點(diǎn)，并將交點(diǎn)分別賦值給pin，pout。

步驟4 依次輸出拐角p對(duì)應(yīng)的三個(gè)控制頂點(diǎn)pin，pe，pout。

通過(guò)上述控制點(diǎn)的選取，保證了拐角殘余線(xiàn)段ppe包含在控制點(diǎn)ppinpepout范圍內(nèi)，并且控制點(diǎn)沒(méi)有超出父子環(huán)的區(qū)間。在控制點(diǎn)ppinpepout所構(gòu)成的四邊形范圍內(nèi)，刀具的實(shí)際切削路徑為ppinpepout p，因此只需將四邊形新派生出來(lái)的三個(gè)拐角∠pin，∠pe和∠pout進(jìn)行合理過(guò)渡連接，就能完成對(duì)拐角∠LsipLso的光滑過(guò)渡。為實(shí)現(xiàn)過(guò)渡設(shè)計(jì)，首先需要選擇Clothoid曲線(xiàn)的過(guò)渡初始點(diǎn)。

由于四邊形四條邊ppin，pinpe，pepout，poutp的長(zhǎng)度并不完全相等，并且兩條線(xiàn)段pinpe和pepout不能隨意延長(zhǎng)和改變，為了保證Clothoid曲線(xiàn)在拐角處的對(duì)稱(chēng)性，取pinpe和pepout中較短線(xiàn)段的中點(diǎn)作為其中一個(gè)插入點(diǎn)，將該點(diǎn)關(guān)于對(duì)應(yīng)角的分線(xiàn)依次進(jìn)行對(duì)稱(chēng)計(jì)算，得到相鄰線(xiàn)段的插入點(diǎn)。如圖7所示，由于pinpe的長(zhǎng)度小于pepout，取pinpe的中點(diǎn)作為線(xiàn)段pinpe的過(guò)渡起始點(diǎn)pie，將pie對(duì)稱(chēng)到線(xiàn)段pepout上，得到pepout段的初始點(diǎn)peo，依次類(lèi)推，可以得到pos，psi。

2.4 拐角過(guò)渡連接的設(shè)計(jì)

由于單位Clothoid曲線(xiàn)在原點(diǎn)的曲率為零，若將Clothoid曲線(xiàn)與直線(xiàn)進(jìn)行合理連接，則會(huì)得到一條“直線(xiàn)-Clothoid曲線(xiàn)”光滑過(guò)渡的曲線(xiàn)，從直線(xiàn)到Clothoid曲線(xiàn)的曲率是連續(xù)變化的，保證了刀具在加工過(guò)程中的加速度連續(xù)變化。由于在2.3節(jié)特征點(diǎn)選取時(shí)考慮了過(guò)渡初始點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)性，在用Clothoid曲線(xiàn)進(jìn)行過(guò)渡連接時(shí)，應(yīng)考慮曲線(xiàn)關(guān)于角分線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性，從而保證曲率的連續(xù)變化。

以圖7中psipinpie段的拐角過(guò)渡連接為例進(jìn)行拐角過(guò)渡連接設(shè)計(jì)說(shuō)明，剩余兩個(gè)拐角piepepeo與peopoutpos的過(guò)渡連接原理與此類(lèi)似，不再贅述。圖8a所示為psipinpie段的拐角過(guò)渡示意圖，其中psi與pie為曲線(xiàn)過(guò)渡初始點(diǎn)，關(guān)于兩直線(xiàn)的角分線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，γ為兩向量與的夾角。由于直線(xiàn)的曲率為0，要想光順連接，必須使的兩個(gè)端點(diǎn)psi，pie的曲率與兩條連接線(xiàn)段的曲率相等，而Clothoid曲線(xiàn)只有在原點(diǎn)處的曲率為零，因此解決這一問(wèn)題的辦法是利用曲線(xiàn)關(guān)于角分線(xiàn)進(jìn)行對(duì)偶。Clothoid曲線(xiàn)對(duì)偶是從psi與pie開(kāi)始的回旋曲線(xiàn)的尾部按連續(xù)條件對(duì)接起來(lái)。由幾何關(guān)系可知，兩曲線(xiàn)在對(duì)接點(diǎn)處的切線(xiàn)角φm與兩向量夾角γ的關(guān)系為

結(jié)合式（9），可以推導(dǎo)出對(duì)接點(diǎn)的最大參變數(shù)

為了將對(duì)偶曲線(xiàn)合理地拼接起來(lái)，由式（9）可知，還需要求解對(duì)偶曲線(xiàn)的縮放因子a。由于psipin與pinpie的長(zhǎng)度相等，且設(shè)為l，曲線(xiàn)通過(guò)縮放以后與長(zhǎng)度l存在如式（14）的關(guān)系式，則縮放因子a可以通過(guò)式（9）與式（14）聯(lián)立求解得到?？s放因子a的大小決定了Clothoid曲線(xiàn)的形態(tài)，圖8b 所示為三段不同Clothoid曲線(xiàn)對(duì)應(yīng)不同縮放因子的形態(tài)。

通過(guò)上述設(shè)計(jì)，能夠很好地完成拐角的過(guò)渡，圖8b所示為∠LsipLso的過(guò)渡連接示意圖，經(jīng)過(guò)渡后刀具的加工路徑為其中：在直線(xiàn)過(guò)渡連接段ppsi和posp的曲率為0，在Clothoid曲線(xiàn)過(guò)渡段的曲率由0逐漸增大然后再縮小，保證了拐角過(guò)渡的曲率連續(xù)變化和刀具在加工過(guò)程中的平穩(wěn)性。

3 實(shí)例及分析

本算法已經(jīng)在仿真測(cè)試中得到了很好的應(yīng)用，實(shí)驗(yàn)平臺(tái)為配備有Core2E8400 3.00GHz處理器，2.00GB內(nèi)存的Lenovo PC，開(kāi)發(fā)環(huán)境為VC2008，并采用Hoops庫(kù)進(jìn)行刀軌顯示和精雕V5.5刀軌仿真。

3.1 仿真測(cè)試實(shí)例

以不規(guī)則多邊形和醫(yī)學(xué)修復(fù)體加工為例，采用本文算法生成了環(huán)切刀軌的殘區(qū)識(shí)別和拐角優(yōu)化，用精雕V5.5 進(jìn)行仿真，仿真機(jī)床參照德國(guó)imesicore340i機(jī)床的各參數(shù)進(jìn)行了相關(guān)配置。其中，圖9與圖10分別表示不規(guī)則多邊形不帶島嶼和醫(yī)學(xué)修復(fù)體帶島嶼的拐角優(yōu)化實(shí)例。圖9a和圖10a所示為傳統(tǒng)的環(huán)切刀軌圖，由圖中可知，刀軌環(huán)進(jìn)行等距的過(guò)程中產(chǎn)生了大量的環(huán)切拐角，不利于實(shí)際銑削加工。圖9b和圖10b所示為利用骨架線(xiàn)原理提取的拐角殘區(qū)步長(zhǎng)，雖然在加工過(guò)程中沿著該路徑能很好地加工殘留區(qū)域，但是在每個(gè)殘區(qū)加工完成后都需要進(jìn)行折返加工，這會(huì)嚴(yán)重影響加工的平穩(wěn)性。圖9c和圖10c為加工殘區(qū)Clothoid曲線(xiàn)過(guò)渡刀軌圖，通過(guò)分析，采用Clothoid拐角過(guò)渡能很好地切除殘留區(qū)域，并能保證加工過(guò)程的平穩(wěn)性。圖9d和圖10d給出了采用本文方法優(yōu)化后的刀軌仿真結(jié)果，從圖中可見(jiàn)，運(yùn)用該方法能很好地去除殘留量。圖9和圖10兩個(gè)仿真測(cè)試實(shí)例的參數(shù)和加工時(shí)間如表1所示。

表1給出了圖9和圖10中的兩個(gè)仿真測(cè)試實(shí)例采用拐角未優(yōu)化、三段圓弧過(guò)渡和本文算法的對(duì)比數(shù)據(jù)。由表1可見(jiàn)：①采用三段圓弧過(guò)渡的走刀路徑長(zhǎng)度最長(zhǎng)，本文算法次之，沒(méi)有優(yōu)化的走刀最短。這是因?yàn)樵诰哂邢嗤刂泣c(diǎn)和初始插入點(diǎn)的情況下，Clothoid曲線(xiàn)的弧長(zhǎng)小于圓弧的過(guò)渡弧長(zhǎng)，因此Clothoid曲線(xiàn)的過(guò)渡走刀路徑明顯短于圓弧過(guò)渡路徑。②采用Clothoid曲線(xiàn)過(guò)渡的測(cè)試加工時(shí)間明顯短于三段圓弧過(guò)渡和未優(yōu)化的加工時(shí)間，相比于圓弧過(guò)渡，Clothoid曲線(xiàn)能達(dá)到C2階連續(xù)，因此在加工過(guò)程中能更好地提高切削速度，縮短加工時(shí)間。

表1 仿真測(cè)試加工主要參數(shù)對(duì)比

3.2 拐角過(guò)渡的曲率分析

為更好地說(shuō)明拐角處Clothoid過(guò)渡的光順性，以圖9c中局部放大的圖形為例分析過(guò)渡刀軌的曲率和運(yùn)動(dòng)變化規(guī)律。圖9c中局部放大的拐角為36.4°，相鄰環(huán)間的拐角殘區(qū)步長(zhǎng)為19.2 mm，兩相鄰控制頂點(diǎn)的長(zhǎng)度為10.1mm，縮放因子a1=a3=10.736，a2=2.757。則在拐角處的過(guò)渡曲率如圖11實(shí)線(xiàn)段所示，對(duì)應(yīng)的虛線(xiàn)段為采用圓弧過(guò)渡的曲率變化，表2所示為本文算法對(duì)應(yīng)的拐角過(guò)渡曲率變化值。在控制頂點(diǎn)內(nèi)的過(guò)渡曲線(xiàn)是由三段Clothiod曲線(xiàn)光滑拼接起來(lái)的，曲率變化分為三段，分別對(duì)應(yīng)圖8中的進(jìn)入段、拐角段和出去段的曲率變化。

表2 拐角過(guò)渡曲率變化值

分析圖11和表2可知：①采用Clothoid曲線(xiàn)過(guò)渡能夠保證過(guò)渡的曲率連續(xù)性，不會(huì)出現(xiàn)圓弧過(guò)渡曲率突變的情況，從而保證了過(guò)渡的C2階連續(xù)。②拐角段的曲率比進(jìn)出段的曲率變化幅值要大，這是因?yàn)樵诳刂泣c(diǎn)構(gòu)成的四邊形中，中間段的角度變化幅值最大。③在實(shí)際加工過(guò)程中，機(jī)床運(yùn)動(dòng)的加速度與過(guò)渡曲線(xiàn)的曲率呈正比，相對(duì)于圓弧過(guò)渡，當(dāng)采用Clothoid曲線(xiàn)過(guò)渡時(shí)，在角度幅值變化較小的情況下（進(jìn)出段），能夠自動(dòng)增加曲率（加速度）變化的幅值，增加過(guò)渡的速度；而在角度幅值變化較大的情況下（拐角段，能夠縮小曲率（加速度）變化的幅值，降低過(guò)渡的速度。這樣，加工過(guò)程中在保證加工質(zhì)量的同時(shí)，能夠提高拐角過(guò)渡的速度，縮短加工時(shí)間。

4 結(jié)束語(yǔ)

本文針對(duì)復(fù)雜型腔拐角存在加工殘留區(qū)域的問(wèn)題，采用基于骨架線(xiàn)生成原理的方式進(jìn)行拐角殘區(qū)的識(shí)別及其步長(zhǎng)的提取。該方法通過(guò)Frenet標(biāo)架迭代的方式計(jì)算拐角骨架線(xiàn)，通過(guò)判斷拐角骨架線(xiàn)到父環(huán)的距離，能夠很好地計(jì)算出拐角殘區(qū)的步長(zhǎng)，避免過(guò)加工現(xiàn)象的發(fā)生。

本文針對(duì)環(huán)切中拐角所引起的機(jī)床振動(dòng)和加工質(zhì)量降低等問(wèn)題，在拐角殘區(qū)步長(zhǎng)的基礎(chǔ)上，提出采用三段Clothoid曲線(xiàn)光滑拼接的方式進(jìn)行拐角過(guò)渡，這種過(guò)渡方式相對(duì)于圓弧等過(guò)渡方式，能夠達(dá)到曲線(xiàn)的C2階連續(xù)，并且能自動(dòng)調(diào)節(jié)曲率變化幅值，提高加工效率。在實(shí)際加工過(guò)程中能夠保證加速度的連續(xù)，從而保證加工過(guò)程中拐角的平穩(wěn)過(guò)渡。

本文算法仍有不足之處，例如為保證最終的加工精度，對(duì)孤立和自交產(chǎn)生的刀軌環(huán)沒(méi)有進(jìn)行拐角過(guò)渡優(yōu)化。事實(shí)上，在刀軌環(huán)自交分離出的子環(huán)仍可以進(jìn)行拐角過(guò)渡，但是這種環(huán)的拐角過(guò)渡會(huì)對(duì)相鄰環(huán)造成干涉等，具有更為復(fù)雜的情況，因此下一步的研究重點(diǎn)將是如何優(yōu)化孤立的環(huán)和自交分離出的子環(huán)。

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