N=2超代數(shù)的一類子代數(shù)的研究

黨佳華，劉 東，高壽蘭

(1.杭州電子科技大學理學院，浙江 杭州310018;2.湖州師范學院理學院，浙江 湖州313000)

0 引 言

N=2超共行代數(shù)是數(shù)學物理中一類重要的研究對象。截止目前為止，N =2超共行代數(shù)中仍有許多問題值得進一步研究，特別是其表示的分類問題仍是一個公開的難題，許多論文給出了特殊結論和各種猜想。文獻[1]刻畫了N=2超共行代數(shù);文獻[2]討論了階化線性空間和李超代數(shù)的基本性質，給出了經(jīng)典李超代數(shù)的分類及基本經(jīng)典李超代數(shù)的Kac-Dynkin 圖，特別是介紹了如何運用廣義的不可約張量算符及Wiger-Eckart 定理，求經(jīng)典李超代數(shù)不可約表示的方法;文獻[3]介紹了有限維李代數(shù)的中心擴張和導子代數(shù);本文對復數(shù)域上基為Lm，Mm，Gp的李超代數(shù)N的結構性質進行討論并給出相關結論。

1 預備知識

本文主要討論了李超代數(shù)N的2-上同調群，導子代數(shù)，自同構群等結構問題。在本文中，令S*表示任意集合S的非零元素集合，分別用C，Z 來表示復數(shù)集和整數(shù)集。

2 泛中心擴張

李超代數(shù)N 上的二上循環(huán)是復數(shù)域C 上雙線性函數(shù)ψ:N×N →C，并且有ψ(x1，x2)=對任意的

記N的二上循環(huán)和二上邊界的線性空間分別為A2(N，C)，B2(N，C)。定義N的二階上同調群為商空間H2(N，C)=A2(N，C)/B2(N，C)。

定理1 dimH2(N，C)=3，其中關于N的常見的不平凡二上循環(huán)如下φ(Mm，Mn)=mδm+n，0C2，φ(Lm，Mn)=m(m-1)δm+n，0C3，φ(Lm，Gp)=φ(Mm，Gp)=φ(Gp，Gr)=0，對任意的成立。

3 李超代數(shù)N的導子

令V是一個N-模。從N 到V的線性映射φ 叫做導子，如果對任意的x，y∈N，有φ[x，y]=xφ(y)-yφ(y)。當v∈V，映射φ:x→x·v 稱做內導子，用Der(N，V)和Ιnn(N，V)分別表示所有導子和內導子的向量空間。定義V中的N的一階上同調群為:H1(N，V)=DerC(N，V)/InnC(N，V)[3]。

定理2 Der(N)=ad(N)。

證明 對任意的D∈Der(N，V)0，設D(Ln)=(a(n+1)-bn)Mn，D(Mn)=cMn。這里任意的n∈Z，a，b，c∈C[4]。對任意的設D(Gr)=CrGr，其中Cr∈C。將D 作用到[M0，Gr]=Gr，得到c=0和Cr=C1，其中C1∈C*。那么D(Gr)= C1Gr。將D 作用到[L0，Gr]= rGr上，得aGr+rC1Gr=rC1Gr，比較系數(shù)得知a=0。將D 作用到上，得b =0。D(Ln)=0，D(Mn)=0，D(Gr)=C1Gr。令D0=ad(C1M0)，則D0(Ln)=0，D0(Mn)=0，D0(Gr)=C1Gr，結論得證。

4 自同構群

定義ΑutN為自同構群，對任意σ∈AutN和x，y∈N，有

定理3 令σ∈AutN，則存在a，b∈C*和ε∈{±1}滿足下列各式:

反之，若σ是N 上的一個線性函數(shù)滿足式(1)，ε∈{±1}和a，b∈C*，則σ∈AutN。

證明 因σ(N0)=N0，設σ(L0)=εL0，σ(Ln)=εanLεn+εan(nc+d)Mεn，σ(Mn)=aneMεn，其中a，e∈C*，c，d∈C[5]。只需考慮σ 作用在Gr上的關系。假設其中，λk∈C*，r1，r2∈Z+將σ 作用在[L0，Gr]= rGr上，有比較Gk系數(shù)，得εk=r，即σ(Gr)=λrGεr。將σ 作用在[M0，Gr]=Gr上，得e=1。那么aλr=λr+1，所以設λr=bar-1，b∈C*。再將σ 作用在[Ln，Gr]上，令n=0，得d=0，再觀察等式左右，得到c =0。綜上，可知σ∈AutN 滿足式(1)。定理的另一半證明是顯然的。

定義N的自同構σ(ε，a，b)滿足式(1)，有σ(ε1，a1，b1)σ(ε2，a2，b2)=σ(ε1ε2，a1ε2a2，b1b2)，σ(ε，a，b)-1=σ(ε，a-ε，b-1)，當且僅當ε1=ε2，a1=a2，b1=b2。

推論 ΑutN=Z2∝(C*×C*)。

5 結束語

研究李超代數(shù)的主要動機是這種代數(shù)上存在上同調理論，相應的關系式將在物理系統(tǒng)和代數(shù)學中有廣泛的具體應用和物理解釋。上同調問題一直是代數(shù)結構與表示論的研究中比較重要的問題之一，對李超代數(shù)的結構和表示的研究起重要作用。

[1]Dobrev V K.Characters of the unitarizable highest weight modules over the N =2 superconformal algebras[J].Physics Letters B，1987，186(1):43-51.

[2]孫洪洲，韓其智.李超代數(shù)綜述[J].物理學進展，1983，3(1):81-125.

[3]Farnsteiner R.Derivations and central extensions of finitely generated graded Lie algebra[J].Journal of Algebra，1988，118(1):33-45.

[4]Liu D，Zhu L.Generalized Heisenberg-Virasoro algebras[J].Frontiers of Mathemat-ics in China，2009，4(2):297-310.

[5]Shen R，Jiang C.The derivation algebra and automorphism group of the twisted Heisenberg-Virasoro algebra[J].Communications in Algebra?，2006，34(7):2 547-2 558.