移動機(jī)器人定點(diǎn)目標(biāo)控制的線性分解方法*

唐麗娜，宿 浩，郭忠文

（中國海洋大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院，山東 青島 266100）

移動機(jī)器人定點(diǎn)目標(biāo)控制問題是機(jī)器人位置控制的基本問題，其中點(diǎn)鎮(zhèn)定問題是移動機(jī)器人定點(diǎn)目標(biāo)控制的主要研究課題之一。點(diǎn)鎮(zhèn)定研究的問題是設(shè)計控制策略，當(dāng)時間t→∞時，使移動機(jī)器人無限接近于預(yù)先給定的位置。由于輪式機(jī)器人是一類具有非完整運(yùn)動約束的非線性系統(tǒng)，使其點(diǎn)鎮(zhèn)定控制的運(yùn)動控制成為具有挑戰(zhàn)性研究課題。近年來，移動機(jī)器人點(diǎn)鎮(zhèn)定的研究取得了長足的發(fā)展。由于系統(tǒng)模型是一類較特殊的非線性系統(tǒng)，利用反饋線性化可以較方便的實現(xiàn)輪式移動機(jī)器人獨(dú)立驅(qū)動的同步跟蹤［1］和點(diǎn)鎮(zhèn)定控制［2］。另一類控制方法是利用非光滑的控制規(guī)律研究移動機(jī)器人的點(diǎn)鎮(zhèn)定問題，如文獻(xiàn)［3］提出了一種兩輪輪式機(jī)器人點(diǎn)鎮(zhèn)定的分段比例智能控制和文獻(xiàn)［4］利用分段連續(xù)控制律保證了非完整移動機(jī)器人位置逐步收斂于期望的目標(biāo)，并保證了閉環(huán)系統(tǒng)的指數(shù)穩(wěn)定性。針對非完整運(yùn)動學(xué)系統(tǒng)的不確定模型，提出了一種動態(tài)反饋控制律，使得移動機(jī)器人的姿勢和方向收斂到期望值，并證明了系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性［5］。利用蟻群優(yōu)化算法，提出了一種四輪移動機(jī)器人具有4個獨(dú)立驅(qū)動車輪的全方位智能運(yùn)動控制器［6］。對一類具有飽和輸入的非完整運(yùn)動約束的移動機(jī)器人，提出了半全局實用鎮(zhèn)定控制方案［7］。文獻(xiàn)［8］通過使用高階的擴(kuò)展，控制移動機(jī)器人的速度和方向，控制策略保證了移動機(jī)器人能漸近收斂到給定的目標(biāo)點(diǎn)和運(yùn)動軌跡。針對模型的質(zhì)心與幾何中心不重合的情況，文獻(xiàn)［9］利用時變連續(xù)控制律解決了移動機(jī)器人的鎮(zhèn)定控制問題，并且利用自適應(yīng)技術(shù)解決了兩者之間距離未知時的鎮(zhèn)定控制問題。

然而，在實際問題中，往往希望在有限時間內(nèi)，使移動機(jī)器人到達(dá)預(yù)先給定的位置?；谇袚Q策略來消除不可控的現(xiàn)象，文獻(xiàn)［10］研究了非線性參數(shù)化系統(tǒng)的自適應(yīng)有限時間鎮(zhèn)定問題，并設(shè)計了能保證系統(tǒng)狀態(tài)全局有限時間收斂到原點(diǎn)的控制算法。

本文針對移動機(jī)器人的非線性模型提出一種線性分解控制方法。通過將機(jī)器人的運(yùn)動分解為原地旋轉(zhuǎn)運(yùn)動控制和直線運(yùn)動控制，實現(xiàn)了移動機(jī)器人在給定的有限時間內(nèi)的定點(diǎn)目標(biāo)控制。

1 問題描述

輪式移動機(jī)器人通過調(diào)節(jié)速度和航向達(dá)到位置和運(yùn)動軌跡的控制。假設(shè)移動機(jī)器人的位置用笛卡爾直角坐標(biāo)系描述，如圖1所示，機(jī)器人狀態(tài)由其質(zhì)心在坐標(biāo)系下的位置及姿態(tài)（即航向）來表示。機(jī)器人當(dāng)前位置由直角坐標(biāo) （x（t），y（t））表示，機(jī)器人當(dāng)前的姿態(tài)用前進(jìn)方向和x軸正方向的夾角θ（t）（即航向角坐標(biāo)）表示。

因此描述機(jī)器人的狀態(tài)是三維的，其中狀態(tài)向量用z（t）＝［x（t），y（t），θ（t）］T表示。假設(shè)控制輸入向量為u（t）＝［ν（t），ω（t）］T，其中v（t）和ω（t）分別表示機(jī)器人當(dāng)前的線速度和角速度。并假設(shè)控制量線速度v（t）和角速度ω（t）是獨(dú)立的，即線速度v（t）和角速度ω（t）可以單獨(dú)設(shè)定，互不影響。這一假設(shè)說明，移動機(jī)器人可以在運(yùn)動中轉(zhuǎn)彎，也可以原地轉(zhuǎn)圈。

圖1 移動機(jī)器人的位位置和姿態(tài)坐標(biāo)Fig.1 Position and attitude coordinates of mobile robot

由牛頓定律易知，移動機(jī)器人運(yùn)動學(xué)方程可以描述為：

由（1）有，

因此，狀態(tài)向量z的分量滿足約束條件

由（1）和（2）知，這是一個典型的非完整約束的非線性系統(tǒng)。

定點(diǎn)行駛控制問題就是要尋求控制律u（t）使機(jī)器人在有限時間 0，（T］內(nèi)到達(dá)笛卡爾直角坐標(biāo)系原點(diǎn)，即

稱其為移動機(jī)器人的定點(diǎn)目標(biāo)控制。

2 定點(diǎn)行駛控制律設(shè)計

從系統(tǒng)模型（1）和（2）知，移動機(jī)器人的位置和運(yùn)動軌跡控制是一類非完整性非線性系統(tǒng)可知，通常非完整性非線性系統(tǒng)的控制策略設(shè)計問題是較難解決的研究課題。本文根據(jù)系統(tǒng)模型（1）和（2）的特點(diǎn)，提出一種線性分解控制策略。線性分解控制策略的思路是將n階系統(tǒng)的n個狀態(tài)變量按順序分解為N（N≤n）組，按分組順序?qū)⒖刂七^程分為N個階段完成控制任務(wù)，在每個階段完成一組狀態(tài)變量的控制。從而實現(xiàn)非線性系統(tǒng)的線性解耦控制。

以下描述移動機(jī)器人的定點(diǎn)目標(biāo)控制的線性分解控制策略的設(shè)計過程。將系統(tǒng)（1），（2）的狀態(tài)變量分為2組：z1＝θ，z2＝［x，y］T。在時間區(qū)間t∈ （0 ，T1］，機(jī)器人只作原地旋轉(zhuǎn)運(yùn)動，即ω≠0，v＝0。在時刻T1，使得

其中θ0＝θ（0），α0＝α（0），定義

在時間區(qū)間t∈ （T1，T］，機(jī)器人只作直線運(yùn)動，即ω＝0，v≠0。在時刻T，使得（3）成立。

以下研究具體設(shè)計過程和分析機(jī)器人運(yùn)動控制過程。在階段1，即在時間區(qū)間t∈ （0 ，T1］，只考慮

系統(tǒng)（6）為一個簡單的線性系統(tǒng)。要完成控制目的（4），選擇控制律為

其中k1＞0為待定的系數(shù)。將（7）代入（6），得到（6）的閉環(huán)系統(tǒng)

求解（8）得到

將（4）代入（9），可以得到

將（10）代入（7），得到階段1的控制律

在階段2，即在時間區(qū)間t∈ （T1，T］，只考慮

注意到當(dāng)ω＝0，v≠0時，θ（t）≡θ（T1）＝α0±π為常數(shù)，所以系統(tǒng)（12）為線性定常系統(tǒng)

且滿足約束條件

并注意到

由（13），（14），（15）和（16）得到

要完成控制目的（3），即

選擇控制律為

其中k2＞0為待定的系數(shù)。將（19）代入（17），得到（17）的閉環(huán)系統(tǒng)

求解（20）得到

將（18）代入（21），得到

將（22）代入（19），得到階段2的控制律

綜合（11）和（23），得到機(jī)器人定點(diǎn)控制律：

至此，本文實現(xiàn)了移動機(jī)器人定點(diǎn)目標(biāo)控制的線性分解，即將移動機(jī)器人定點(diǎn)目標(biāo)控制系統(tǒng)的非線性模型（1）按不同時間簡化為簡單的線性系統(tǒng)。在時間區(qū)間t∈ （0 ，T1］，將非線性系統(tǒng)（1）簡化為簡單的線性系統(tǒng)（6），而在時間區(qū)間t∈ （T1，T］，將非線性系統(tǒng)（1）簡化為簡單的線性系統(tǒng)（17）。并且由線性系統(tǒng)（6）和（17）得到了在有限時間t＝T到達(dá)目標(biāo)的控制律（24）和（25）。

3 結(jié)語

本文針對移動機(jī)器人的定點(diǎn)目標(biāo)控制問題，提出一種線性分解方法。線性分解方法在時間上將具有非完整約束的移動機(jī)器人模型分解為兩個線性系統(tǒng)，實現(xiàn)了非線性系統(tǒng)的線性解耦分解。利用線性分解方法簡化了移動機(jī)器人的定點(diǎn)目標(biāo)控制其設(shè)計，實現(xiàn)了移動機(jī)器人的有限時間定點(diǎn)目標(biāo)控制。

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