集群系數(shù)與度同類性之間的依賴關(guān)系

傅春花

摘 要：復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)已經(jīng)成為研究復(fù)雜系統(tǒng)的強有力工具。該文主要探討了網(wǎng)絡(luò)的兩個重要統(tǒng)計性質(zhì)集群系數(shù)與度同類性之間的依賴關(guān)系，通過大量的實證統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)，集群系數(shù)與度同類性滿足指數(shù)衰減關(guān)系，即網(wǎng)絡(luò)的集群系數(shù)越大，其度同類性反而越小。

關(guān)鍵詞：復(fù)雜網(wǎng)絡(luò) 集群系數(shù) 度同類性 依賴關(guān)系 指數(shù)衰減

中圖分類號：G64 文獻標識碼：A 文章編號：1674-098X（2014）08（c）-0055-02

復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的研究和發(fā)展以圖論作為重要基礎(chǔ)，圖論的大量知識在網(wǎng)絡(luò)研究過程中得到了廣泛的應(yīng)用。如在復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)研究中，提出了各種描述和表征網(wǎng)絡(luò)特性的統(tǒng)計量，包括網(wǎng)絡(luò)的距離分布、集群系數(shù)、度與度分布、同類性、群落、層次等。

1 集群系數(shù)

集群系數(shù)，用c表示，是復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)研究中的一個重要的統(tǒng)計性質(zhì)，也是網(wǎng)絡(luò)研究中的重要概念，用來表示網(wǎng)絡(luò)中某一節(jié)點的鄰點之間聯(lián)系的緊密程度。一般地，假設(shè)網(wǎng)絡(luò)中的一個節(jié)點i有條邊將它和其他節(jié)點相連，顯然，在這個節(jié)點之間最多可能有（-1）/2條邊，我們將它們之間實際存在的邊數(shù)記為Ei。則節(jié)點i的集群系數(shù)定義為：

整個網(wǎng)絡(luò)的集群系數(shù)c就是網(wǎng)絡(luò)中所有節(jié)點的集群系數(shù)的平均值，即：

其中，N為該網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點總數(shù)。很明顯，0≤c≤1。c=0時，說明網(wǎng)絡(luò)中所有節(jié)點均為孤立節(jié)點，即沒有任何連邊；c=1時，說明網(wǎng)絡(luò)中的任意兩個節(jié)點都直接相連。通常情況下，c的取值是介于0～1之間的某個中間值。

2 度同類性

頂點度，是復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)研究中的另一個基本又重要的統(tǒng)計性質(zhì)。節(jié)點i的度定義為與該節(jié)點相連接的其他節(jié)點的數(shù)目，即節(jié)點i的鄰點個數(shù)。從直觀上看，一個節(jié)點的度越大意味著這個節(jié)點在某種意義上越“重要”。

同類性，可以分為群落同類性和度同類性。與群落同類性相比度同類性是較常用的，也稱為度相關(guān)性，用r表示，定義為：

其中，表示連接剩余度（）為j、k頂點的邊的概率，，。由r的定義式可知，r的值介于-1～1之間。若r>0，則說明網(wǎng)絡(luò)中度的連接是正相關(guān)的，即度大的節(jié)點傾向于和度大的節(jié)點相連，度小的則和度小的相連。反之，若r<0，則說明度是負相關(guān)的，即度大的節(jié)點傾向于和度小的節(jié)點相連。

3 一些實際網(wǎng)絡(luò)的集群系數(shù)c與度同類性r之間的依賴關(guān)系

集群系數(shù)c和度同類性r都是網(wǎng)絡(luò)研究中的重要統(tǒng)計量，從不同的角度反映節(jié)點之間的連接情況，那么我們很容易聯(lián)想到這兩個統(tǒng)計量之間是否也存在一定的依賴關(guān)系？我們做了大量的實證調(diào)研，得到了十九個實際系統(tǒng)的集群系數(shù)c和度同類性r的值。

表1列出了各實際系統(tǒng)的節(jié)點、項目定義及數(shù)據(jù)來源，表1第5、6列為各系統(tǒng)的度同類性值、平均集群系數(shù)。由表1可知，度同類性最大的是物理圖書借閱網(wǎng)，說明在該網(wǎng)中，度大的節(jié)點在很大程度上傾向于和度大的節(jié)點相連，這是符合實際情況的。（見表1）

圖1為這十九個實際系統(tǒng)的集群系數(shù)與度同類性之間的依賴關(guān)系，在單對數(shù)坐標上呈一條較好的直線，說明對于相當一部分網(wǎng)絡(luò)，集群系數(shù)對頂點度是指數(shù)衰減的關(guān)系，即近似為。直觀地說，網(wǎng)絡(luò)的集群系數(shù)越大，其度同類性反而越小。（見圖1）

4 小結(jié)與討論

該文主要研究了集群系數(shù)與度同類性之間的依賴關(guān)系，通過大量的實證統(tǒng)計我們發(fā)現(xiàn)集群系數(shù)對度同類性的依賴關(guān)系滿足指數(shù)函數(shù)關(guān)系，至少對于相當一部分網(wǎng)絡(luò)是成立的。我們期望能通過構(gòu)造合適的模型，來解析的解釋我們得到的結(jié)論，這將是我們下一步工作的目標。

參考文獻

[1] Fu C-H，Zhang Z-P， Chang H，Tao J-R，Chen Z-H，Dai Y-L，Zhang W，He D-R.A kind of collaboration–competition networks[J].Physica A，2008（387）： 1411-1420.

[2] 張培培，侯威，何閱，等.復(fù)雜系統(tǒng)與復(fù)雜性科學(xué)[J].淮揚菜系的網(wǎng)絡(luò)描述，2005，2（2）：9-53.

[3] 何閱，張培培，唐繼英，等.中藥方劑的合作網(wǎng)絡(luò)描述[J].科技導(dǎo)報，2005，23（11）：36-39.

[4] 劉愛芬，付春花，張增平，等.中國大陸電影網(wǎng)絡(luò)的實證統(tǒng)計研究[J].復(fù)雜系統(tǒng)與復(fù)雜性科學(xué)，2007，4（3）：10-16.endprint

摘 要：復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)已經(jīng)成為研究復(fù)雜系統(tǒng)的強有力工具。該文主要探討了網(wǎng)絡(luò)的兩個重要統(tǒng)計性質(zhì)集群系數(shù)與度同類性之間的依賴關(guān)系，通過大量的實證統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)，集群系數(shù)與度同類性滿足指數(shù)衰減關(guān)系，即網(wǎng)絡(luò)的集群系數(shù)越大，其度同類性反而越小。

關(guān)鍵詞：復(fù)雜網(wǎng)絡(luò) 集群系數(shù) 度同類性 依賴關(guān)系 指數(shù)衰減

中圖分類號：G64 文獻標識碼：A 文章編號：1674-098X（2014）08（c）-0055-02

復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的研究和發(fā)展以圖論作為重要基礎(chǔ)，圖論的大量知識在網(wǎng)絡(luò)研究過程中得到了廣泛的應(yīng)用。如在復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)研究中，提出了各種描述和表征網(wǎng)絡(luò)特性的統(tǒng)計量，包括網(wǎng)絡(luò)的距離分布、集群系數(shù)、度與度分布、同類性、群落、層次等。

1 集群系數(shù)

集群系數(shù)，用c表示，是復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)研究中的一個重要的統(tǒng)計性質(zhì)，也是網(wǎng)絡(luò)研究中的重要概念，用來表示網(wǎng)絡(luò)中某一節(jié)點的鄰點之間聯(lián)系的緊密程度。一般地，假設(shè)網(wǎng)絡(luò)中的一個節(jié)點i有條邊將它和其他節(jié)點相連，顯然，在這個節(jié)點之間最多可能有（-1）/2條邊，我們將它們之間實際存在的邊數(shù)記為Ei。則節(jié)點i的集群系數(shù)定義為：

整個網(wǎng)絡(luò)的集群系數(shù)c就是網(wǎng)絡(luò)中所有節(jié)點的集群系數(shù)的平均值，即：

其中，N為該網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點總數(shù)。很明顯，0≤c≤1。c=0時，說明網(wǎng)絡(luò)中所有節(jié)點均為孤立節(jié)點，即沒有任何連邊；c=1時，說明網(wǎng)絡(luò)中的任意兩個節(jié)點都直接相連。通常情況下，c的取值是介于0～1之間的某個中間值。

2 度同類性

頂點度，是復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)研究中的另一個基本又重要的統(tǒng)計性質(zhì)。節(jié)點i的度定義為與該節(jié)點相連接的其他節(jié)點的數(shù)目，即節(jié)點i的鄰點個數(shù)。從直觀上看，一個節(jié)點的度越大意味著這個節(jié)點在某種意義上越“重要”。

同類性，可以分為群落同類性和度同類性。與群落同類性相比度同類性是較常用的，也稱為度相關(guān)性，用r表示，定義為：

其中，表示連接剩余度（）為j、k頂點的邊的概率，，。由r的定義式可知，r的值介于-1～1之間。若r>0，則說明網(wǎng)絡(luò)中度的連接是正相關(guān)的，即度大的節(jié)點傾向于和度大的節(jié)點相連，度小的則和度小的相連。反之，若r<0，則說明度是負相關(guān)的，即度大的節(jié)點傾向于和度小的節(jié)點相連。

3 一些實際網(wǎng)絡(luò)的集群系數(shù)c與度同類性r之間的依賴關(guān)系

集群系數(shù)c和度同類性r都是網(wǎng)絡(luò)研究中的重要統(tǒng)計量，從不同的角度反映節(jié)點之間的連接情況，那么我們很容易聯(lián)想到這兩個統(tǒng)計量之間是否也存在一定的依賴關(guān)系？我們做了大量的實證調(diào)研，得到了十九個實際系統(tǒng)的集群系數(shù)c和度同類性r的值。

表1列出了各實際系統(tǒng)的節(jié)點、項目定義及數(shù)據(jù)來源，表1第5、6列為各系統(tǒng)的度同類性值、平均集群系數(shù)。由表1可知，度同類性最大的是物理圖書借閱網(wǎng)，說明在該網(wǎng)中，度大的節(jié)點在很大程度上傾向于和度大的節(jié)點相連，這是符合實際情況的。（見表1）

圖1為這十九個實際系統(tǒng)的集群系數(shù)與度同類性之間的依賴關(guān)系，在單對數(shù)坐標上呈一條較好的直線，說明對于相當一部分網(wǎng)絡(luò)，集群系數(shù)對頂點度是指數(shù)衰減的關(guān)系，即近似為。直觀地說，網(wǎng)絡(luò)的集群系數(shù)越大，其度同類性反而越小。（見圖1）

4 小結(jié)與討論

該文主要研究了集群系數(shù)與度同類性之間的依賴關(guān)系，通過大量的實證統(tǒng)計我們發(fā)現(xiàn)集群系數(shù)對度同類性的依賴關(guān)系滿足指數(shù)函數(shù)關(guān)系，至少對于相當一部分網(wǎng)絡(luò)是成立的。我們期望能通過構(gòu)造合適的模型，來解析的解釋我們得到的結(jié)論，這將是我們下一步工作的目標。

參考文獻

[1] Fu C-H，Zhang Z-P， Chang H，Tao J-R，Chen Z-H，Dai Y-L，Zhang W，He D-R.A kind of collaboration–competition networks[J].Physica A，2008（387）： 1411-1420.

[2] 張培培，侯威，何閱，等.復(fù)雜系統(tǒng)與復(fù)雜性科學(xué)[J].淮揚菜系的網(wǎng)絡(luò)描述，2005，2（2）：9-53.

[3] 何閱，張培培，唐繼英，等.中藥方劑的合作網(wǎng)絡(luò)描述[J].科技導(dǎo)報，2005，23（11）：36-39.

[4] 劉愛芬，付春花，張增平，等.中國大陸電影網(wǎng)絡(luò)的實證統(tǒng)計研究[J].復(fù)雜系統(tǒng)與復(fù)雜性科學(xué)，2007，4（3）：10-16.endprint

摘 要：復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)已經(jīng)成為研究復(fù)雜系統(tǒng)的強有力工具。該文主要探討了網(wǎng)絡(luò)的兩個重要統(tǒng)計性質(zhì)集群系數(shù)與度同類性之間的依賴關(guān)系，通過大量的實證統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)，集群系數(shù)與度同類性滿足指數(shù)衰減關(guān)系，即網(wǎng)絡(luò)的集群系數(shù)越大，其度同類性反而越小。

關(guān)鍵詞：復(fù)雜網(wǎng)絡(luò) 集群系數(shù) 度同類性 依賴關(guān)系 指數(shù)衰減

中圖分類號：G64 文獻標識碼：A 文章編號：1674-098X（2014）08（c）-0055-02

復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的研究和發(fā)展以圖論作為重要基礎(chǔ)，圖論的大量知識在網(wǎng)絡(luò)研究過程中得到了廣泛的應(yīng)用。如在復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)研究中，提出了各種描述和表征網(wǎng)絡(luò)特性的統(tǒng)計量，包括網(wǎng)絡(luò)的距離分布、集群系數(shù)、度與度分布、同類性、群落、層次等。

1 集群系數(shù)

集群系數(shù)，用c表示，是復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)研究中的一個重要的統(tǒng)計性質(zhì)，也是網(wǎng)絡(luò)研究中的重要概念，用來表示網(wǎng)絡(luò)中某一節(jié)點的鄰點之間聯(lián)系的緊密程度。一般地，假設(shè)網(wǎng)絡(luò)中的一個節(jié)點i有條邊將它和其他節(jié)點相連，顯然，在這個節(jié)點之間最多可能有（-1）/2條邊，我們將它們之間實際存在的邊數(shù)記為Ei。則節(jié)點i的集群系數(shù)定義為：

整個網(wǎng)絡(luò)的集群系數(shù)c就是網(wǎng)絡(luò)中所有節(jié)點的集群系數(shù)的平均值，即：

其中，N為該網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點總數(shù)。很明顯，0≤c≤1。c=0時，說明網(wǎng)絡(luò)中所有節(jié)點均為孤立節(jié)點，即沒有任何連邊；c=1時，說明網(wǎng)絡(luò)中的任意兩個節(jié)點都直接相連。通常情況下，c的取值是介于0～1之間的某個中間值。

2 度同類性

頂點度，是復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)研究中的另一個基本又重要的統(tǒng)計性質(zhì)。節(jié)點i的度定義為與該節(jié)點相連接的其他節(jié)點的數(shù)目，即節(jié)點i的鄰點個數(shù)。從直觀上看，一個節(jié)點的度越大意味著這個節(jié)點在某種意義上越“重要”。

同類性，可以分為群落同類性和度同類性。與群落同類性相比度同類性是較常用的，也稱為度相關(guān)性，用r表示，定義為：

其中，表示連接剩余度（）為j、k頂點的邊的概率，，。由r的定義式可知，r的值介于-1～1之間。若r>0，則說明網(wǎng)絡(luò)中度的連接是正相關(guān)的，即度大的節(jié)點傾向于和度大的節(jié)點相連，度小的則和度小的相連。反之，若r<0，則說明度是負相關(guān)的，即度大的節(jié)點傾向于和度小的節(jié)點相連。

3 一些實際網(wǎng)絡(luò)的集群系數(shù)c與度同類性r之間的依賴關(guān)系

集群系數(shù)c和度同類性r都是網(wǎng)絡(luò)研究中的重要統(tǒng)計量，從不同的角度反映節(jié)點之間的連接情況，那么我們很容易聯(lián)想到這兩個統(tǒng)計量之間是否也存在一定的依賴關(guān)系？我們做了大量的實證調(diào)研，得到了十九個實際系統(tǒng)的集群系數(shù)c和度同類性r的值。

表1列出了各實際系統(tǒng)的節(jié)點、項目定義及數(shù)據(jù)來源，表1第5、6列為各系統(tǒng)的度同類性值、平均集群系數(shù)。由表1可知，度同類性最大的是物理圖書借閱網(wǎng)，說明在該網(wǎng)中，度大的節(jié)點在很大程度上傾向于和度大的節(jié)點相連，這是符合實際情況的。（見表1）

圖1為這十九個實際系統(tǒng)的集群系數(shù)與度同類性之間的依賴關(guān)系，在單對數(shù)坐標上呈一條較好的直線，說明對于相當一部分網(wǎng)絡(luò)，集群系數(shù)對頂點度是指數(shù)衰減的關(guān)系，即近似為。直觀地說，網(wǎng)絡(luò)的集群系數(shù)越大，其度同類性反而越小。（見圖1）

4 小結(jié)與討論

該文主要研究了集群系數(shù)與度同類性之間的依賴關(guān)系，通過大量的實證統(tǒng)計我們發(fā)現(xiàn)集群系數(shù)對度同類性的依賴關(guān)系滿足指數(shù)函數(shù)關(guān)系，至少對于相當一部分網(wǎng)絡(luò)是成立的。我們期望能通過構(gòu)造合適的模型，來解析的解釋我們得到的結(jié)論，這將是我們下一步工作的目標。

參考文獻

[1] Fu C-H，Zhang Z-P， Chang H，Tao J-R，Chen Z-H，Dai Y-L，Zhang W，He D-R.A kind of collaboration–competition networks[J].Physica A，2008（387）： 1411-1420.

[2] 張培培，侯威，何閱，等.復(fù)雜系統(tǒng)與復(fù)雜性科學(xué)[J].淮揚菜系的網(wǎng)絡(luò)描述，2005，2（2）：9-53.

[3] 何閱，張培培，唐繼英，等.中藥方劑的合作網(wǎng)絡(luò)描述[J].科技導(dǎo)報，2005，23（11）：36-39.

[4] 劉愛芬，付春花，張增平，等.中國大陸電影網(wǎng)絡(luò)的實證統(tǒng)計研究[J].復(fù)雜系統(tǒng)與復(fù)雜性科學(xué)，2007，4（3）：10-16.endprint