非線性方程求根的加速方法

王 承，張萬勝，聶維琳

（惠州學(xué)院 數(shù)學(xué)系，廣東 惠州 516005）

在科學(xué)與工程計(jì)算中，經(jīng)常會(huì)遇到如下非線性問題的求解：f（x）=0。因此，尋求一種快速、高效的非線性方程求根方法是一個(gè)重要課題，其在某些實(shí)際問題中起著關(guān)鍵作用。對(duì)于一般非線性方程的求解，最早的有二分法，此外不動(dòng)點(diǎn)迭代方法、牛頓法、不動(dòng)點(diǎn)迭代加速方法、割線法及弦截法等。對(duì)于收斂的迭代過程，只要迭代足夠多次，就可以使結(jié)果達(dá)到任意的精度，但有時(shí)迭代過程收斂緩慢，從而使計(jì)算量變得很大，因此迭代過程的構(gòu)造加速是個(gè)重要的課題。在本文中，我們利用簡(jiǎn)單的迭代公式和幾個(gè)迭代加工公式構(gòu)造幾個(gè)新的迭代公式。通過計(jì)算驗(yàn)證，這幾個(gè)公式在非線性方程求根上有明顯的效果。

1 迭代法的概念及其進(jìn)展

迭代法就是從一個(gè)或者幾個(gè)給定的初始值x0，x1，x2，…，xr出發(fā)，按照某種指定的方法產(chǎn)生一個(gè)序列x0，x1，…，xr，xr+1，…，使得該序列收斂于方程f（x）=0的一個(gè)根x*，

即

由此我們可以看出來，當(dāng)k足夠大時(shí)，可以取xk作為x*的一個(gè)近似值。一般情況下，對(duì)于一種新的解法，為了考察它的有效性，都要討論它的計(jì)算量、收斂階、收斂速度和收斂效率，即考慮什么樣的條件構(gòu)造的序列是收斂的，以及序列中的近似解是按什么樣的誤差下降速度來逼近真實(shí)解的。

2 一種新的求根迭代公式

2.1 迭代公式的一個(gè)定理

定理1[1]假定函數(shù)φ(x)滿足下列兩項(xiàng)條件：

10對(duì)任意x∈[a，b]

有

a≤φ(x)≤b，

20存在正數(shù)L＜1，使對(duì)任意x∈[a，b]

有

則迭代過程xk+1=φ(xk)對(duì)于任何x0∈[a，b]均收斂于方程x=φ(x)的根x*。

2.2 第一個(gè)新的迭代公式

根據(jù)定理1和迭代公式xk+1=φ(xk)，我們構(gòu)造這樣的公式：

且

x∈[a，b]， （3.1）

即

又

所以迭代公式（3.1）可以收斂。

2.3 新公式的驗(yàn)算

下面，我們通過此公式來求f(x)=x3-x-1=0在x0=1.5附近的根x*。

根據(jù)（3.1）令1≤x≤2

得

如下表記錄了各步迭代的結(jié)果，可以看出，僅取6位數(shù)字的情況下，結(jié)果x13和x14完全相同，這時(shí)可以認(rèn)為x13是這個(gè)方程的根。

該公式通過幾次迭代后，可以得出所要求的根，說明這個(gè)迭代公式確實(shí)可用來求解非線性方程的根，盡管其收斂速度較慢，我們可采用以下所做的加速方法對(duì)此進(jìn)行加速。另外，通過幾次驗(yàn)算，可以發(fā)現(xiàn)，用這個(gè)公式求根的快慢與x的范圍選擇也有一定關(guān)系。

3 迭代公式的加工的第一種改進(jìn)方法

3.1 第二個(gè)迭代公式

設(shè)x*是f(x)的根，考慮迭代過程中當(dāng)k充分大時(shí)可以認(rèn)為

解得

公式可變?yōu)?/p>

這樣就構(gòu)造出一個(gè)新的迭代加速公式。

3.2 新公式的驗(yàn)算

我們通過公式（3.2）來求方程x=e-x在x=0.5附近有一個(gè)根。

根據(jù)公式

通過計(jì)算得出如下表結(jié)果：

由表可以得到，該方程的根為0.56714。

加速公式（3.2）是在原公式的基礎(chǔ)上對(duì)誤差進(jìn)行更精細(xì)分析得到，通過比較，加速公式（3.2）在求根的速度上比原迭代公式求根快，加速效果明顯。同時(shí)，該方法具有一定推廣性。

4 迭代公式的加工的第二種改進(jìn)方法

4.1 第三個(gè)新的迭代公式

由迭代公式加速公式

得

令

考慮將之再次進(jìn)行上述加速可得如下公式

即

這樣我們就得到迭代公式（4.2）。

4.2 新的公式的驗(yàn)算

下面我們來求解方程x=e-x在x=0.5附近的一個(gè)根。

解：由于根在x=0.5附近，

則有

L=(e-x)′≈-0.6。

又因?yàn)?/p>

通過計(jì)算得出下表結(jié)果。

這樣我們可以得出該方程的根為0.56714。

新的公式（4.2）是將原來的加速結(jié)果進(jìn)行了再一次同樣的加速。與原迭代公式求根速度對(duì)比，新的公式求根的加速效果相當(dāng)明顯。

5 埃特金方法的改進(jìn)

5.1 第四個(gè)新的迭代公式

由迭代加速公式

則有

令

得

因此，我們就得到迭代公式（3.4）。

5.2 新的公式的驗(yàn)算

我們用公式（3.4）來求下面一個(gè)方程

解：可以看出這個(gè)方程的迭代公式是發(fā)散的。

根據(jù)

取x0=1.5，計(jì)算結(jié)果如表

我們看到，用上面公式可以獲得相當(dāng)好的收斂效果。

與上一種改進(jìn)方法相近，本節(jié)中新的公式也是在原有的埃特金加速方法基礎(chǔ)上，進(jìn)一步進(jìn)行同樣過程的加速而得到，對(duì)結(jié)果進(jìn)行比較，盡管迭代公式形式較為復(fù)雜，但在求根速度上確實(shí)有顯著加快。

6 全文總結(jié)

關(guān)于線性方程的解法和理論已經(jīng)有了深入的研究，迭代法是解非線性方程的常用方法，也是數(shù)值分析中的一種基本方法。本文首先構(gòu)造了一個(gè)最直接的新迭代公式，而后三個(gè)新的公式都是非線性方程求根加速的方法，在一定的程度上能夠在求根中進(jìn)行加速。通過實(shí)驗(yàn)分析，得到了這些算法比原來的算法收斂速度加快，顯示出這些新的算法對(duì)于減少計(jì)算量，提高計(jì)算效率的重要的實(shí)際意義。

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