關(guān)于不定方程

管訓(xùn)貴

（泰州學院 數(shù)理信息學院，江蘇 泰州 225300）

管訓(xùn)貴

（泰州學院 數(shù)理信息學院，江蘇 泰州 225300）

不定方程；解數(shù)；真因數(shù)；解序列

1 引言及主要結(jié)論

二十多年來，不定方程

的正整數(shù)解{ x1, x2, … ,xk}的確定已成為數(shù)論及其相關(guān)領(lǐng)域的一個引人關(guān)注的問題。

1985年，孫琦和曹珍富[1]給出了方程(1)的解數(shù)A(k)的下界，并指出(1)的解在計算機的模記數(shù)法中的數(shù)數(shù)。對于3≤k≤5，方程(1)的正整數(shù)解容易求出，即

1986年，孫琦和曹珍富[2]又證明了 (6)=17 A ：{2,3,7,43,1807,3263441}，{2,3,7,43,1811,654133}，{2,3,7,43,1819,2527 01}，{2,3,7,43,1825,173471}，{2,3,7,43,1945,25271}，{2,3,7,43,1871,51 985}，{2,3,7,43,1901,36139}，{2,3,7,43,2053,15011}，{2,3,7,43,2167,1 9841}，{2,3,7,43,2501,6499}，{2,3,7,43,3041,4447}，{2,3,7,43,3611,361 3}，{2,3,7,47,395,779729}，{2,3,7,47,481,2203}，{2,3,7,53,271,799}，{2,3,7,71,103,61429}，{2,3,11,23,31,47057}。

1997年，吳薇[3]證明了 (7)=27 A ，并給出了其全部正整數(shù)解。本文運數(shù)方程

解的若干性質(zhì)，證明了

k≥7時， A(k +1)＞ A(k )。

首先我們注意到，若xi是方程(1)的解，則有 xi≠1，且i≠j時， gcd(xi,xj)=1。事實上，由(2)可得

根據(jù)(3)式，gcd(xi, xj) | 1，且(2)式顯然不能有 xi=1的解。故不失一般性，我們可假定 1＜ x1＜x2＜…＜x8，gcd(xi,xj)=1，i≠j。

2 若干引理

引理1 若 u1,u2,… ,u7是方程

的正整數(shù)解，則 u1,u2,…,u7,u1u2… u7-1是(2)的一組正整數(shù)解。

證明 直接驗證可得。

引理2 方程(4)共有26組正整數(shù)解：

證明 參見文獻[5]。

引理3 若 u1,u2,… ,u6是方程

的正整數(shù)解，則 u1,u2,… ,u6,x7,x8是(2)的一組正整數(shù)解，其中

證明 易知，

若u1,u2,… ,u6,x7,x8是(2)的一組正整數(shù)解，則

即

整理后可得(6)。

引理4 方程(5)共有9組正整數(shù)解：

證明 參見文獻[6]。

引理5 設(shè) 1＜x1＜ … ＜xr（r＜7）滿足條件

如果存在正整數(shù)xr+1，…，x8， xr＜xr+1＜… ＜x8使得{x1,x2,…,xr,xr+1,…,x8}是方程(2)的一組正整數(shù)解，則

證明 由

知

又

故

證畢。

引理6 設(shè) x1,x2,… ,x6是正整數(shù)，滿足

如果

則當且僅當

存在因數(shù)F使得

時，{ x1,x2,… ,x6,x7,x8}是方程（2）的正整數(shù)解，其中

證明 參見文獻[3]。

3 定理的證明

由引理1、引理2易求出方程(2)的26組正整數(shù)解：

1） x1=2,x2=3,x3=7,x4=43時， {x5,x6,x7,x8}可為

2） x1=2,x2=3,x3=7,x4=47時， {x5,x6,x7,x8}可為

4） x1=2,x2=3,x3=7,x4=67時， {x5,x6,x7,x8}可為{187,283,334651,49836124516793}；

5） x1=2,x2=3,x3=11,x4=17時， {x5,x6,x7,x8}可為{101,149,3109,52495396601}；

6） x1=2,x2=3,x3=11,x4=23時， {x5,x6,x7,x8}可為

7） x1=2,x2=3,x3=11,x4=25時， {x5,x6,x7,x8}可為

{29,1097,2753,144508961849}；

8） x1=2,x2=3,x3=11,x4=31時， {x5,x6,x7,x8}可為{35,67,369067,1770735487289}；

9） x1=2,x2=3,x3=13,x4=25時， {x5,x6,x7,x8}可為{29,67,2981,11294561849}。

由引理4知，

根據(jù)以上結(jié)果可以得到方程(2)的另外 370組正整數(shù)解，其中x1=2，x2=3，x3，x4，x5，x6，x7及x8為：

1）當x1=7,x2= 47,x3= 1807,x4= 3263443時，{x7, x8}可為

2）x3= 7,x4= 43,x5= 1823,x6= 193667時，{x7,x8}可為

3） x3= 7,x4= 47,x5= 395,x6= 779731時，{ x7,x8}可為

4） x3= 7,x4= 47,x5= 403,x6= 19403時， {x7,x8}可為

5） x3= 7,x4= 47,x5= 415,x6= 8111時， {x7,x8}可為

6）x3= 7,x4= 47,x5= 583,x6= 1223時，{x7,x8}可為

7） x3= 7,x4= 55,x5= 179,x6= 24323時， {x7,x8}可為

8） x3= 11,x4= 23,x5= 31,x6= 47059時，{ x7,x8}可為

因此，A(8)≥396。

不難確定 x1= 2或3。事實上，假定 x1＞ 3，則

數(shù)假定矛盾。

數(shù)d (xk)表示xk可能取到的正整數(shù)的個數(shù)。由引理 5知，k≥2時，

若x1= 2，則 x2＞ 2， d ( x2)≤11； x3＞ 6， d ( x3)≤29；x4＞ 42， d (x4)≤167； x5＞ 1806， d (x5)≤5417； x6＞ 3263442，d (x6)≤6526883； x7＞ 10650056950806，d (x7)≤ 1065005695 0805。此時方程（2）的正整數(shù)解的個數(shù)不超過

若x1= 3，則方程(2)無正整數(shù)解。限于篇幅，將另文討論。因此， A(8)＜2.006×1029。綜上，定理得證。

4 結(jié)語

從理論上講，重復(fù)運數(shù)引理5、引理6，再利數(shù)微機可得到方程(2)的全部正整數(shù)解。事實上， x1= 2時，2＜x2＜ 14，x2只可能取3，5，7，9，11，13。

若x1=2， x2=3，則 6＜x3＜ 36，x3只可能取7，11，13，17，19，23，25，29，31，35。

若x1=2， x2=3， x3=7，則 42＜x4＜ 210，x4只可能取43，47，…，205，209。

若x1= 2，x2=3，x3= 7，x4= 43，則 1806＜x5＜ 7224，x5只可能取1807，1811，…，7223。

若x1=2， x2=3， x3= 7， x4= 43， x5= 1807，則3263442＜x6＜ 9790326， x6只 可 能 取 3263443，3263447，…，9790325。

若x1= 2， x2=3， x3= 7， x4=43， x5= 1807，x6= 3263443，則

此時可得方程(2)的256組正整數(shù)解。

若x1= 2， x2=3， x3= 7， x4=43， x5= 1807，x6= 3263447，則

此時可得方程(2)的1組正整數(shù)解。

若x1=2， x2=3， x3= 7， x4= 43， x5= 1807，x6= 9790325，則

但x7,x8均不為整數(shù)，故此時方程(2)沒有 x6=9790325的正整數(shù)解。

盡管理論上能通過上述方法找出方程(2)的全部正整數(shù)解，但實際操作較為困難，能否找到一個最優(yōu)的算法，以便快速地求出方程(2)的全部正整數(shù)解，需要我們進一步去研究。

[2] 孫琦.數(shù)論進入了數(shù)數(shù)學科[J].數(shù)學研究數(shù)評論,1986, 6(4):149-154.

[4] Sun Qi. Some unsolved problems in the diophantine equations[J]. SEA Bull Math, 1(1991): 65-69.

[6] 柯召,孫琦.關(guān)于單位分數(shù)表 1的問題[J].四川大學學報(自然科學版),1964(1):13-29.

（責任編輯、校對：趙光峰）

On the Indeterminate Equation=1

GUAN Xun-gui

(School of Mathematics, Physics & Information Science, Taizhou Normal University, Taizhou 225300, China)

indeterminate equation; true factor; solution sequence

江蘇省教育科學“十二五”規(guī)劃課題資助項目（D201301083）

2013-10-01

管訓(xùn)貴（1963-），男，江蘇興化人，副教授，研究方向為數(shù)論。

O156

A

1009-9115(2014)02-0007-07

10.3969/j.issn.1009-9115.2014.02.002