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    基于決策表分解的屬性約簡(jiǎn)算法

    2014-11-30 07:50:16劉旭東秦亮曦
    關(guān)鍵詞:決策表互信息基數(shù)

    劉旭東,秦亮曦

    (廣西大學(xué) 計(jì)算機(jī)與電子信息學(xué)院,廣西 南寧530004)

    0 引 言

    屬性約簡(jiǎn)的方法很多,但所追求的目標(biāo)相同,就是能夠高效獲得最小約簡(jiǎn)集。然而,找到最小約簡(jiǎn)是一個(gè)NP-h(huán)ard問(wèn)題,通常采用基于屬性重要度等啟發(fā)式搜索算法找到最優(yōu)或次優(yōu)約簡(jiǎn)集,所以如何高效的獲得約簡(jiǎn)結(jié)果是屬性約簡(jiǎn)算法的研究重點(diǎn)。當(dāng)數(shù)據(jù)集較大時(shí),現(xiàn)有一些基于屬性重要度的約簡(jiǎn)算法效率往往比較低。針對(duì)這一問(wèn)題,本文提出了一種基于決策表分解的屬性約簡(jiǎn)算法,不僅能得到較優(yōu)的約簡(jiǎn)集,更能降低時(shí)間復(fù)雜度,較快地得到約簡(jiǎn)結(jié)果。

    1 粗糙集理論的基本概念[1,2]

    定義1 決策表信息系統(tǒng)用S=(U,C∪D,V,f)來(lái)表示,其中,U表示一個(gè)有限非空對(duì)象集 (論域),U = {0,1,2,…,n};C為條件屬性集,D為決策屬性集,通常決策屬性只有一個(gè),且C∩D=;V=∪Va,Va為屬性a的值域;f為信息函數(shù)f:U×(C∪D)→V,a∈(C∪D),x∈U,有f(x,a)∈Va。

    定義2 令P C∪D ,ind(P)= {(x,y)|f(x,a)=f(y,a), a∈P}稱為S的不可區(qū)分關(guān)系。顯然,不可區(qū)分關(guān)系是一個(gè)等價(jià)類。屬性集P將論域U劃分為多個(gè)等價(jià)類,記為U/P。

    定義3 對(duì)于決策表信息系統(tǒng)S,令U/C= {X1,X2,…,Xn},U/D = {Y1,Y2,…,Ym}。條件屬性C 關(guān)于決策屬性D 的正域POSC(D)=∪ {Xi|XiYj,Xi∈U/C,Yj∈U/D}。正域基數(shù)是衡量屬性重要度的一個(gè)重要準(zhǔn)則。

    定義4 對(duì)于決策表信息系統(tǒng)S,若POSP(D)=POSC(D), 且 對(duì) 于 a ∈ P, 有 POSP(D) ≠POS{P-a}(D),則稱P是S的一個(gè)屬性約簡(jiǎn)。

    定義5 若存在2個(gè)對(duì)象x,y,若 a∈C,f(x,a)=f(y,a),且f(x,D)≠f(y,D),則稱S是不相容決策表,即當(dāng)2個(gè)對(duì)象條件屬性相同,但分類不一樣時(shí),此信息系統(tǒng)是不相容決策表,否則就是相容決策表。本文只考慮相容決策表。

    定義6 互信息I(X,Y)是一個(gè)用來(lái)測(cè)量2個(gè)隨機(jī)變量X,Y之間相關(guān)程度的量,I(X,Y)其中,p(x,y)表示隨機(jī)變量X、Y的聯(lián)合分分別是變量X、Y的邊緣分布。

    定義7 在決策表信息系統(tǒng)S= (U,C∪D,V,f)中,有屬性集P C,添加一個(gè)屬性p∈C到P中,獲得的互信息增加量 (信息增益)為gain=I(P∪p,D)-I(P,D)。計(jì)算每個(gè)條件屬性對(duì)決策屬性的gain,gain越大,條件屬性就越重要。

    2 基于決策表分解的屬性約簡(jiǎn)算法及其復(fù)雜度分析

    2.1 算法思路

    一般采用啟發(fā)式算法進(jìn)行屬性約簡(jiǎn),定義一個(gè)啟發(fā)函數(shù),如差別函數(shù)(區(qū)分函數(shù))[3,4]或?qū)傩灾匾群瘮?shù)[5-11],通過(guò)此函數(shù)進(jìn)行屬性約簡(jiǎn)。在基于差別函數(shù)的屬性約簡(jiǎn)算法中,需要通過(guò)比較對(duì)象之間的差異來(lái)構(gòu)造決策表信息系統(tǒng)的區(qū)分矩陣,當(dāng)數(shù)據(jù)集比較大時(shí),空間和時(shí)間復(fù)雜度都比較高,所以一般采用定義屬性重要度函數(shù)的啟發(fā)算法。在基于屬性重要度的屬性約簡(jiǎn)算法中,傳統(tǒng)的約簡(jiǎn)算法(如文獻(xiàn) [5])建立在整個(gè)決策表上,通過(guò)劃分等價(jià)類U/P,不斷計(jì)算POSP(D)是否等于POSC(D)。只有當(dāng)?shù)葍r(jià)類中的所有對(duì)象決策屬性值相同時(shí),這些對(duì)象才屬于正域。也就是說(shuō),只要存在2個(gè)對(duì)象,其決策屬性值不同,那么整個(gè)等價(jià)類都不屬于正域,此時(shí),就不用考慮其它對(duì)象。經(jīng)過(guò)研究,在選取某個(gè)最重要的屬性后,在下一步的迭代過(guò)程中,可以在上一次所求的各個(gè)等價(jià)類中分別計(jì)算正域,而不必在整個(gè)決策表上計(jì)算,并且如果其中一些等價(jià)類已經(jīng)在正域中,就可以忽略這些等價(jià)類。由于每次計(jì)算是建立在已分解的決策表上,所以不需要計(jì)算對(duì)屬性集的正域基數(shù),每次迭代只需計(jì)算對(duì)單個(gè)屬性的正域基數(shù),而且每次迭代所處理的對(duì)象將大大減少。由此設(shè)計(jì)出一個(gè)基于決策表分解的屬性約簡(jiǎn)算法,該算法的主要思想是在每次迭代選取一個(gè)最重要的屬性后,將原有決策表按照所求的等價(jià)類分解成各個(gè)更小的決策表。

    從包含很多條件屬性的決策表信息系統(tǒng)中得到約簡(jiǎn)結(jié)果,通用方法是在每次迭代過(guò)程中挑選最重要的屬性直到找到一個(gè)合適的約簡(jiǎn)集。衡量屬性重要性有很多準(zhǔn)則:正域基數(shù),信息熵,互信息增益等。在傳統(tǒng)的屬性約簡(jiǎn)算法中,一般只采用單一的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)來(lái)衡量屬性的重要度,如基于信息熵的屬性約簡(jiǎn)算法[5]一般以信息熵為評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn),每次迭代選取信息熵最小的屬性;基于正區(qū)域的屬性約簡(jiǎn)算法[6-10]通常以正域基數(shù)為評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn),每次迭代選取正域基數(shù)最大的屬性。當(dāng)存在多個(gè)屬性其衡量標(biāo)準(zhǔn)相同時(shí),采用單一的標(biāo)準(zhǔn)就無(wú)法判別,只能隨機(jī)的選取其中某個(gè)屬性,進(jìn)而影響最終約簡(jiǎn)結(jié)果。本文提出的基于決策表分解的屬性約簡(jiǎn)算法采用正域基數(shù)和互信息增益相結(jié)合的方法來(lái)衡量屬性的重要度。由定義3知,屬性p關(guān)于決策屬性D的正域POSp(D)中個(gè)數(shù)越多,表明正域中不可分辨的對(duì)象個(gè)數(shù)越多,D對(duì)p的依賴度越大,屬性就越重要。由定義7知,添加一個(gè)屬性后,獲得的信息增益越大,表明這個(gè)屬性給分類系統(tǒng)帶來(lái)的信息就越大,該屬性就越重要。本文提出的屬性約簡(jiǎn)算法在每次迭代過(guò)程中,選取正域基數(shù)最大的屬性,當(dāng)存在正域基數(shù)相同時(shí),再選取互信息增益較大的,這樣能更客觀地衡量屬性的重要度,從而得到更小的約簡(jiǎn)結(jié)果。當(dāng)兩者都相同時(shí),說(shuō)明屬性是同等重要的,則隨機(jī)選取一個(gè)。

    2.2 算法描述及復(fù)雜度分析

    輸入:S= (U,C ∪ D,V,f)

    輸出:約簡(jiǎn)結(jié)果RES

    1.for每個(gè)條件屬性p∈C,do

    1.1.for(每個(gè)決策表 (第一次只有一個(gè)決策表)),do

    求出等價(jià)類U/p,然后根據(jù)等價(jià)類計(jì)算正域POSP(D),對(duì)正域進(jìn)行累加。

    2.選取正域基數(shù)最大的屬性p放入RES中。若正域基數(shù)最大的屬性存在多個(gè),則先根據(jù)等價(jià)類求出互信息增益,再選取互信息增益最大的屬性p放入RES中。若互信息增益也相等,則選取序號(hào)靠前的屬性。

    3.分解決策表for(U/p中每個(gè)等價(jià)類),do

    3.1.if(等價(jià)類不在正域中){

    構(gòu)造新決策表:對(duì)象集為等價(jià)類中的元素,條件屬性去除p,決策屬性不變;}

    4.如果決策表不為空,則轉(zhuǎn)到第1步 (決策表已經(jīng)被分解),否則,終止。

    算法的時(shí)間復(fù)雜度分析:劃分等價(jià)類的時(shí)間復(fù)雜度為O (|U|)[6,8],所以第1步計(jì)算正域的時(shí)間復(fù)雜度為O(|C||U|);求信息增益的時(shí)間復(fù)雜度為O (mn),其中,m是條件屬性p的種類,n是決策屬性的種類 (mn<<|C||U|),所以第2步的時(shí)間復(fù)雜度最壞情況下為O (|C|);第3步的時(shí)間復(fù)雜度為O (|U|),所以每層遞歸的時(shí)間復(fù)雜度為O (|C||U|)。由于每層遞歸要處理的對(duì)象數(shù)目|U|不斷減小,條件屬性個(gè)數(shù)|C|也不斷減少。當(dāng)不存在冗余屬性時(shí),需要遞歸|C|次,所以最壞情況下,時(shí)間復(fù)雜度為O (|C|2|U|)。

    2.3 實(shí)例分析

    在表1中,有7個(gè)對(duì)象,4個(gè)條件屬性a,b,c,d,一個(gè)決策屬性e。先劃分等價(jià)類,ind({a})= {{0,2,3,4,5},{1,6}},ind({b})= {{0,2,3},{1,6},{4,5}},ind({c})={{0,6},{1,2,3,4,5}},ind({d})= {{0,3,5},{1,4,6},2},ind({e})= {{0,5},{1,3},{2,4,6}}。通過(guò)等價(jià)類計(jì)算正域,POS{a}{e}=,POS{b}{e}=,POS{c}{e}=,POS{d}{e}= {2}。 所以選取屬性 d, 得 RES = {d}。U/{d}= {{0,3,5},{1,4,6},{2}},構(gòu)造2個(gè)新決策表,見(jiàn)表2、表3。

    表1 決策表S

    表2 決策表S1

    表3 決策表S2

    在決策表S1和S2中,先劃分等價(jià)類,對(duì)S1:ind({a})= {{0,3,5}},ind({b})= {{0,3},{5}},ind({c})= {{0}, {3,5]},ind({e}) = {{0,5}, {3]}; 對(duì) S2:ind({a})= {{1,6},{4}},ind({b})= {{1,6},{4}},ind({c})= {{1,4},{6}},ind({e})= {{1},{4,6}}。

    再計(jì)算正域:POS{a}{e}=+{4}= {4};POS{b}{e}={5}+{4}= {5,4};POS{c}{e}= {0}+{6}= {0,6}。b,c的正域基數(shù)相等,計(jì)算信息增益,gain(b)=0.2516,gain(c)=0.2516。于是,選取屬性b,RES = {d,b}。U/{b}={{0,3},{5},{1,6},{4}},再構(gòu)造新決策表,見(jiàn)表4、表5。

    在決策表S11和S21中,對(duì)S11:ind({a})= {{0,3}},ind({c})= {{0},{3}},ind({e})= {{0,3}};對(duì)S21:ind({a})= {{1,6}},ind({c})= {{1},{6}},ind({e})={{1},{6}}。再計(jì)算正域,POS{a}{e}= {0,3}+= {0,3};POS{c}{e}= {0,3}+{1,6}= {0,3,1,6}。所以取屬性c,RES={d,b,c}。此時(shí),沒(méi)有構(gòu)造決策表的對(duì)象,故算法終止。約簡(jiǎn)結(jié)果是 {d,b,c]。

    表4 決策表S11

    表5 決策表S21

    3 實(shí)驗(yàn)分析

    收集UCI數(shù)據(jù)庫(kù)中8個(gè)數(shù)據(jù)集對(duì)文獻(xiàn) [5]中的算法(原算法)和本文提出的算法 (改進(jìn)算法)進(jìn)行對(duì)比測(cè)試。算法用C++編寫(xiě),實(shí)驗(yàn)環(huán)境為 Windows XP,Pentium4 3.0GHz,512M內(nèi)存,Code:Blocks10.05。數(shù)據(jù)集規(guī)模見(jiàn)表6。

    表6 數(shù)據(jù)集

    為了不影響測(cè)試結(jié)果,mushroom數(shù)據(jù)集中去掉了含有缺失值的對(duì)象。如果是連續(xù)型數(shù)據(jù),則先進(jìn)行離散化處理。由于不同數(shù)據(jù)集運(yùn)行時(shí)間的跨度比較大,所以把實(shí)驗(yàn)結(jié)果放在2個(gè)圖中。實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖1,圖2,表7所示。由表7知,改進(jìn)算法與原算法得到的約簡(jiǎn)結(jié)果相同,說(shuō)明改進(jìn)算法是正確可行的。由圖1,圖2知,在運(yùn)行時(shí)間上,改進(jìn)算法比原算法都得到了不同程度的提高,其中mushroom提高的幅度最大,原算法需要25.469s,改進(jìn)算法只要0.578s。原算法隨著數(shù)據(jù)集的增加,運(yùn)行時(shí)間逐漸增加,但改進(jìn)算法的運(yùn)行時(shí)間不一定。比如,mushroom比chess大,但時(shí)間明顯要少于chess,主要原因有2點(diǎn):①mushroom中含有大量冗余屬性,約簡(jiǎn)結(jié)果中只有3個(gè)屬性,算法只需迭代3次,而chess卻需要迭代31次;②mushroom的約簡(jiǎn)結(jié)果是 {a5,a20,a3} (a5表示第5個(gè)條件屬性),a5的正域基數(shù)為2868,所以在下一次迭代中只需考慮2776個(gè)對(duì)象,a20的正域基數(shù)為2664,所以在下一次迭代中只需考慮112個(gè)對(duì)象,這樣一來(lái),計(jì)算時(shí)間大大降低了。所以改進(jìn)的算法在mushroom數(shù)據(jù)集上運(yùn)行效率最高。由此說(shuō)明,改進(jìn)算法要優(yōu)于原算法。

    表7 約簡(jiǎn)結(jié)果對(duì)比圖 (屬性個(gè)數(shù))

    圖1 算法運(yùn)行時(shí)間對(duì)比1(單位:秒)

    圖2 算法運(yùn)行時(shí)間對(duì)比2(單位:秒)

    4 結(jié)束語(yǔ)

    本文針對(duì)大多數(shù)屬性約簡(jiǎn)算法運(yùn)行效率不高的問(wèn)題,提出了一種基于決策表分解的屬性約簡(jiǎn)算法。此算法通過(guò)不斷對(duì)決策表進(jìn)行分解,避免了許多重復(fù)計(jì)算,降低了計(jì)算時(shí)間。結(jié)合正域基數(shù)和互信息增益能更客觀地衡量屬性的重要性。對(duì)算法進(jìn)行了時(shí)間復(fù)雜度分析,并通過(guò)實(shí)驗(yàn)對(duì)算法的效率進(jìn)行了測(cè)試。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明,該算法運(yùn)行效率要優(yōu)于文獻(xiàn) [5]中的算法。當(dāng)數(shù)據(jù)集越大且含有較多冗余屬性時(shí),提高的幅度越明顯。今后的工作集中在以下幾個(gè)方面:對(duì)連續(xù)型數(shù)據(jù)屬性約簡(jiǎn)的研究,對(duì)不相容決策表的約簡(jiǎn)研究,以及將約簡(jiǎn)結(jié)果用于分類中。

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