基于三次樣條插值的小波模極大值去噪算法

趙鴻圖，劉 云

（河南理工大學(xué) 計算機科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，河南 焦作454000）

0 引 言

目前，研究者們在模極大值理論基礎(chǔ)上對信號去噪算法提出了許多新的思想和新的改進［1－4］?，F(xiàn)主要采用的是傳統(tǒng)模極大值直接重構(gòu)算法和交替投影法，傳統(tǒng)模極大值直接重構(gòu)算法由于對各尺度上一些非模極大值點的小波系數(shù)［5，6］都置為零，損失了信號的信息，降低了算法的精度。即使此算法程序簡單，去噪速度快，但是重構(gòu)后的信號失真太大。1992年，Mallat提出了一種很逼近小波系數(shù)的精密的交替投影算法［7］，該算法保留了那些非模極大值的點，不會損失掉微弱的有用信號，保證了信號的完整性，經(jīng)過反復(fù)的交替投影，的確達到了很高的精度，但是計算量太大，收斂速度太慢。在文獻 ［8］中，韓民等提出了一種基于Hermite插值的小波模極大值重構(gòu)信號的算法；在文獻［9］中，劉躍華等提出了一種拋物線插值的重構(gòu)算法。

本文在傳統(tǒng)模極大值直接重構(gòu)算法和交替投影法的基礎(chǔ)上，提出了一種基于三次樣條插值［10］的小波模極大值去噪算法，利用Adhoc算法［11］搜索信號產(chǎn)生的模極大值點，形成模極大值線。對于保留下來的模極大值點進行三次樣條插值，得到信號的估計小波系數(shù)，進而用估計小波系數(shù)重構(gòu)原始信號，達到濾波去噪的目的。該算法不但確保了信息的完整性，又保證了收斂速度的快捷性。

1 小波模極大值與李氏指數(shù)的關(guān)系

由于小波基并不是固定不變的，只要滿足允許條件即可，其小波的表現(xiàn)形式也不是唯一的。設(shè)在尺度s 下，Wf（s，x）是卷積型小波變換，小波變換卷積形式表示為

數(shù)學(xué)上，李氏 （Lipschitz）指數(shù)可以用來表示函數(shù)的局部正則性。在信號處理中，信號的奇異點表征信號在該處出現(xiàn)了突變或者間斷，發(fā)生了奇異性改變。所以信號的奇異性包含信號的許多信息，通常采用Lipschitz指數(shù)來分析和研究信號突變點的奇異性，其定義如下

設(shè)函數(shù)f（x）在x0附近有

則稱f（x）在x0處的李氏指數(shù)為α。α越大，該點的光滑度越高；α越小，該點的奇異性越大。當(dāng)x 在區(qū)間［a，b］時，f（x）的小波變換滿足

取s＝2j，對式 （4）兩邊取對數(shù)得

由式 （5）可知，小波模極大值與α有密切關(guān)系，若α＞0，f（x）在該點的小波模極大值與尺度j是正增長關(guān)系；若α＜0，f（x）在該點的小波模極大值與尺度j是負增長的關(guān)系；若α＝0，則該點處的小波模極大值不發(fā)生變化。

2 Adhoc算法

Adhoc算法就是通過大尺度上的模極大值點來找到小尺度的模極大值點，以形成模極大值線。本文采用Adhoc算法估計Lipschitz指數(shù)，進而獲得模極大值線上要傳播到下一尺度的模極大值點。雖然Adhoc算法不是最優(yōu)算法，但是能夠抑制模極大值漂移，可以解決錯選模極大值傳播點的問題，是一種簡單有效的算法。Adhoc算法搜索傳播點步驟如下：

（1）從最大尺度J開始，往小尺度方向搜索。設(shè)x0為尺度J上的一個模極大值點，其前后的2個模極大值點分別為x1和x2，x′1是x1的傳播點，則x0在尺度J－1下對應(yīng)的傳播點區(qū)間L ＝（max（x1，x′1），x2）。

（2）在尺度j－1下，L 上與x0同符號的點（t1，t2，…，tn）中，若ti滿足

則ti為x0的傳播點。

（3）若不存在這樣的點，則在L上，如果滿足

那么點ti為x0的傳播點x′0。

（5）重復(fù)以上過程，直至尺度j＝2，將搜索的各尺度上的模極大值點xi，x′i，x″i…作為信號極大值線上的點給予保留。

3 基于三次樣條插值的小波模極大值去噪算法

為了采用小波模極大值的思想重構(gòu)信號，提高信號重構(gòu)的精度，最重要的是找到一個函數(shù)使得函數(shù)的最大值與小波模極大值相一致。由于三次樣條函數(shù)的中心對應(yīng)模極大值點，函數(shù)的最大值與模極大值正好吻合，這樣不僅解決了模極大值點由于分布稀疏或者稠密而引起的插值區(qū)間分布不均的問題，還保證了信號的光滑性，降低了信號的失真度。

3.1 基于三次樣條插值的小波模極大值算法步驟

其算法步驟如下：

（1）對帶噪信號進行離散二進小波變換，尺度j＝4；（2）求出各尺度上小波變換系數(shù)對應(yīng)的模極大值點；

（3）對最大尺度J上的模極大值點進行閾值處理，如果模極大值點對應(yīng)的幅值的絕對值小于閾值T，則剔除該極值點；否則予以保留。選取的閾值T 為

式中：N——噪聲功率；J——所取的最大尺度；Z——常數(shù)，一般取Z＝2；A——最大模極大值點的幅度。

（4）從最大尺度J開始利用Adhoc算法向上搜索其對應(yīng)的模極大值線，尋找下一尺度的傳播點，直到j(luò)＝2，搜索到所有信號模極大值點為止；

（5）將各尺度保留下來的信號的模極大值點采用三次樣條函數(shù)插值算法估計小波系數(shù)，進而重建信號，具體如下：

2）在信號區(qū)間［a，b］上插入n個模極大值點，a ＝x1＜x2＜… ＜xn＝b，對應(yīng)的函數(shù)值為y1，y2，…，yn，邊界條件y′1，y′2，g（x）在［xj，xj＋1］上的三次多項式為

設(shè)

計算

4）將方程組寫成矩陣形式

由式 （10）可知方程組的系數(shù)矩陣是三對角陣且是對角占優(yōu)陣，故存在唯一解。將求得解代入下式，即可構(gòu)造［a，b］上的插值函數(shù)，如下所示

利用式 （11）可以計算出每一尺度上的構(gòu)造函數(shù)，從而得到小波系數(shù)重構(gòu)原始信號，實現(xiàn)濾波去噪的目的。

3.2 算法流程圖

其算法流程如圖1所示。

圖1 本文算法流程

4 實驗仿真結(jié)果

在MATLAB 環(huán)境下，分別采用交替投影法和本文改進的插值算法對帶噪信號進行去噪處理，信號長度為1024，選取db3小波進行4層分解，實驗仿真結(jié)果如圖2～圖5所示。

圖2 原始信號

圖3 帶噪信號

圖4 交替投影法重構(gòu)后的信號

圖5 本文改進算法重構(gòu)后的信號

通過圖4和圖5比較，我們可以發(fā)現(xiàn)，這2種算法都能在一定程度上去除噪聲，但交替投影法重構(gòu)后的信號在許多點上波形發(fā)生了變化，例如在788凹口處，本來原信號的幅值在最低值2處，而交替投影法重構(gòu)后的信號幅值基本保留在幅值4處，該算法去噪的同時也把原來信號的信息去除了，產(chǎn)生了一定的失真；本文改進的算法去噪效果明顯優(yōu)于交替投影法，去噪后的信號不很光滑，卻在突變點處保留了信號的重要信息，重構(gòu)后信號與原始信號基本一致。

通過圖6，顯而易見，經(jīng)過2種算法重構(gòu)后，各層的模極大值點位置有很大的懸殊，交替投影法重構(gòu)后疏漏了很多模極大值點，例如在j＝2層上，第1個模極大值點疏漏掉了，而且有的地方模極大值點對應(yīng)的位置也產(chǎn)生了漂移；而本文改進算法重構(gòu)后基本沒損失模極大值點，模極大值點的位置很直觀，易于查找，對應(yīng)的位置也很穩(wěn)定，大大降低了信號的失真度。

圖6 信號的模極大值點位置

經(jīng)交替投影法和本文改進算法去噪后，信號的信噪比見表1。

表1 去噪算法的信噪比

從表1中信號信噪比數(shù)據(jù)來看，2種方法去噪后的信噪比增益都很大，但本文改進算法的信噪比高于交替投影法，性能明顯優(yōu)于交替投影法。

2種算法運算時間的比較見表2。

表2 去噪算法運算時間

從表2中算法運算時間來看，本文改進算法的運算時間比交替投影法快了87ms，收斂速度和去噪性能明顯優(yōu)于交替投影算法。

5 結(jié)束語

本文研究了交替投影算法運算量大和收斂速度慢的問題，并提出了一種改進算法，利用三次樣條函數(shù)對信號模極大值進行插值，得到小波系數(shù)，進而重構(gòu)原始信號。經(jīng)過仿真結(jié)果表明，該改進算法是一種很有效的去噪方法，便于實現(xiàn)，與交替投影法相比，該算法不僅達到了很高的精度，運算量和運算時間也明顯減少。但是也存在一些缺陷，比如傳播鄰域以及插值函數(shù)構(gòu)造問題，這些都需要我們進一步研究。

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