利用物理意義推導(dǎo)二重積分的計(jì)算公式

杜美華

摘 要： 二重積分化為累次積分是非常重要的公式，本文從實(shí)際出發(fā)，利用積分的物理意義推導(dǎo)二重積分的計(jì)算公式。

關(guān)鍵詞： 二重積分 物理意義 公式

在高等數(shù)學(xué)的教材中，二重積分的實(shí)際意義有幾何意義和物理意義兩種，分別代表是曲頂柱體的體積和平面薄片的質(zhì)量，但是傳統(tǒng)教材中只是從幾何意義出發(fā)，給出二重積分的計(jì)算公式。在本文中將從物理意義出發(fā)，給出直角坐標(biāo)系下二重積分的計(jì)算公式。

假設(shè)區(qū)域D為X型區(qū)域，f（x，y）在區(qū)域D內(nèi)連續(xù)，則區(qū)域D上二重積分的計(jì)算公式為

■f（x，y）dxdy=？蘩■■dx？蘩■■f（x，y）dy（1）

引理：設(shè)有一桿粗細(xì)可以忽略，占有實(shí)數(shù)軸上的區(qū)間[x■，x■]，其線密度為ρ（x），則此桿的質(zhì)量為m=？蘩■■ρ（x）dx。

設(shè)有一平面薄片占有平面區(qū)域D，其面密度為f（x，y），由二重積分的物理意義可知，此薄片的質(zhì)量為

m=■f（x，y）dxdy（2）

下面推導(dǎo)公式（1）。

？坌x∈[a，b]，過(guò)x作平行于y軸的直線，分別交區(qū)域D的邊界于點(diǎn)A、B，則區(qū)域D可以看成是這些平行于y軸的直線段AB的集合，從而平面薄片的質(zhì)量為所有這些直線段質(zhì)量的總和，直線段AB上的點(diǎn)橫坐標(biāo)都為x，縱坐標(biāo)y由φ■（x）到φ■（x），其線密度為f（x，y）（x看作常數(shù)），由引理知其質(zhì)量為

m（x）=？蘩■■ρ（y）dy=？蘩■■f（x，y）dy（3）

另外，將直線段AB投影于x軸，投影點(diǎn)即為x，相應(yīng)地將直線段AB的質(zhì)量壓縮在點(diǎn)x上，則平面薄片的質(zhì)量亦即為閉區(qū)間[a，b]的質(zhì)量。由（3）可知，閉區(qū)間[a，b]的線密度為m（x），于是閉區(qū)間[a，b]的質(zhì)量為

m=？蘩■■m（x）dx=？蘩■■[？蘩■■f（x，y）dy]dx

=？蘩■■dx？蘩■■f（x，y）dy

由（2）式可知，

■f（x，y）dxdy=？蘩■■dx？蘩■■f（x，y）dy

同理，此方法對(duì)Y型區(qū)域也成立。

特別的，當(dāng)f（x，y）=1，（x，y）∈D時(shí)，面密度為常數(shù)1，此時(shí)由公式

m=μ×σ

其中μ為面密度，σ薄片的面積，可知二重積分

■f（x，y）dxdy=■1dxdy=σ

這是和幾何意義推導(dǎo)二重積分的計(jì)算公式是不相違背的。

用物理意義來(lái)推導(dǎo)二重積分的計(jì)算公式，能加強(qiáng)對(duì)二重積分物理意義的理解，也加強(qiáng)了知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，也讓學(xué)生理解到二重積分能夠解決能用這一類和式的極限■■f（ξ■，η■）△σ■求解的實(shí)際的問(wèn)題。類似的，三重積分利用物理意義，在直角坐標(biāo)系下將立體分別投影在坐標(biāo)面上和數(shù)軸上，可得“2+1”模式的投影法和“1+2”模式的截面法。

參考文獻(xiàn)：

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