運(yùn)用余弦定理解三角形的一類錯(cuò)誤認(rèn)識(shí)

施元蘭

正弦定理、余弦定理都是揭示三角形邊角之間數(shù)量關(guān)系的重要定理，要求能夠運(yùn)用正余弦定理解決一些簡(jiǎn)單的三角形度量問題.學(xué)了正、余弦定理后，不少同學(xué)為判斷三角形的解的個(gè)數(shù)而煩惱，當(dāng)三角形中已知兩邊和其中一邊的對(duì)角時(shí)，可能出現(xiàn)一解、二解、無解等情況，雖然書上也有相應(yīng)的方法，可是一些同學(xué)茫然依舊.

近日在網(wǎng)上拜讀了不少關(guān)于如何判斷三角形的解的個(gè)數(shù)的文章，不少文章都認(rèn)為在△ABC中，已知a，b和角A，常?？蓪?duì)角A應(yīng)用余弦定理，并將其整理為關(guān)于c的一元二次方程c2-2bccosA+b2-a2=0，若該方程無解或只有負(fù)數(shù)解，則該三角形無解；若方程有一個(gè)正數(shù)解，則該三角形有一解；若方程有兩個(gè)不等的正數(shù)解，則該三角形有兩解.

本人最近正好遇到當(dāng)三角形中已知兩邊和其中一邊的對(duì)角求解第三邊的問題，發(fā)現(xiàn)這類觀念有不當(dāng)之處.

請(qǐng)看下例：

例1 在△ABC中，a=2，b=7，B=60°，則c= .

已知兩邊及其中一邊對(duì)角利用正弦定理求解，解法如下：

在△ABC中，由正弦定理asinA=bsinB=csinC，

得sinA=asinBb=2·327=37，

因?yàn)閟inC=sin[π-（A+B）]=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB.

又因?yàn)閍

因?yàn)閟inA=37，所以cosA=467，

所以sinC=37·12+467·32=（46+1）143.

在△ABC中由正弦定理asinA=bsinB=csinC，

得c=bsinCsinB=7·（46+1）14332=46+1.

讀者不難看出本例已知兩邊及其中一邊對(duì)角，利用正弦定理程序的繁瑣性、計(jì)算的復(fù)雜性不言而喻，下面請(qǐng)看利用余弦定理解決本例的過程：

在△ABC中，由余弦定理得

cosB=a2+c2-b22ac=22+c2-722×2×c=cos60°，即c2-2c-45=0，解得c=46+1（舍負(fù)），所以c=46+1.

本例利用余弦定理程序的簡(jiǎn)潔、計(jì)算的簡(jiǎn)單一目了然.本解法中對(duì)角B應(yīng)用余弦定理，并將其整理為關(guān)于c的一元二次方程c2-2accosB+a2-b2=0，由于該方程僅有一個(gè)正數(shù)解，故該三角形有且僅有一解.而下面筆者要舉的兩個(gè)例子一個(gè)是利用余弦定理時(shí)關(guān)于c的一元二次方程有兩正根，三角形有兩解；一個(gè)是利用余弦定理時(shí)關(guān)于c的一元二次方程有兩個(gè)正根，但三角形卻僅有一解.

例2 在△ABC中，已知a=8，b=7，B=60°，則c= .

本例如何利用正弦定理解決以及利用正弦定理解決的缺點(diǎn)不再贅述，下面利用余弦定理來解決問題：

在△ABC中，由余弦定理得

cosB=a2+c2-b22ac=82+c2-722×8×c=cos60°，

即c2-8c+15=0，解得c=3或c=5，

事實(shí)上，當(dāng)c=3時(shí)，可以有a=8，b=7，B=60°；而c=5時(shí)同樣可以有a=8，b=7，B=60°，故本題有兩解.

本例中僅僅是將例1中邊a的值做了改變，其最終結(jié)果導(dǎo)致我們?cè)趯?duì)角B應(yīng)用余弦定理，并將其整理為關(guān)于c的一元二次方程c2-2accosB+a2-b2=0時(shí)關(guān)于c的方程有兩正數(shù)解，故該三角形有兩解.再看下例：

例3 在△ABC中，已知，a=6，b=5，A=2B，則c的值是 .

本例可以先利用正弦定理結(jié)合A與B的關(guān)系求出cosB=35，然后求出sinB、sinA、cosA、sinC，最后再次利用正弦定理解決問題，下面請(qǐng)看求出cosB=35之后如何利用余弦定理解題的過程：

在△ABC中，由余弦定理得

cosB=a2+c2-b22ac=62+c2-522×6×c=35，

即5c2-36c+55=0，解得c=5或c=115，當(dāng)c=5時(shí)，b=5，故c=b，又因?yàn)锳=2B，所以2B+B+B=π，即B=π4，這與cosB=35矛盾，故c=5不合題意，舍去，

所以c=115.

由此例可知“已知a，b和角B，常?？蓪?duì)角B應(yīng)用余弦定理，并將其整理為關(guān)于c的一元二次方程c2-2accosB+a2-b2=0，若該方程無解或只有負(fù)數(shù)解，則該三角形無解；若方程有一個(gè)正數(shù)解，則該三角形有一解；若方程有兩個(gè)不等的正數(shù)解，則該三角形有兩解”，這樣的觀念是錯(cuò)誤的.關(guān)于如何判斷三角形解的個(gè)數(shù)的問題，《必修5》在第8頁(yè)到第9頁(yè)的“探究與發(fā)現(xiàn)”《解三角形的進(jìn)一步討論》中有詳細(xì)說明，在此不再贅述.

本文例2和例3提醒我們：已知a，b和角B，常?？蓪?duì)角B應(yīng)用余弦定理，并將其整理為關(guān)于c的一元二次方程c2-2accosB+a2-b2=0，即使該方程有兩個(gè)正根，三角形也不一定有兩解，還應(yīng)該結(jié)合條件，利用三角形內(nèi)角和定理、大邊對(duì)大角等進(jìn)行檢驗(yàn)，以防增根混入.

正弦定理、余弦定理都是揭示三角形邊角之間數(shù)量關(guān)系的重要定理，要求能夠運(yùn)用正余弦定理解決一些簡(jiǎn)單的三角形度量問題.學(xué)了正、余弦定理后，不少同學(xué)為判斷三角形的解的個(gè)數(shù)而煩惱，當(dāng)三角形中已知兩邊和其中一邊的對(duì)角時(shí)，可能出現(xiàn)一解、二解、無解等情況，雖然書上也有相應(yīng)的方法，可是一些同學(xué)茫然依舊.

近日在網(wǎng)上拜讀了不少關(guān)于如何判斷三角形的解的個(gè)數(shù)的文章，不少文章都認(rèn)為在△ABC中，已知a，b和角A，常?？蓪?duì)角A應(yīng)用余弦定理，并將其整理為關(guān)于c的一元二次方程c2-2bccosA+b2-a2=0，若該方程無解或只有負(fù)數(shù)解，則該三角形無解；若方程有一個(gè)正數(shù)解，則該三角形有一解；若方程有兩個(gè)不等的正數(shù)解，則該三角形有兩解.

本人最近正好遇到當(dāng)三角形中已知兩邊和其中一邊的對(duì)角求解第三邊的問題，發(fā)現(xiàn)這類觀念有不當(dāng)之處.

請(qǐng)看下例：

例1 在△ABC中，a=2，b=7，B=60°，則c= .

已知兩邊及其中一邊對(duì)角利用正弦定理求解，解法如下：

在△ABC中，由正弦定理asinA=bsinB=csinC，

得sinA=asinBb=2·327=37，

因?yàn)閟inC=sin[π-（A+B）]=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB.

又因?yàn)閍

因?yàn)閟inA=37，所以cosA=467，

所以sinC=37·12+467·32=（46+1）143.

在△ABC中由正弦定理asinA=bsinB=csinC，

得c=bsinCsinB=7·（46+1）14332=46+1.

讀者不難看出本例已知兩邊及其中一邊對(duì)角，利用正弦定理程序的繁瑣性、計(jì)算的復(fù)雜性不言而喻，下面請(qǐng)看利用余弦定理解決本例的過程：

在△ABC中，由余弦定理得

cosB=a2+c2-b22ac=22+c2-722×2×c=cos60°，即c2-2c-45=0，解得c=46+1（舍負(fù)），所以c=46+1.

本例利用余弦定理程序的簡(jiǎn)潔、計(jì)算的簡(jiǎn)單一目了然.本解法中對(duì)角B應(yīng)用余弦定理，并將其整理為關(guān)于c的一元二次方程c2-2accosB+a2-b2=0，由于該方程僅有一個(gè)正數(shù)解，故該三角形有且僅有一解.而下面筆者要舉的兩個(gè)例子一個(gè)是利用余弦定理時(shí)關(guān)于c的一元二次方程有兩正根，三角形有兩解；一個(gè)是利用余弦定理時(shí)關(guān)于c的一元二次方程有兩個(gè)正根，但三角形卻僅有一解.

例2 在△ABC中，已知a=8，b=7，B=60°，則c= .

本例如何利用正弦定理解決以及利用正弦定理解決的缺點(diǎn)不再贅述，下面利用余弦定理來解決問題：

在△ABC中，由余弦定理得

cosB=a2+c2-b22ac=82+c2-722×8×c=cos60°，

即c2-8c+15=0，解得c=3或c=5，

事實(shí)上，當(dāng)c=3時(shí)，可以有a=8，b=7，B=60°；而c=5時(shí)同樣可以有a=8，b=7，B=60°，故本題有兩解.

本例中僅僅是將例1中邊a的值做了改變，其最終結(jié)果導(dǎo)致我們?cè)趯?duì)角B應(yīng)用余弦定理，并將其整理為關(guān)于c的一元二次方程c2-2accosB+a2-b2=0時(shí)關(guān)于c的方程有兩正數(shù)解，故該三角形有兩解.再看下例：

例3 在△ABC中，已知，a=6，b=5，A=2B，則c的值是 .

本例可以先利用正弦定理結(jié)合A與B的關(guān)系求出cosB=35，然后求出sinB、sinA、cosA、sinC，最后再次利用正弦定理解決問題，下面請(qǐng)看求出cosB=35之后如何利用余弦定理解題的過程：

在△ABC中，由余弦定理得

cosB=a2+c2-b22ac=62+c2-522×6×c=35，

即5c2-36c+55=0，解得c=5或c=115，當(dāng)c=5時(shí)，b=5，故c=b，又因?yàn)锳=2B，所以2B+B+B=π，即B=π4，這與cosB=35矛盾，故c=5不合題意，舍去，

所以c=115.

由此例可知“已知a，b和角B，常?？蓪?duì)角B應(yīng)用余弦定理，并將其整理為關(guān)于c的一元二次方程c2-2accosB+a2-b2=0，若該方程無解或只有負(fù)數(shù)解，則該三角形無解；若方程有一個(gè)正數(shù)解，則該三角形有一解；若方程有兩個(gè)不等的正數(shù)解，則該三角形有兩解”，這樣的觀念是錯(cuò)誤的.關(guān)于如何判斷三角形解的個(gè)數(shù)的問題，《必修5》在第8頁(yè)到第9頁(yè)的“探究與發(fā)現(xiàn)”《解三角形的進(jìn)一步討論》中有詳細(xì)說明，在此不再贅述.

本文例2和例3提醒我們：已知a，b和角B，常?？蓪?duì)角B應(yīng)用余弦定理，并將其整理為關(guān)于c的一元二次方程c2-2accosB+a2-b2=0，即使該方程有兩個(gè)正根，三角形也不一定有兩解，還應(yīng)該結(jié)合條件，利用三角形內(nèi)角和定理、大邊對(duì)大角等進(jìn)行檢驗(yàn)，以防增根混入.

正弦定理、余弦定理都是揭示三角形邊角之間數(shù)量關(guān)系的重要定理，要求能夠運(yùn)用正余弦定理解決一些簡(jiǎn)單的三角形度量問題.學(xué)了正、余弦定理后，不少同學(xué)為判斷三角形的解的個(gè)數(shù)而煩惱，當(dāng)三角形中已知兩邊和其中一邊的對(duì)角時(shí)，可能出現(xiàn)一解、二解、無解等情況，雖然書上也有相應(yīng)的方法，可是一些同學(xué)茫然依舊.

近日在網(wǎng)上拜讀了不少關(guān)于如何判斷三角形的解的個(gè)數(shù)的文章，不少文章都認(rèn)為在△ABC中，已知a，b和角A，常常可對(duì)角A應(yīng)用余弦定理，并將其整理為關(guān)于c的一元二次方程c2-2bccosA+b2-a2=0，若該方程無解或只有負(fù)數(shù)解，則該三角形無解；若方程有一個(gè)正數(shù)解，則該三角形有一解；若方程有兩個(gè)不等的正數(shù)解，則該三角形有兩解.

本人最近正好遇到當(dāng)三角形中已知兩邊和其中一邊的對(duì)角求解第三邊的問題，發(fā)現(xiàn)這類觀念有不當(dāng)之處.

請(qǐng)看下例：

例1 在△ABC中，a=2，b=7，B=60°，則c= .

已知兩邊及其中一邊對(duì)角利用正弦定理求解，解法如下：

在△ABC中，由正弦定理asinA=bsinB=csinC，

得sinA=asinBb=2·327=37，

因?yàn)閟inC=sin[π-（A+B）]=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB.

又因?yàn)閍

因?yàn)閟inA=37，所以cosA=467，

所以sinC=37·12+467·32=（46+1）143.

在△ABC中由正弦定理asinA=bsinB=csinC，

得c=bsinCsinB=7·（46+1）14332=46+1.

讀者不難看出本例已知兩邊及其中一邊對(duì)角，利用正弦定理程序的繁瑣性、計(jì)算的復(fù)雜性不言而喻，下面請(qǐng)看利用余弦定理解決本例的過程：

在△ABC中，由余弦定理得

cosB=a2+c2-b22ac=22+c2-722×2×c=cos60°，即c2-2c-45=0，解得c=46+1（舍負(fù)），所以c=46+1.

本例利用余弦定理程序的簡(jiǎn)潔、計(jì)算的簡(jiǎn)單一目了然.本解法中對(duì)角B應(yīng)用余弦定理，并將其整理為關(guān)于c的一元二次方程c2-2accosB+a2-b2=0，由于該方程僅有一個(gè)正數(shù)解，故該三角形有且僅有一解.而下面筆者要舉的兩個(gè)例子一個(gè)是利用余弦定理時(shí)關(guān)于c的一元二次方程有兩正根，三角形有兩解；一個(gè)是利用余弦定理時(shí)關(guān)于c的一元二次方程有兩個(gè)正根，但三角形卻僅有一解.

例2 在△ABC中，已知a=8，b=7，B=60°，則c= .

本例如何利用正弦定理解決以及利用正弦定理解決的缺點(diǎn)不再贅述，下面利用余弦定理來解決問題：

在△ABC中，由余弦定理得

cosB=a2+c2-b22ac=82+c2-722×8×c=cos60°，

即c2-8c+15=0，解得c=3或c=5，

事實(shí)上，當(dāng)c=3時(shí)，可以有a=8，b=7，B=60°；而c=5時(shí)同樣可以有a=8，b=7，B=60°，故本題有兩解.

本例中僅僅是將例1中邊a的值做了改變，其最終結(jié)果導(dǎo)致我們?cè)趯?duì)角B應(yīng)用余弦定理，并將其整理為關(guān)于c的一元二次方程c2-2accosB+a2-b2=0時(shí)關(guān)于c的方程有兩正數(shù)解，故該三角形有兩解.再看下例：

例3 在△ABC中，已知，a=6，b=5，A=2B，則c的值是 .

本例可以先利用正弦定理結(jié)合A與B的關(guān)系求出cosB=35，然后求出sinB、sinA、cosA、sinC，最后再次利用正弦定理解決問題，下面請(qǐng)看求出cosB=35之后如何利用余弦定理解題的過程：

在△ABC中，由余弦定理得

cosB=a2+c2-b22ac=62+c2-522×6×c=35，

即5c2-36c+55=0，解得c=5或c=115，當(dāng)c=5時(shí)，b=5，故c=b，又因?yàn)锳=2B，所以2B+B+B=π，即B=π4，這與cosB=35矛盾，故c=5不合題意，舍去，

所以c=115.

由此例可知“已知a，b和角B，常?？蓪?duì)角B應(yīng)用余弦定理，并將其整理為關(guān)于c的一元二次方程c2-2accosB+a2-b2=0，若該方程無解或只有負(fù)數(shù)解，則該三角形無解；若方程有一個(gè)正數(shù)解，則該三角形有一解；若方程有兩個(gè)不等的正數(shù)解，則該三角形有兩解”，這樣的觀念是錯(cuò)誤的.關(guān)于如何判斷三角形解的個(gè)數(shù)的問題，《必修5》在第8頁(yè)到第9頁(yè)的“探究與發(fā)現(xiàn)”《解三角形的進(jìn)一步討論》中有詳細(xì)說明，在此不再贅述.

本文例2和例3提醒我們：已知a，b和角B，常常可對(duì)角B應(yīng)用余弦定理，并將其整理為關(guān)于c的一元二次方程c2-2accosB+a2-b2=0，即使該方程有兩個(gè)正根，三角形也不一定有兩解，還應(yīng)該結(jié)合條件，利用三角形內(nèi)角和定理、大邊對(duì)大角等進(jìn)行檢驗(yàn)，以防增根混入.