Excel中用Newton迭代法求解土的最優(yōu)含水率和最大干密度的方法

彭永凱

（中鐵隧道集團有限公司 工程試驗中心， 洛陽 471009）

土的擊實試驗是鐵路、水利（水庫壩體）等工程設(shè)計和施工中必須使用的一項基礎(chǔ)試驗。目前，在擊實試驗的數(shù)據(jù)后處理上，用Excel已經(jīng)非常普遍，不過仍有不少人在計算最優(yōu)含水率和最大干密度的取值時采用圖解或一元二次方程求最大值等方法。這些方法存在一定問題：圖解法人為誤差較大，一元二次方程求最大值法只有效利用了3個擊實結(jié)果，誤差較大。本文主要介紹在Excel中根據(jù)試驗數(shù)據(jù)自動生成擊實曲線，趨勢線擬合公式，再用Newton迭代法求解高次方程，得出最優(yōu)含水率和最大干密度的方法。

l 擊實曲線與擬合公式的確定

按照《鐵路工程土工試驗規(guī)程》等有關(guān)試驗規(guī)程的規(guī)定，同一土樣須配制成5份以上不同含水率的試件，并分別測定含水率和相對應(yīng)的試件重，從而得出不同含水量時土壤的干密度，再以含水率（%）為橫坐標、干密度（g/cm3）為縱坐標，在坐標紙上繪出相對應(yīng)的點，按數(shù)據(jù)點在圖上的走勢，繪成圓滑的曲線，曲線峰值對應(yīng)的含水量與千容重即為最優(yōu)含水率（ω）與最大干密度（ρd）。而此曲線即為擊實曲線。

與擊實試驗規(guī)程的規(guī)定相對應(yīng)的數(shù)值分析方法就是插值，常用的插值方法為Lagrange多項式插值。根據(jù)Lagrange插值多項式的定義可知其性質(zhì)為：Lagrange插值多項式的存在是唯一的。也就是說通過已知的數(shù)據(jù)點只能做出唯一的一條曲線滿足Lagrange插值函數(shù)的定義。Lagrange插值多項式對應(yīng)的曲線通過所有的離散數(shù)據(jù)點，相關(guān)系數(shù)等于1。用鼠標右鍵單擊圖表上的任一數(shù)據(jù)點，單擊彈出的快捷菜單中的“添加趨勢線”，再單擊“選項”按鈕，選擇“顯示R平方值”可以驗證插值多項式的相關(guān)系數(shù)等于1。對于擊實試驗數(shù)據(jù)來說，Lagrange插值多項式的階數(shù)通常為試驗數(shù)據(jù)的個數(shù)減去1，即當(dāng)試驗數(shù)據(jù)個數(shù)為5時，相應(yīng)的Lagrange插值多項式的階數(shù)為4，這時候干密度—含水量的關(guān)系表達式為：

其中，f(x)為當(dāng)含水量為x時的干密度，x為含水量，a、b、c、d、e為插值系數(shù)。

2 擊實曲線的繪制與擬合公式的生成

在Excel中：（1）采用表1（某土樣擊實結(jié)果）數(shù)據(jù),以含水率ω(%)為橫坐標、干密度ρd(g/cm3)為縱坐標插入僅帶數(shù)據(jù)標記點的散點圖。（2）在散點圖中右鍵點擊其中一數(shù)據(jù)標記點，選擇添加趨勢線，趨勢預(yù)測/回歸分析類型為多項式，順序為4，勾選顯示公式、顯示R平方值。（3）右鍵點擊所生成的公式，設(shè)置趨勢線標簽格式，選擇數(shù)字，數(shù)字的小數(shù)位數(shù)修改為6。至此，所生成的圖1散點圖中趨勢線為表1試驗數(shù)據(jù)的擊實曲線，圖1中公式為擬合公式，R為相關(guān)系數(shù)。

表1 某土樣擊實結(jié)果

擊實曲線為一凸曲線，極大值即為最大干密度，所對應(yīng)含水率為最優(yōu)含水率，可求解擬合公式（y＝f(x)）的極大值和對應(yīng)的x取得。

圖1 由表1擊實數(shù)據(jù)繪制的ρd-ω關(guān)系曲線與擬合結(jié)果

3 最優(yōu)含水率與最大干密度的求解

在試驗的含水率區(qū)間內(nèi)，對擬合公式y(tǒng)＝f(x)求導(dǎo)，y為最大干密度值。為一元三次方程，可通過卡爾丹公式求解?？柕す脚袆e條件較多，不利于Excel自動計算，本文用Newton迭代法求解，通用性強，并適用于更高次方程的求解。

Newton迭代法：設(shè)f(x*)=0, f'(x*)≠0,且f(x)在x*的領(lǐng)域N(x*)內(nèi)有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則Newton迭代格式：

至少是平方收斂的。

設(shè)：f(x) = ax4+bx3+cx2+dx+e= 0.001519x4-0.076543x3+1.411141x2-11.257362x+34.559444

則：f'(x)=4ax3+3bx2+2cx+d=0.006076x3-0.229629x2+2.822282x-11.257362

f"(x)=12ax2+6bx+2c=0.018228x2-0.459258x+2.822282

取x0＝12.9（表1某土樣擊實結(jié)果中最大干密度對應(yīng)的含水率），用Newton迭代法迭代過程見表2。

表2 Newton迭代法迭代過程

由表2可知，該迭代計算收斂速度非?？欤瑇2=x3=x4=x5=x6, x2即為最終迭代結(jié)果，是最優(yōu)含水率。把最優(yōu)含水率代進f(x) = ax4+bx3+cx2+dx+e，求得最大干密度f(x)＝1.92。

把計算結(jié)果（最優(yōu)含水率12.6%，最大干密度1.92 g/cm3)與圖1比較，可知此計算結(jié)果與從圖上直接估讀值接近，理論上精度更高。

在Excel中完成如上節(jié)中所述的步驟（2）和步驟（3）后，以后再有擊實數(shù)據(jù)，則可以輸入擊實試驗數(shù)據(jù)后自動生成擊實曲線，求得最優(yōu)含水率和最大干密度，省時、省力且精度良好。

4 結(jié)束語

土的最大干密度和最優(yōu)含水率可以用數(shù)解法確定。本文重點介紹利用Excel處理擊實數(shù)據(jù)，生成擊實曲線并計算最優(yōu)含水量和最大干密度的方法。文中舉例介紹了本方法的核心內(nèi)容，由于Excel最多可進行6階多項式擬合，因此，本方法可以處理7個擊實數(shù)據(jù)內(nèi)的所有擊實問題。

[1]黃 英，符必昌. 確定土的最大干密度和最優(yōu)含水率 [J].巖土工程學(xué)報，2002，24（4）.

[2]王兵團，張作泉，趙平福. 數(shù)值分析簡明教程[M]. 北京：清華大學(xué)出版社，北京交通大學(xué)出版社，2012，8.