基于一道高考題的習(xí)題課教學(xué)研究

張傳鵬

課程標(biāo)準(zhǔn)前言中指出，數(shù)學(xué)在形成人類理性思維和促進(jìn)個(gè)人智力發(fā)展的過(guò)程中發(fā)揮著獨(dú)特的、不可替代的作用；而理性思維的形成又是以數(shù)學(xué)題目為載體的. 習(xí)題課的作用是：熟練方法，形成技能；暴露問(wèn)題，查漏補(bǔ)缺；揭示聯(lián)系，更新認(rèn)知；訓(xùn)練思維，培養(yǎng)能力；嘗試調(diào)整，感受體驗(yàn)；發(fā)現(xiàn)、獲取探索方法或思路等.下面，筆者就高三一輪復(fù)習(xí)中的導(dǎo)數(shù)復(fù)習(xí)，談一下習(xí)題課教學(xué)研究.

一、學(xué)生先行 給學(xué)生獨(dú)立思考空間

習(xí)題課教學(xué)的基礎(chǔ)是教師精選“好題”，人教社章建躍老師認(rèn)為好題的標(biāo)準(zhǔn)是：能反映數(shù)學(xué)本質(zhì)，與重要的數(shù)學(xué)概念和性質(zhì)相關(guān)，體現(xiàn)基礎(chǔ)知識(shí)的聯(lián)系性，解題方法自然、多樣，具有發(fā)展性，表述形式簡(jiǎn)潔、流暢且好懂.

例1 已知函數(shù)f（x）=lnx，g（x）=ax2+bx，a≠0.設(shè)函數(shù)f（x）的圖象C1與函數(shù)g（x）的圖象C2交于點(diǎn)P，Q，過(guò)線段PQ的中點(diǎn)作x軸的垂線分別交C1，C2于點(diǎn)M，N，請(qǐng)證明：C1在點(diǎn)M處的切線與C2在點(diǎn)N處的切線不平行.

本題是2005年湖南省高考試題，在導(dǎo)數(shù)綜合復(fù)習(xí)時(shí)絕對(duì)是一道“好題”.本題可以考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義和利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，在講解此題時(shí)，教師不要僅僅是把答案寫在黑板上就可以了，這樣的教學(xué)過(guò)程只注重知識(shí)的強(qiáng)化，沒(méi)有鍛煉學(xué)生的思維和自主解決問(wèn)題的能力. 在問(wèn)題給出后，一定要讓學(xué)生先獨(dú)立思考，體現(xiàn)出學(xué)生的主動(dòng)性和創(chuàng)造性，使學(xué)生獨(dú)自面對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)能想、能做.

二、交流呈現(xiàn) 展現(xiàn)思維過(guò)程

通過(guò)學(xué)生先行，給學(xué)生足夠的思考過(guò)程，讓學(xué)生在做題中去感悟，去體會(huì)，充分關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)的思維過(guò)程. 學(xué)生通過(guò)自己的思考，展示自己的證法，經(jīng)整理大致有以下三種方法.

證明：設(shè)點(diǎn)P，Q的坐標(biāo)分別是P（x1，y1），Q（x2，y2），0

（證法一）：假設(shè)C1在點(diǎn)M處的切線與C2在點(diǎn)N處的切線平行，則k1=k2. 即=+b，根據(jù)等式的特點(diǎn)，兩邊同乘（x2-x1）得=（[x2][2]-[x1][2]）+b（x2-x1）=（[x2][2]+bx2）-（[x1][2]+bx1）=y2-y1=lnx2-lnx1. 即=，整理得ln=.設(shè)t=，則lnt=，t>1. ①. 令r（t）=lnt-，t>1.

通過(guò)求導(dǎo)分析得到函數(shù)r（t）在[1，+∞）上單調(diào)遞增. 故r（t）>r（1）=0. 則lnt>. 這與①矛盾，假設(shè)不成立. 故C1在點(diǎn)M處的切線與C2在點(diǎn)N處的切線不平行.

（證法二）：同證法一得（x2+x1）（lnx2-lnx1）=2（x2-x1）.因?yàn)閤1>0，所以（+1）ln=2（-1）.令t=，得（t+1）lnt-2（t-1）=0，t>1. ②

令r（t）=（t+1）lnt-2（t-1），t>1，通過(guò)求導(dǎo)分析得到r（t）在[1，+∞）上單調(diào)遞增.

故r（t）>r（1）=0即（t+1）lnt-2（t-1）>0，這與②矛盾，假設(shè)不成立.

（證法三）：令h（x）=lnx-ax2-bx，易知a>0，且h（x1）=h（x2）=0. 圖象C1在點(diǎn)M處的切線與圖象C2在點(diǎn)N處的切線平行，等價(jià)于h′（）=0. 而h′（x）=-ax-b，h′（）=-a（）-b，假設(shè)h′（）=0，則有-a（）-b=0===.整理得=，所以ln=.設(shè)t=，則lnt=，t>1①， 后面同解法一了.

三、教師斷后 透徹分析 拓展延伸

學(xué)生在經(jīng)過(guò)自己的獨(dú)立思考后，教師斷后的功能可以使學(xué)生的思維得到更進(jìn)一步的發(fā)展. 此時(shí)教師可以點(diǎn)評(píng)學(xué)生的解法，或者提出問(wèn)題的更優(yōu)解法，點(diǎn)評(píng)問(wèn)題的通解與巧解的關(guān)系，分析問(wèn)題的本質(zhì). 或者把問(wèn)題拓展推廣，從而提高學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.

（一）教師斷后 點(diǎn)評(píng)學(xué)生的解法

證法一和證法二中，都是先假設(shè)C1在點(diǎn)M處的切線與圖象C2在點(diǎn)N處的切線平行，則k1=k2. 得到=+b，根據(jù)等式的特點(diǎn)，兩邊同乘（x2-x1）得=，同乘（x2-x1）這一步是證法一和證法二的難點(diǎn)，證法一和證法二的區(qū)別在于構(gòu)造了不同的函數(shù)，本質(zhì)上是相同的.

證法三則通過(guò)構(gòu)造函數(shù)h（x）=lnx-ax2-bx，把題目中需要研究?jī)蓚€(gè)函數(shù)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為研究一個(gè)函數(shù)的性質(zhì)就可以了. 圖象C1在點(diǎn)M處的切線與C2在點(diǎn)N處的切線平行，等價(jià)于h′（）=0.然后根據(jù)式子結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，把0寫成是這種解法的難點(diǎn).

（二）教師斷后 講解更優(yōu)的解法

在證法三中，證明了h′（）≠0，由于h（x1）=h（x2）=0.也就是需要證明在區(qū)間[x1，x2]上函數(shù)h（x）的圖象不是關(guān)于x=對(duì)稱的就可以了. 因此可以考慮充分利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，畫出函數(shù)h（x）的草圖，如圖1，從而使問(wèn)題得證. 教師給出以下解法.

（證法四）：令h（x）=lnx-ax2-bx，易知a>0，且h（x1）=h（x2）=0. ∴h′（x）=-ax-b=，令m（x）=h′（x）=-ax-b，則m′（x）=--a<0恒成立，所以m（x）為單調(diào)遞減函數(shù)，令φ（x）=m′（x）=--a，則φ′（x）=>0，所以知函數(shù)m′（x）為遞增函數(shù)，且m（x）為遞減函數(shù).

由圖2可知，自變量在（x1，x0）上的上升速率要大于區(qū)間（x0，x2）上的下降速率，所以x0不可能是區(qū)間（x1，x2）的中點(diǎn). ∵h(yuǎn)′（x0）=0，∴h′（）≠0，所以圖象C1在點(diǎn)M處的切線與圖象C2在點(diǎn)N處的切線不平行.

這種方法的難點(diǎn)是要對(duì)函數(shù)進(jìn)行多次求導(dǎo)，學(xué)生要對(duì)導(dǎo)數(shù)的幾何意義靈活運(yùn)用.

（三）教師斷后 講透問(wèn)題的實(shí)質(zhì)

前三種證明方法中，都得到了>，那么這個(gè)不等式背后的幾何意義是什么呢？不等式>的幾何背景是：函數(shù)f（x）=lnx，A（a，f（a）），B（b，f（b））是函數(shù)f（x）圖象上不同的兩點(diǎn)，且a>b>0，則有f′（）

證明：∵kAB=，所以要證f′（）<，即證>，只要證ln>，令=t>1，也就是只要證（t+1）lnt-2（t-1）>0，此不等式在證法二中已證明.

（四）教師斷后 把問(wèn)題進(jìn)行拓展延伸

若把函數(shù)f（x）=lnx換為f（x）=mx+n+lnx后，是否仍然有f′（）

拓展問(wèn)題1.函數(shù)f（x）=mx+n+lnx，A（a，f（a）），B（b，f（b））是函數(shù)f（x）圖象上不同的兩點(diǎn)，且a>b>0，則有f′（）

拓展問(wèn)題2.函數(shù)f（x）=mx2+nx+p+lnx，A（a，f（a）），B（b，f（b））是函數(shù)f（x）圖象上不同的兩點(diǎn)，且a>b>0，則有f′（）

限于篇幅，讀者可自行證明拓展問(wèn)題1和拓展問(wèn)題2，這兩個(gè)命題也都是真命題