一種基于設(shè)備運(yùn)行的預(yù)防性維護(hù)與生產(chǎn)批量聯(lián)合決策模型

張?jiān)谰?，陸志?qiáng)

（1.上海交通大學(xué) 機(jī)械與動(dòng)力工程學(xué)院，上海 200240；2.同濟(jì)大學(xué) 機(jī)械與能源工程學(xué)院，上海 201804）

0 引言

有限產(chǎn)能批量問(wèn)題（Capacitated Lot-Sizing Problem，CLSP）在生產(chǎn)計(jì)劃制定過(guò)程中引入設(shè)備的產(chǎn)能約束來(lái)保證計(jì)劃的最終可行性，研究者就此提出不少擴(kuò)展模型及相應(yīng)算法，用以解決生產(chǎn)系統(tǒng)在不同作業(yè)環(huán)境中的產(chǎn)品批量決策問(wèn)題［1-3］。在實(shí)際生產(chǎn)過(guò)程中，生產(chǎn)計(jì)劃的最終實(shí)現(xiàn)還取決于設(shè)備的穩(wěn)定性，故障及事后維修都將占用生產(chǎn)系統(tǒng)有限的產(chǎn)能資源并導(dǎo)致初始計(jì)劃不可行，因此在生產(chǎn)計(jì)劃決策過(guò)程中必須兼顧設(shè)備的預(yù)防性維護(hù)，以減少這些不確定性對(duì)計(jì)劃的影響。同時(shí)，設(shè)備維護(hù)的費(fèi)用支出在制造型企業(yè)的運(yùn)營(yíng)成本中占有相當(dāng)高的比例［4］，將生產(chǎn)計(jì)劃與預(yù)防性維護(hù)進(jìn)行聯(lián)合決策，有助于優(yōu)化系統(tǒng)的作業(yè)安排，減少相應(yīng)的成本支出。

目前生產(chǎn)與維護(hù)聯(lián)合決策的相關(guān)研究多側(cè)重于生產(chǎn)系統(tǒng)的調(diào)度層面［5］，從中長(zhǎng)期層面進(jìn)行兩者整合研究的文獻(xiàn)相對(duì)較少且存在一定問(wèn)題。Weinstein等［6］提出基于設(shè)備運(yùn)行（run-based）和基于時(shí)間間隔（interval-based）的預(yù)防性維護(hù)策略與生產(chǎn)計(jì)劃相結(jié)合的多層次模型，兩種維護(hù)策略的主要區(qū)別在于：前者的維護(hù)節(jié)點(diǎn)取決于設(shè)備的實(shí)際運(yùn)行時(shí)間，當(dāng)設(shè)備負(fù)荷不一致時(shí)可柔性調(diào)整維護(hù)周期；后者僅在設(shè)定的周期對(duì)設(shè)備進(jìn)行維護(hù)，較適合設(shè)備負(fù)荷比較平穩(wěn)的生產(chǎn)過(guò)程。Aghezzaf等［7］提出周期性預(yù)防維護(hù)與CLSP相結(jié)合的數(shù)學(xué)模型，主要采用基于時(shí)間間隔的預(yù)防性維護(hù)策略，即維護(hù)決策主要根據(jù)設(shè)備所經(jīng)歷的生產(chǎn)周期而不是周期內(nèi)的實(shí)際運(yùn)行時(shí)間，導(dǎo)致在設(shè)備負(fù)荷較低時(shí)容易造成過(guò)度維護(hù)，該聯(lián)合模型和獨(dú)立的維護(hù)與生產(chǎn)批量決策過(guò)程相比，降低的總成本不足1%。在此基礎(chǔ)上Fitouhi等［8］提出非周期性的預(yù)防性維護(hù)與CLSP的聯(lián)合模型，設(shè)備在建模過(guò)程中仍主要受生產(chǎn)周期的影響而非實(shí)際運(yùn)行時(shí)間，與Aghezzaf等［7］的周期性維護(hù)建模方法相比，總成本降低1.5%，意味著基于時(shí)間間隔的預(yù)防性維護(hù)策略在建立聯(lián)合模型中的改進(jìn)效果均不明顯。Aghezzaf［9］和Najid［10］等同樣采用基于時(shí)間間隔的策略對(duì)生產(chǎn)批量和預(yù)防性維護(hù)進(jìn)行聯(lián)合建模研究。因?yàn)镃LSP在每個(gè)生產(chǎn)周期的動(dòng)態(tài)需求容易導(dǎo)致設(shè)備負(fù)荷不均衡，所以在理想狀態(tài)下預(yù)防性維護(hù)計(jì)劃需根據(jù)設(shè)備負(fù)荷做出相應(yīng)調(diào)整，以避免設(shè)備過(guò)度維護(hù)或維護(hù)不足，故采用基于設(shè)備運(yùn)行的維護(hù)策略更加合理。另一方面，上述聯(lián)合模型均假設(shè)預(yù)防性維護(hù)僅在生產(chǎn)周期開(kāi)始階段執(zhí)行，因此維護(hù)的最短時(shí)間間隔為一個(gè)生產(chǎn)周期，不能處理維護(hù)周期小于一個(gè)生產(chǎn)周期的情況，而在實(shí)際生產(chǎn)環(huán)境中這種情況經(jīng)常出現(xiàn)［6］。針對(duì)以上問(wèn)題，本文提出一種基于設(shè)備運(yùn)行的預(yù)防性維護(hù)與生產(chǎn)批量的聯(lián)合決策模型，同時(shí)將設(shè)備維護(hù)節(jié)點(diǎn)擴(kuò)展到生產(chǎn)周期的任意范圍，且允許在同一生產(chǎn)周期內(nèi)進(jìn)行多次預(yù)防性維護(hù)作業(yè)，最后引用相關(guān)文獻(xiàn)中的算例，將本文模型與Aghezzaf［7］和Fitouhi等［8］的聯(lián)合模型進(jìn)行對(duì)比分析，來(lái)說(shuō)明該建模方法的優(yōu)越性。

1 生產(chǎn)批量與預(yù)防性維護(hù)的聯(lián)合建模

1.1 問(wèn)題描述

考慮某一單設(shè)備生產(chǎn)系統(tǒng)需在T 個(gè)生產(chǎn)周期內(nèi)安排N 種產(chǎn)品的批量，設(shè)備在每個(gè)生產(chǎn)周期的最大產(chǎn)能為Kmax，第i種產(chǎn)品在周期t 內(nèi)的需求量為dit，單位加工時(shí)間為ai，允許缺貨發(fā)生。設(shè)備setup、產(chǎn)品生產(chǎn)、庫(kù)存持有及缺貨的單位成本分別為sit，cit，hit和bit，對(duì)應(yīng)的決策變量為yit，xit，Iit和Bit。同時(shí)需要決策設(shè)備的預(yù)防性維護(hù)計(jì)劃，以減少故障，提高產(chǎn)能的實(shí)際利用率。維護(hù)可在生產(chǎn)周期的任意節(jié)點(diǎn)進(jìn)行并使設(shè)備修復(fù)如新，維護(hù)周期可以大于或小于一個(gè)生產(chǎn)周期，設(shè)備的狀態(tài)只受其實(shí)際運(yùn)行時(shí)間影響，非生產(chǎn)時(shí)間范圍內(nèi)不發(fā)生故障，生產(chǎn)期間發(fā)生故障時(shí)立刻進(jìn)行小修并使設(shè)備修復(fù)如舊，預(yù)防性維護(hù)和遇故障小修所需的時(shí)間分別為tpm和tcm，單位成本分別為cpm和ccm。

1.2 設(shè)備的有效役齡

因?yàn)橐粋€(gè)生產(chǎn)周期內(nèi)最多生產(chǎn)N 個(gè)產(chǎn)品批量，所以假設(shè)一個(gè)生產(chǎn)周期內(nèi)可最多執(zhí)行N 次預(yù)防性維護(hù)，用0-1變量upt表示在生產(chǎn)周期t內(nèi)第p 個(gè)批量之前是否執(zhí)行預(yù)防性維護(hù)，用0-1 變量Ypit表示是否在第p 個(gè)預(yù)防性維護(hù)之后生產(chǎn)第i種產(chǎn)品。用τpt表示第p 個(gè)生產(chǎn)批量之后設(shè)備的有效役齡（effective age），即最近一次預(yù)防性維護(hù)至第p 個(gè)生產(chǎn)批量之間設(shè)備的累計(jì)運(yùn)行時(shí)間：

式中：（1-upt）τN，t-1和（1-upt）τp-1，t為第p 個(gè)產(chǎn)品批量開(kāi)始時(shí)的設(shè)備役齡，表示生產(chǎn)第p個(gè)批量后新增的設(shè)備役齡。如果執(zhí)行第p 個(gè)預(yù)防性維護(hù)（upt=1），則設(shè)備獲得完全更新，之前生產(chǎn)過(guò)程中累積的設(shè)備役齡將歸零，否則役齡將繼續(xù)進(jìn)行累加。同時(shí)可建立yit與Ypit之間的關(guān)系：

1.3 預(yù)期的故障次數(shù)和維護(hù)節(jié)點(diǎn)

用wpt表示周期t內(nèi)第p 個(gè)產(chǎn)品批量生產(chǎn)過(guò)程中故障發(fā)生的預(yù)期次數(shù)，

式中r（x）為設(shè)備故障率，可通過(guò)已知的故障概率密度函數(shù)f（x）進(jìn)行推導(dǎo)。如果不考慮產(chǎn)品批量之間的設(shè)備閑置問(wèn)題，則預(yù)防性維護(hù)的執(zhí)行節(jié)點(diǎn)可表示為

1.4 設(shè)備的產(chǎn)能約束

由于設(shè)備的預(yù)防性維護(hù)與故障后的小修活動(dòng)都會(huì)耗損相應(yīng)的產(chǎn)能，一個(gè)生產(chǎn)周期內(nèi)有效用于生產(chǎn)的時(shí)間將會(huì)減少，原先有限產(chǎn)能批量問(wèn)題中的產(chǎn)能約束需相應(yīng)調(diào)整：

1.5 聯(lián)合建模

上述生產(chǎn)批量和預(yù)防性維護(hù)聯(lián)合決策模型（CLSP-R）可表示為：

其中：聯(lián)合模型的目標(biāo)函數(shù)（8）是最小化生產(chǎn)與維護(hù)相關(guān)的總成本，式（9）是不同生產(chǎn)周期的物料平衡表達(dá)式，式（10）判斷不同產(chǎn)品批量的設(shè)備調(diào)整準(zhǔn)備操作與產(chǎn)量的一致性，式（11）～式（12）是對(duì)變量取值的約束，式（1）～式（7）涉及生產(chǎn)與預(yù)防性維護(hù)決策變量之間的相互關(guān)系。若要求預(yù)防性維護(hù)僅在生產(chǎn)周期開(kāi)始階段進(jìn)行決策，則僅需增加每個(gè)生產(chǎn)周期內(nèi)關(guān)于維護(hù)次數(shù)的約束

2 算例分析

將Aghezzaf等［7］和Fitouhi等［8］的聯(lián)合模型分別記為CLSP-CI和CLSP-NCI，這里采用Fitouhi等［8］中的算例對(duì)三個(gè)模型進(jìn)行對(duì)比，以下計(jì)算過(guò)程中用表示生產(chǎn)成本（PC），用表示維護(hù)成本（MC），總成本（TC）為上述兩項(xiàng)成本之和，由于三個(gè)模型均存在非線性化表達(dá)式，采用Lingo對(duì)上述模型進(jìn)行求解。

綜上所述，情景教學(xué)法可以將抽象的知識(shí)更為形象地展示給學(xué)生，加深學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解。在小學(xué)科學(xué)課堂教學(xué)中應(yīng)用情景教學(xué)法，調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)科學(xué)知識(shí)的興趣。將實(shí)際生活融入到教學(xué)情境中，使學(xué)生獲得情感上的滿足，改變以往單一、沉悶的課堂氛圍。利用多媒體創(chuàng)設(shè)情境，豐富教學(xué)資源，可以幫助教師開(kāi)展高效的教學(xué)課堂，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率。

2.1 算例

假設(shè)需安排兩種產(chǎn)品在8 個(gè)生產(chǎn)周期內(nèi)的生產(chǎn)批量，表1 所示為生產(chǎn)兩種產(chǎn)品的單位加工時(shí)間和生產(chǎn)相關(guān)的成本參數(shù)。生產(chǎn)設(shè)備故障服從Weibull分布，規(guī)模與形狀參數(shù)分別為η=100與β=2，一個(gè)生產(chǎn)周期內(nèi)的最大產(chǎn)能Kmax=50，其他設(shè)備相關(guān)的參數(shù)分別為cpm=4 000，ccm=1 000，tpm=1，tcm=4.5。

表2 所示為每個(gè)生產(chǎn)周期內(nèi)的產(chǎn)品需求及CLSP-R 模型的計(jì)算結(jié)果。表3對(duì)三個(gè)聯(lián)合模型的生產(chǎn)、維護(hù)和總成本進(jìn)行了比較，因?yàn)镃LSP-R 排除了設(shè)備閑置、預(yù)防性維護(hù)及小修期間的發(fā)生故障的可能性，并且增加了用于生產(chǎn)決策的實(shí)際產(chǎn)能，所以各項(xiàng)成本均小于其他兩種建模方法。表4比較了不同建模方法條件下每個(gè)生產(chǎn)周期內(nèi)預(yù)期的故障次數(shù)，CLSP-CI和CLSP-NCI中的故障次數(shù)主要與預(yù)防性維護(hù)計(jì)劃相關(guān)，一旦維護(hù)節(jié)點(diǎn)確定，每個(gè)生產(chǎn)周期內(nèi)預(yù)期的故障次數(shù)就可直接計(jì)算獲得（請(qǐng)參閱Aghezzaf等［7］和Fitouhi等［8］的模型求解過(guò)程），而CLSP-R 中的故障個(gè)數(shù)由生產(chǎn)與維護(hù)計(jì)劃共同決定，體現(xiàn)了生產(chǎn)與維護(hù)之間的關(guān)聯(lián)性。

表1 生產(chǎn)時(shí)間和生產(chǎn)相關(guān)成本參數(shù)

表2 產(chǎn)品需求及CLSP-R模型的計(jì)算結(jié)果

續(xù)表2

表3 生產(chǎn)、維護(hù)及總成本對(duì)比

表4 每個(gè)生產(chǎn)周期內(nèi)預(yù)期的故障次數(shù)

2.2 不同設(shè)備負(fù)荷條件下的聯(lián)合模型比較

表5 不同設(shè)備負(fù)荷條件下生產(chǎn)、維護(hù)和總成本比較

平均維護(hù)成本是維護(hù)領(lǐng)域一個(gè)重要的決策依據(jù)［11］，其最優(yōu)值可由最小化式（14）獲得。

式中X 為需要決策的預(yù)防性維護(hù)周期。根據(jù)表5中的維護(hù)成本及設(shè)備累計(jì)運(yùn)行時(shí)間即可計(jì)算三個(gè)聯(lián)合模型的平均維護(hù)成本

由圖1可以看出，CLSP-CI和CLSP-NCI的平均維護(hù)成本隨設(shè)備負(fù)荷的降低而上升，而CLSP-R的平均維護(hù)成本在不同設(shè)備負(fù)荷條件下均與最優(yōu)值（AC＊）較為接近，表明基于設(shè)備運(yùn)行維護(hù)策略可以隨生產(chǎn)負(fù)荷的變化動(dòng)態(tài)調(diào)整維護(hù)計(jì)劃，從而降低相應(yīng)的維護(hù)成本。

2.3 不同η 條件下聯(lián)合模型的比較

表6 不同η 條件下生產(chǎn)、維護(hù)和總成本比較

3 結(jié)束語(yǔ)

一般而言，設(shè)備的實(shí)際運(yùn)行時(shí)間是評(píng)估設(shè)備狀態(tài)和相應(yīng)預(yù)防性維護(hù)決策的重要依據(jù)，因此本文提出一種基于設(shè)備運(yùn)行的預(yù)防性維護(hù)和生產(chǎn)批量聯(lián)合模型，排除了設(shè)備閑置等因素對(duì)設(shè)備狀態(tài)的影響，同時(shí)假設(shè)預(yù)防性維護(hù)可以在生產(chǎn)周期的任意節(jié)點(diǎn)執(zhí)行，解決了維護(hù)周期小于一個(gè)生產(chǎn)周期的情況。算例表明，與采用基于時(shí)間間隔預(yù)防性維護(hù)策略的建模方法相比，本文所提聯(lián)合模型有助于同時(shí)減少生產(chǎn)與維護(hù)成本，避免設(shè)備過(guò)度維護(hù)及維護(hù)不足的問(wèn)題，而平均維護(hù)成本與最優(yōu)值較為接近的事實(shí)驗(yàn)證了該聯(lián)合模型的有效性。

與單設(shè)備問(wèn)題相比，多階段生產(chǎn)系統(tǒng)（如流水線）在制造型企業(yè)中更為常見(jiàn)。由于包含了設(shè)備之間的緩沖區(qū)間、在制品及不同設(shè)備的維護(hù)關(guān)聯(lián)性，這類不可靠系統(tǒng)的運(yùn)行機(jī)制、產(chǎn)能評(píng)估與數(shù)學(xué)建模更為復(fù)雜，進(jìn)一步考慮將設(shè)備維護(hù)對(duì)系統(tǒng)微觀層面運(yùn)作的影響反饋到宏觀的批量決策中，從而有助于這類復(fù)雜系統(tǒng)生產(chǎn)計(jì)劃制定的科學(xué)性與可行性，這對(duì)多階段生產(chǎn)系統(tǒng)的績(jī)效研究也是很有意義的拓展。

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