Banach空間中漸近偽壓縮映象迭代序列的強(qiáng)收斂性

李萬繼

（湖北汽車工業(yè)學(xué)院理學(xué)院，湖北十堰442002）

關(guān)于漸近非擴(kuò)張和漸近偽壓縮映象不動點的迭代逼近問題,在Hilbert 空間、一致凸空間和Banach空間的框架下在文獻(xiàn)[1-7]中討論過。

本文中將繼續(xù)討論漸近偽壓縮映象和漸近非擴(kuò)張映象的不動點迭代逼近問題,其證明方法大大簡化了文獻(xiàn)[6]中的方法，并且研究了在新的定義下的Ishikawa 隱式迭代序列,及其迭代產(chǎn)生的序列的收斂性。

引理1[8]設(shè)是非負(fù)實數(shù)列滿足不等式an+1≤(1+δn)an+bn,?n≥1，如果則存在。

定理 設(shè)D是E中一非空有界閉凸子集,T∶D→D是具實數(shù)列的一致L-Lipschitz的漸近偽壓縮映象,L≥1。如果F(T)≠φ(F(T)表示T的不動點集),q ∈F(T)是任一給定的點,而且存在一嚴(yán)格增加的函數(shù)使得

成立。

式中：j(xn+1-q)∈J(xn+1-q)是按漸近偽壓縮映象定義中由xn+1和q所確定的元。對?x0∈D 定義Ishikawa隱式迭代序列

3）αn→0,βn→0(n→+∞);

4）0 ＜βnL ＜1

證明：首先證明所定義的迭代序列是有意義的。

設(shè)一映象V,D→D 如下

對?x1∈D,由可得y1∈D,再由知x2∈D,又由又可得 y2∈D; 再由知x3∈D,繼續(xù)下去可得序列。

下面證{xn}強(qiáng)收斂于q。為了證明的需要，將式（1）變?yōu)?/p>

由迭代序列（2）,可作如下估計：

那么

則

則式（3）變?yōu)?/p>

因為

所以

并且存在N0,當(dāng)故

因此

2）證明{xn}強(qiáng)收斂于q。

觀察不等式

則

令δ=inf{‖ ‖xn+1-q∶n≥0}≥0。下面證明δ=0。否則δ ＞0,則

由于φ是嚴(yán)格增的,則φ(‖ ‖xn+1-q)≥φ(δ)＞0,那么

取和得

由于αn→0,βn→0 且有界。

故

那么又可得到

由歸納法知：對任 意i≥1,有xnj+i→q和ynj+i→q（nj→+∞)。由此得到xn→q,即{}xn強(qiáng)收斂于q。證畢。

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