閉格的性質(zhì)

李慶國(guó)+吳瓊+伍秀華

摘要：對(duì)閉格進(jìn)行研究，給出了閉格的等價(jià)刻畫(huà)，討論了閉格與Locale的關(guān)系，并證明了閉格的笛卡爾乘積仍是閉格.同時(shí)，得到了閉格在保任意并的滿態(tài)射下仍是閉格，最后證明了閉格在閉包運(yùn)算下的像是閉格.

關(guān)鍵詞：閉格； 并不可約元； Locale； 笛卡爾乘積； 閉包運(yùn)算

中圖分類(lèi)號(hào)：O153.1 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

近幾十年來(lái)，隨著理論計(jì)算機(jī)科學(xué)的發(fā)展，格理論與拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)受到計(jì)算科學(xué)家和數(shù)學(xué)家越來(lái)越多的關(guān)注.在 ＼[1＼]中Raney通過(guò)引入完備集環(huán)的概念，給出了完備集環(huán)的格表示，也就是Raney在文＼[2＼]中定義的完全分配的代數(shù)格，并給出了完全分配完備格的等價(jià)定理.在＼[3＼]中Davey等人又給出代數(shù)格的概念，指出代數(shù)格中的任意元都是所有緊元的并，一個(gè)代數(shù)格可以構(gòu)造一個(gè)與之同構(gòu)的有上界的代數(shù)交結(jié)構(gòu)；反之，一個(gè)有上界的代數(shù)交結(jié)構(gòu)也可以構(gòu)成一個(gè)代數(shù)格.在[4]中郭蘭坤和李慶國(guó)提出了F擴(kuò)張閉包空間并實(shí)現(xiàn)了代發(fā)domain的集族表示，從而拓廣了Davey等人的結(jié)果.而且，許多學(xué)者系統(tǒng)研究了閉包系統(tǒng)的性質(zhì)[5-6].在＼[7＼]中，楊田和李慶國(guó)等對(duì)有限并是封閉的閉包算子所構(gòu)建的有上界的交結(jié)構(gòu)（稱(chēng)之為拓?fù)浣唤Y(jié)構(gòu)）進(jìn)行研究，并引入閉格的概念，給出了拓?fù)浣唤Y(jié)構(gòu)的格表示.在本文中，我們繼續(xù)對(duì)閉格進(jìn)行研究，討論了閉格的等價(jià)刻畫(huà)和閉格與Frame的關(guān)系以及它的基本性質(zhì)，并得到閉格在保任意并的滿態(tài)射下仍是閉格，最后證明了閉格運(yùn)算下的像是閉格.

首先，給出閉格的一些基本概念.

（2）對(duì)于任意的a，b∈L， 都有Da∪Db=Da∨b.

定理1[7] 設(shè)C為集合X上的閉包算子，Lc是相應(yīng)的有上界的交結(jié)構(gòu)，則如下命題等價(jià)：

（1） C是拓?fù)溟]包算子.

（2）若對(duì)于任意X的子集A和B均有C（A∪B）=C（A）∪C（B）.

（3）Lc是有上界的拓?fù)浣唤Y(jié)構(gòu).

定理2[7]（1）若L為有上界的拓?fù)浣唤Y(jié)構(gòu)，則L可構(gòu)成閉格.

（2）若L為閉格，則L：=Daa∈L是一個(gè)有上界的拓?fù)浣唤Y(jié)構(gòu)，并且與L同構(gòu).

定理3[7]（1）若L為拓?fù)浣唤Y(jié)構(gòu)，則L可構(gòu)成一個(gè)閉半格.

（2）若L為閉半格， 則L：=Daa∈L是一個(gè)拓?fù)浣唤Y(jié)構(gòu)，并且與L同構(gòu).

1閉格的等價(jià)刻畫(huà)

在本節(jié)中，繼續(xù)對(duì)閉格進(jìn)行研究，給出了閉格的等價(jià)刻畫(huà).

定理4設(shè)L是完備格，對(duì)于任意的a∈L都有a=∨Da， 則下列條件是等價(jià)的：

（1）對(duì)于任意的a，b∈L，都有Da∪Db=Da∨b.

（2）并不可約元與并素元是等價(jià)的，即J（L）=P（L）.

（3）L是分配格.

證（1）（2）假設(shè)對(duì)任意的x∈P（L），存在a，b∈L使得x=a∨b. 由并素元的定義可知若x≤a∨b，則對(duì)任意的a，b∈L有x≤a或x≤b. 又x=a∨b意味著x≥a且x≥b. 故x=a或x=b.從而P（L）J（L）.

反之，設(shè)x∈J（L）滿足x≤a∨b. 由Da∨b定義知x∈Da∨b=Da∪Db.

根據(jù)定義6有x∈Da或x ∈Db，即x≤a或x≤b. 則J（L）P（L）， 所以P（L）=J（L）.

（3）（2）只需證J（L）P（L）.

假設(shè)對(duì)任意的x∈J（L），存在a，b∈L滿足x≤a∨b，那么x=x∧（a∨b）. 因 為 L是分 配 格，則x=（x∧a）∨（x∧b）. 由并不可約元的定義又可知x=x∧a或x=x∧b，因此x≤a或x≤b，故J（L）P（L）. 所以P（L）=J（L）.

定理5設(shè)L是完備格，Pa={p∈P（L）p≤a}. 則L為閉格當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任意的a∈L， a=∨Pa.

證 充分性. 對(duì)任意的a∈L，a=∨Pa， 而PaDa，則a∈L，a=∨Da. 由定理4可知只須證明L為分配格. 對(duì)任意的a，b，c∈L，顯然a∧（b∨c）≥（a∧b）∨（a∧c）成立.

下面證明a∧（b∨c）≤（a∧b）∨（a∧c）.

由已知條件有a∧（b∨c）=∨Pa∧（b∨c）. 對(duì)任意的p∈Pa∧（b∨c）， 有p≤a∧（b∨c）， 則p≤a且p≤b∨c. 又由于p∈P（L）， 因此當(dāng)p≤b∨c時(shí)，可以推出p≤b或者p≤c， 綜合上述可知p≤a∧b或者p≤a∧c， 即p≤（a∧b）∨（a∧c）， 所以a∧（b∨c）=∨Pa∧（b∨c）≤（a∧b）∨（a∧c） 必要性顯然成立.

注因此可知楊田對(duì)有上界的交結(jié)構(gòu)（稱(chēng)之為拓?fù)浣唤Y(jié)構(gòu)）進(jìn)行研究定義的閉格與1959年S.Papert定義的閉集格是一樣的.

由于閉格具有很好的分配性質(zhì)，所以討論閉格與Locale的關(guān)系.

定義7[10] 設(shè)L是完備格且滿足無(wú)限分配律，即對(duì)任意的a∈L，BL， 有a∧∨B=∨a∧bb∈B， 則稱(chēng)L是Locale.

定義8[10]以滿足無(wú)限分配律的完備格為對(duì)象，以保任意并，有限交的映射為態(tài)射所構(gòu)成的范疇稱(chēng)為Frame范疇，并記作Frm. 在Frame范疇中，對(duì)象稱(chēng)為frame，態(tài)射稱(chēng)為frame同態(tài).

定義9[10]設(shè)L是Locale. 若frame同態(tài)φ：L→Ω（ptL）是單射（從而是格同構(gòu)），則稱(chēng)Locale L是空間式的，或稱(chēng)L有足夠多的點(diǎn).

引理1[10]設(shè)L是Locale，則下列條件等價(jià)：

（1）L是空間式的.

（2）對(duì)任意的a，b∈L，a>b， 存在p∈ptL使得p（a）=1與p（b）=0.

（3）對(duì)任意的a，b∈L，a>b， 存在L的素元x使得a>x，b≤x.

（4）對(duì)任意的a∈L，a是L的素元之交.

命題1空間式Locale的對(duì)偶是閉格.

證由定理5和引理1可知空間式Locale L的對(duì)偶滿足情形：任意的元都是L對(duì)偶的并素元之并，因而L的對(duì)偶是閉格.

2主要性質(zhì)

在本節(jié)中，給出閉格的完備子格仍是閉格的條件，證明了閉格的笛卡爾乘積仍然是閉格和閉格的保任意并的滿態(tài)射像仍是閉格.同時(shí)得到了閉格在閉包運(yùn)算下的態(tài)射仍是閉格.

定義10設(shè)L是閉格，非空子集SL. 若S對(duì)L中的任意非空并和任意非空交都封閉，即對(duì)任意的非空子集AS， ∨LA和∧LA存在時(shí)，總有∨LA， ∧LA∈S成立，則稱(chēng)S是L的完備子格.

引理2 設(shè)S是閉格L的完備子格且為下集，則P（L）∩S=P（S）.

證 設(shè)x∈P（S）， 若存在a，b∈L使得x≤a∨b，則x≤（a∨b）∧x. 由定理4知，L是分配格，則x≤（a∨b）∧x=（a∧x）∨（b∧x）.

由S是L的下集可知，a∧x，b∧x∈S，故（a∧x）∨（b∧x）∈S. 又x是S中的并素元，因此x≤a∧x或x≤b∧x. 從而x≤a或x≤b， 即x∈P（L）∩S， 所以P（S）P（L）∩S. 反之，設(shè)x∈P（L）∩S， 若存在a，b∈S使得x≤aVsb， 則x≤a∨Lb， 從而x≤a或x≤b， 即x∈P（S）.

定理6設(shè)S是閉格L的完備子格且為下集， 則S仍是閉格.

證由定理5只須證x=∨s（P（S）∩↓sx）.顯然∨s（P（S）∩↓sx）≤x，設(shè)x∈S且S是L的下集，則↓sx=↓x. 而根據(jù)引理2可知

∨s（P（S）∩↓sx）=∨s（P（L）∩↓x∩S）=∨s（P（L）∩↓x）∨L（P（L）∩↓x）=x

所以x=∨s（P（S）∩↓sx）， 即S是閉格.

定理7設(shè)Lii∈I是一族閉格，記L=∏i∈ILi是笛卡爾乘積集，則L賦予逐點(diǎn)序也是閉格.

證設(shè)（Li）i∈I為一族閉格，記L=∏i∈ILi. 由閉格的定義可知i∈I，Li為分配格. 令a，b，c∈L， 則有

即L是分配格.對(duì)于任意的aii∈I， 令δi={x∈∏i∈ILi|xi≤ai且xi∈J（Li），j≠i時(shí)xj=0}顯然∪i∈Iδi中的元是∏i∈ILi中的并不可約元，且∪i∈Iδi在∏i∈ILi的并是aii∈I. 綜上可得L是閉格.

定理8設(shè)L是閉格，Q是完備格. 若f：L→Q為保任意并的滿映射， 且f（P（L））P（Q）， 則Q是閉格.

證由于f為滿映射，則對(duì)任意的y∈Q， 存在x∈L， 使 得 f（x）=y.

顯然 ∨（P（Q）∩↓f（x））≤f（x）. 又L是閉格，則f（x）=f∨PL∩↓x=∨fPL∩↓x.

對(duì)于任意的z∈PL∩↓x，則z≤x，由于f是保任意并的映射，則f（z）≤f（x）

參考文獻(xiàn)

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[2]RANEY G N. A subdirectunion representation for completely distributive complete lattice [J]. Proc Amer Math Soc， 1953， 4： 518-522.

[3]DAVEY B A， PRIESTLEY H A. Introduction to lattice and order [M]. Cambridge： Cambridge University Press， 2002.

[4]GUO Lankun， LI Qingguo. The categorical equivalence between algebraic domains and Faugmented closure spaces[J]. Order， Doi： 10.1007/s11083-014-9318-8.

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[6]ERNE M C， MYNARD F， PEARL E，et al. Beyond topology， contemporary mathematics[J]. American Mathematical Society， Providence，2009.

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[8]BIRKHOFF G. Lattice theory[M]. Revised Ed. Amer Math Soc Colloquium Publication， 1948，25.

[9]GIERZ G， HOFAMANN K H， KEIMEL K， et al. Continuous lattice and domains [M]. Cambridge： Cambridge University Press， 2003.

[10]鄭崇友， 樊磊， 崔宏斌. Frame與連續(xù)格[M]. 北京： 首都師范大學(xué)出版社， 2000：44-106.

ZHENG Chongyou， FAN Lei， CUI Hongbin. Frame and continuous lattice [M]. Beijing： Capital Normal University Press， 2000：44-106.（In Chinese）

命題1空間式Locale的對(duì)偶是閉格.

證由定理5和引理1可知空間式Locale L的對(duì)偶滿足情形：任意的元都是L對(duì)偶的并素元之并，因而L的對(duì)偶是閉格.

2主要性質(zhì)

在本節(jié)中，給出閉格的完備子格仍是閉格的條件，證明了閉格的笛卡爾乘積仍然是閉格和閉格的保任意并的滿態(tài)射像仍是閉格.同時(shí)得到了閉格在閉包運(yùn)算下的態(tài)射仍是閉格.

定義10設(shè)L是閉格，非空子集SL. 若S對(duì)L中的任意非空并和任意非空交都封閉，即對(duì)任意的非空子集AS， ∨LA和∧LA存在時(shí)，總有∨LA， ∧LA∈S成立，則稱(chēng)S是L的完備子格.

引理2 設(shè)S是閉格L的完備子格且為下集，則P（L）∩S=P（S）.

證 設(shè)x∈P（S）， 若存在a，b∈L使得x≤a∨b，則x≤（a∨b）∧x. 由定理4知，L是分配格，則x≤（a∨b）∧x=（a∧x）∨（b∧x）.

由S是L的下集可知，a∧x，b∧x∈S，故（a∧x）∨（b∧x）∈S. 又x是S中的并素元，因此x≤a∧x或x≤b∧x. 從而x≤a或x≤b， 即x∈P（L）∩S， 所以P（S）P（L）∩S. 反之，設(shè)x∈P（L）∩S， 若存在a，b∈S使得x≤aVsb， 則x≤a∨Lb， 從而x≤a或x≤b， 即x∈P（S）.

定理6設(shè)S是閉格L的完備子格且為下集， 則S仍是閉格.

證由定理5只須證x=∨s（P（S）∩↓sx）.顯然∨s（P（S）∩↓sx）≤x，設(shè)x∈S且S是L的下集，則↓sx=↓x. 而根據(jù)引理2可知

∨s（P（S）∩↓sx）=∨s（P（L）∩↓x∩S）=∨s（P（L）∩↓x）∨L（P（L）∩↓x）=x

所以x=∨s（P（S）∩↓sx）， 即S是閉格.

定理7設(shè)Lii∈I是一族閉格，記L=∏i∈ILi是笛卡爾乘積集，則L賦予逐點(diǎn)序也是閉格.

證設(shè)（Li）i∈I為一族閉格，記L=∏i∈ILi. 由閉格的定義可知i∈I，Li為分配格. 令a，b，c∈L， 則有

即L是分配格.對(duì)于任意的aii∈I， 令δi={x∈∏i∈ILi|xi≤ai且xi∈J（Li），j≠i時(shí)xj=0}顯然∪i∈Iδi中的元是∏i∈ILi中的并不可約元，且∪i∈Iδi在∏i∈ILi的并是aii∈I. 綜上可得L是閉格.

定理8設(shè)L是閉格，Q是完備格. 若f：L→Q為保任意并的滿映射， 且f（P（L））P（Q）， 則Q是閉格.

證由于f為滿映射，則對(duì)任意的y∈Q， 存在x∈L， 使 得 f（x）=y.

顯然 ∨（P（Q）∩↓f（x））≤f（x）. 又L是閉格，則f（x）=f∨PL∩↓x=∨fPL∩↓x.

對(duì)于任意的z∈PL∩↓x，則z≤x，由于f是保任意并的映射，則f（z）≤f（x）

參考文獻(xiàn)

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命題1空間式Locale的對(duì)偶是閉格.

證由定理5和引理1可知空間式Locale L的對(duì)偶滿足情形：任意的元都是L對(duì)偶的并素元之并，因而L的對(duì)偶是閉格.

2主要性質(zhì)

在本節(jié)中，給出閉格的完備子格仍是閉格的條件，證明了閉格的笛卡爾乘積仍然是閉格和閉格的保任意并的滿態(tài)射像仍是閉格.同時(shí)得到了閉格在閉包運(yùn)算下的態(tài)射仍是閉格.

定義10設(shè)L是閉格，非空子集SL. 若S對(duì)L中的任意非空并和任意非空交都封閉，即對(duì)任意的非空子集AS， ∨LA和∧LA存在時(shí)，總有∨LA， ∧LA∈S成立，則稱(chēng)S是L的完備子格.

引理2 設(shè)S是閉格L的完備子格且為下集，則P（L）∩S=P（S）.

證 設(shè)x∈P（S）， 若存在a，b∈L使得x≤a∨b，則x≤（a∨b）∧x. 由定理4知，L是分配格，則x≤（a∨b）∧x=（a∧x）∨（b∧x）.

由S是L的下集可知，a∧x，b∧x∈S，故（a∧x）∨（b∧x）∈S. 又x是S中的并素元，因此x≤a∧x或x≤b∧x. 從而x≤a或x≤b， 即x∈P（L）∩S， 所以P（S）P（L）∩S. 反之，設(shè)x∈P（L）∩S， 若存在a，b∈S使得x≤aVsb， 則x≤a∨Lb， 從而x≤a或x≤b， 即x∈P（S）.

定理6設(shè)S是閉格L的完備子格且為下集， 則S仍是閉格.

證由定理5只須證x=∨s（P（S）∩↓sx）.顯然∨s（P（S）∩↓sx）≤x，設(shè)x∈S且S是L的下集，則↓sx=↓x. 而根據(jù)引理2可知

∨s（P（S）∩↓sx）=∨s（P（L）∩↓x∩S）=∨s（P（L）∩↓x）∨L（P（L）∩↓x）=x

所以x=∨s（P（S）∩↓sx）， 即S是閉格.

定理7設(shè)Lii∈I是一族閉格，記L=∏i∈ILi是笛卡爾乘積集，則L賦予逐點(diǎn)序也是閉格.

證設(shè)（Li）i∈I為一族閉格，記L=∏i∈ILi. 由閉格的定義可知i∈I，Li為分配格. 令a，b，c∈L， 則有

即L是分配格.對(duì)于任意的aii∈I， 令δi={x∈∏i∈ILi|xi≤ai且xi∈J（Li），j≠i時(shí)xj=0}顯然∪i∈Iδi中的元是∏i∈ILi中的并不可約元，且∪i∈Iδi在∏i∈ILi的并是aii∈I. 綜上可得L是閉格.

定理8設(shè)L是閉格，Q是完備格. 若f：L→Q為保任意并的滿映射， 且f（P（L））P（Q）， 則Q是閉格.

證由于f為滿映射，則對(duì)任意的y∈Q， 存在x∈L， 使 得 f（x）=y.

顯然 ∨（P（Q）∩↓f（x））≤f（x）. 又L是閉格，則f（x）=f∨PL∩↓x=∨fPL∩↓x.

對(duì)于任意的z∈PL∩↓x，則z≤x，由于f是保任意并的映射，則f（z）≤f（x）

參考文獻(xiàn)

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