基于SPN的近距平行跑道容量建模與分析

王潔寧 ，徐寧霞 ，姜高揚

（中國民航大學a.空中交通管理研究基地；b.天津市空管運行規(guī)劃與安全技術(shù)重點實驗室，天津 300300）

跑道理論容量對機場規(guī)劃以及發(fā)展具有重要的意義[1-3]。近年，近距平行跑道的容量評估逐漸成為研究熱點，其中文獻[4]描述了近距跑道在一起一降模式下的數(shù)學模型，文獻[5]使用時間空間模型建立了近距跑道的理論容量模型，但這些研究都是針對具體的情況建立特定的模型，所建模型的可復用性不強，且缺乏對隨機因素的考慮。本文通過隨機Petri網(wǎng)建立近距跑道的容量模型，將跑道容量的影響因素轉(zhuǎn)化為相應(yīng)變遷的激發(fā)率，通過調(diào)整變遷激發(fā)率得到不同情況下的跑道容量及變化規(guī)律。據(jù)經(jīng)驗和資料分析[6-7]，當起降航班比為1：1、進離場航空器按照降、起交替運行時，能最大可能地避免尾流影響，近距跑道容量可達到最大值，因此本文主要對交替起降模式下的近距平行跑道容量進行計算和分析。

1 隨機Petri網(wǎng)模型分析

交替運行近距跑道模型可以抽象成一個六元組SPN=（P，T；F，W，M0，λ），其中（P，T；F，W，M0）是一個P/T 系統(tǒng)，P={p1，…，pn}是庫所的有限集合；T={t1，…，tn}是變遷的有限集合；F表示的是?。籛表示的是弧權(quán)函數(shù)；M0表示的是初始標識[8]。λ ={λ1，λ2，…，λm}是變遷平均實施速率集合。

經(jīng)證明，飛機到達或起飛時間間隔服從指數(shù)分布[9]，因此設(shè)Petri網(wǎng)中每個變遷的分布函數(shù)為

其中：參數(shù)λt是變遷t的平均實施速率，變量x≥0。λt倒數(shù)的物理含義為實際運行時起降飛機的時間間隔或在特定條件下所要求的前后機時間。

2 交替起降近距跑道SPN建模

由以上分析，跑道的SPN模型可按以下步驟建模：根據(jù)航空器進離港流程分析影響跑道容量的因素，進而建立SPN模型。通過同構(gòu)馬爾科夫鏈，建立穩(wěn)態(tài)概率表達式，通過調(diào)整關(guān)鍵參數(shù)λ，對系統(tǒng)進行性能分析。由于跑道影響因素眾多，考慮到SPN模型狀態(tài)空間的龐大性，本文僅考慮影響容量的幾個關(guān)鍵因素，主要有尾流間隔、起降比及機型比等。交替起降的近距跑道容量SPN模型如圖1所示。

圖1 近距平行跑道SPN模型Fig.1 Closely spaced parallel runways SPN model

其中 p1∈{p1，p2，…，p15}為庫所的集合，變遷集合為 t1∈{t1，t2，…，t17}。具體含義如表 1 及表 2 所示。

3 構(gòu)造SPN模型所同構(gòu)的MC鏈

圖1的近距平行跑道SPN模型初始標識為M0=（1，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，1，1，0，0），隨著系統(tǒng)的運行，可得到M1、M2等，進而得到模型的可達樹如圖2所示。

表1 容量SPN模型庫所意義Tab.1 Place significance of SPN capacity model

表2 容量SPN模型變遷意義Tab.2 Transition significance of SPN capacity model

其中，p1、p12與p13中的托肯代表1架飛機、1條可使用的著陸跑道以及1條可使用的起飛跑道。同時經(jīng)驗證，圖1的SPN模型符合可達性、有界性、安全性、守衡性、可逆性和活性等要求，即這個模型是正確、安全、有效的。定義λi是變遷ti∈T的平均實施速率，則與圖1的SPN模型同構(gòu)的馬爾科夫鏈如圖3（a）和圖3（b）所示。

圖2 近距跑道SPN模型的可達樹Fig.2 Reachability tree of closely spaced parallel runways SPN model

圖3 跑道SPN模型的馬爾科夫鏈Fig.3 Markov chain of SPN model

在近距平行跑道的SPN模型中，跑道的容量可由庫所p12以及p13的位置標記數(shù)來進行統(tǒng)計分析。跑道庫所中的托肯沒被占用，代表跑道處于空閑；反之，則代表跑道正在使用中。可證明，在給定充分時間的情況下，系統(tǒng)總是可以返回該狀態(tài)，由近距跑道的SPN容量模型的初始標識，可以獲得狀態(tài)的轉(zhuǎn)移矩陣，由于模型的穩(wěn)定狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣龐大，主要用到p12以及p13的穩(wěn)定狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率，如下所示，其中矩陣Mi={M0，M1，…，M36}表示庫所的狀態(tài)矩陣，未列舉項數(shù)值為0。

4 基于MC穩(wěn)態(tài)概率的系統(tǒng)性能分析

根據(jù)交替起降SPN模型所同構(gòu)的MC鏈，進一步得到該模型的穩(wěn)定狀態(tài)概率表達式為

1）標記概率密度函數(shù)

標記概率密度函數(shù)表示在某一特定情況下，任意庫所中具有的標識數(shù)的概率。對于?s∈S，?i∈N，令庫所s含有i個標記的概率用P[M（s）=i]表示，就可以從標記的穩(wěn)定狀態(tài)概率得到庫所s中的標記概率密度函數(shù)

其中Mj∈[M0＞且Mj（s）=i]。

2）庫所中平均標記數(shù)

對于?si∈S，表示在某一特定情況下，庫所si含有的平均標記數(shù)，則有

在近距平行跑道SPN模型中，庫所p12表示主降落跑道的使用情況，庫所p13表示主起飛跑道的利用情況，可利用庫所中所包含的平均標記數(shù)評估近距跑道容量模型中各個跑道的利用率，進而計算跑道的容量。

跑道容量可由庫所p12（主降落跑道）及p13（主起飛跑道）的標記數(shù)來進行統(tǒng)計分析。當跑道庫所中的托肯沒被占用，代表此時跑道處于空閑；反之，當跑道中的托肯被占用了，即庫所中的托肯數(shù)為0，則代表跑道正在使用中。

根據(jù)模型的可達樹及庫所p12的狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率，主降落跑道中的標記密度函數(shù)可以表示為

根據(jù)模型的狀態(tài)樹及庫所p13的狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率，主起飛跑道中的標記密度函數(shù)可表示為

主降落跑道的跑道利用率可表示為

主起飛跑道的跑道利用率可表示為

5 算例分析

5.1 跑道理論容量計算

基于某機場進近著陸非雷達尾流間隔標準及相關(guān)規(guī)定[10]，在計算前后著陸飛機組合相繼通過跑道入口時間間隔時，主要考慮前機跑道占用時間、尾流間隔及發(fā)布落地許可條件等，選取間隔最大者進行分析。在不受尾流影響的情況下（表3空格對應(yīng)機型組合），前機和后機通過跑道入口的時間間隔等于“前機跑道平均占用時間+后機飛行4.5 km時間”與前機跑道占用時間的最大者。表3中空格對應(yīng)的機型組合表示可不考慮尾流影響，按規(guī)定的雷達最低間隔標準來考慮。

表3 進近著陸非雷達尾流間隔標準Tab.3 Non-radar wake turbulence separation standards of approach and landing（min）

空格部分的間隔可根據(jù)相關(guān)數(shù)據(jù)計算出來。取某機場實際數(shù)據(jù)，兩個降落航班間允許1架航班起飛時，相繼降落航班間的平均距離間隔至少為9 km。由降落航班從切入下滑道到接地的平均飛行速度可計算出相應(yīng)時間間隔，如表4所示。

表4 不考慮尾流的最低雷達間隔Tab.4 Minimum radar separation without consideration of wake

基于以上理論，重型機、中型機以及輕型機兩兩組合得到前后機型不相同時的相應(yīng)間隔如表5所示。

表5 前后機型的相應(yīng)間隔Tab.5 Interval of aircrafts（min）

航空器起降交替運行時，即在兩個著陸航班之間插入放行1架航班，在平均意義上起降平均縱向間隔為連續(xù)降落航班縱向間隔的一半?；谝陨霞僭O(shè)，可算出 λ4=λ5=0.018 5；λ6=λ7=0.016 7；λ8=λ9=0.012 3。跑道占用時間也取該機場的實際數(shù)據(jù)如表6所示。

表6 不同機型起降跑道占用時間Tab.6 Runway occupancy time of landing and takeoff aircrafts

著陸占用跑道時間取均值52 s，起飛占用跑道時間取均值 46 s，即 λ16=0.019 2，λ17=0.021 7。重型機、中型機和輕型機的比例取1：1：1，起飛降落比例為1：1，其它參數(shù)為1?；谝陨霞僭O(shè)可得到λ的取值為{1，1，1，0.018 5，0.018 5，0.016 7，0.016 7，0.012 3，0.012 3，1，1，1，1，1，1，0.019 2，0.021 7}。參數(shù)為 1 的變遷就代表在1 s內(nèi)只運行一次，由于整個近距跑道容量SPN模型運行一次時間相對1 s很大，所以運行時間為1 s的所有變遷，可以默認對整個跑道容量SPN系統(tǒng)產(chǎn)生影響很少，忽略不計。

將λ代入式（2）并計算，可以得到取值為λ時的每個狀態(tài)標識的穩(wěn)定狀態(tài)概率，繼而可求出在此時條件下的跑道利用率。此時，將求出的穩(wěn)定狀態(tài)概率代入式（5）中，計算出庫所p12代表的主降落跑道中的標記密度函數(shù)為

則主降落跑道的跑道利用率為

跑道占用時間平均值為52 s，所以一起一降模式下，主降落跑道的跑道容量為

同理，庫所p13代表的主起飛跑道中的標記密度函數(shù)可表示為

則主起飛跑道的跑道利用率可表示為

跑道占用時間平均值為46 s，所以一起一降模式下，主降落跑道的跑道容量為

此時，跑道容量為61架次/h，經(jīng)對比，該數(shù)據(jù)與某機場的實際運行數(shù)據(jù)相符。

5.2 中型機對跑道容量的影響

隨著民航業(yè)的快速發(fā)展，大中型航空器所占市場比例越來越大，同時，輕型機的比例也越來越少，目前，國內(nèi)正在運營的機型是以中型機為主。所以以雷達尾流間隔標準、跑道占用時間以及發(fā)布落地許可等條件為基礎(chǔ)，以中型機所占總機型比例為變量，分析在中型機比例不斷增大的情況下，對近距跑道容量的影響趨勢。

當中型機比例不斷增大時，假定輕型機與重型機的比例相同，且同時減少。3種機型所占比例的變化反映到跑道容量SPN模型中，即是參數(shù)λ的變化。機型的比例變化在SPN模型中與λ1、λ2以及λ3的數(shù)值有關(guān)，同時當機型的比例發(fā)生變化時還會對兩條跑道的航空器平均占用時間產(chǎn)生影響，即λ16、λ17也相應(yīng)的發(fā)生了變化，具體數(shù)據(jù)如表7所示。

表7 中型機比例變化對λ的影響Tab.7 Effects of medium aircraft proportion change to λ

其它參數(shù)不變，將 λ1、λ2、λ3、λ16、λ17分別取表中數(shù)值時，代入式（2）中，計算出在中型機所占比例變化時對跑道容量的影響，如表8所示。

表8中的中型機變化對跑道容量變化的影響趨勢如圖4所示。

表8 中型機所占比例對跑道容量的影響Tab.8 Effects of medium aircraft proportion to runway capacity

圖4 容量與中型機比重曲線關(guān)系Fig.4 Curve relationship between runway capacity and medium aircraft proportion

由圖4可看出，隨著中型機所占比重的不斷增大，重型機以及輕型機的比重不斷減少。近距平行跑道的總?cè)萘壳€是呈現(xiàn)先減后增的趨勢。該趨勢對實際運行有一定的參考意義。

5.3 五邊航空器距跑道距離對跑道容量的影響

將五邊航空器距落地跑道起始端的間隔取不同的數(shù)值，計算并分析隨著距離的變化跑道容量的變化，此時，其它參數(shù)不發(fā)生變化，即起降比為1：1，交替起降，且跑道占用時間采用均值，主降落跑道平均占用時間為52 s，即λ16=0.019 2，主起飛跑道平均占用時間為46 s，即λ17=0.021 7。其他參數(shù)為1。具體計算結(jié)果如表9所示。

將表9中的數(shù)據(jù)生成示意圖，以五邊距落地跑道端距離為橫軸、容量為縱軸，分別生成距離對主起飛容量、主降落容量以及總?cè)萘康挠绊懬€，如圖5所示。

從表9和圖5可以看出，五邊航空器距落地跑道起始端的距離越遠，連續(xù)降落的飛機間隔就越大，相對的跑道容量就越小。五邊航空器距落地跑道起始端的距離一定時，由于假定起降比為1：1，所以主降落和主起飛跑道的容量幾乎是相同的，而由于跑道占用時間不同，跑道的利用率卻不相同。圖中可以看出，隨著距離的增大，跑道容量迅速的減少。因此在實際的容量評估中應(yīng)對評估范圍加以明確的界定，否則得到的結(jié)果不是唯一。

表9 五邊航空器距落地跑道端的距離Tab.9 Distance between traffic circuit and threshold

圖5 五邊航空器距落地跑道起始端的距離對跑道容量的影響Fig.5 Effects of distance between traffic circuit and threshold to runway capacity

6 結(jié)語

本文根據(jù)近距跑道的進離港運行情況，建立交替起降運行模式下的近距跑道隨機Petri網(wǎng)模型，同構(gòu)出模型的馬爾科夫鏈，得到系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣和穩(wěn)態(tài)概率表達式，進一步建立跑道容量的數(shù)學模型。在此基礎(chǔ)之上，通過對模型中關(guān)鍵參數(shù)的調(diào)整，研究了中型機的比例對跑道容量的影響以及五邊航空器距落地跑道起始端的距離對跑道容量的影響。本文所建模型可復用性強，參數(shù)調(diào)整更為靈活，對跑道容量的評估與分析具有一定的指導意義。

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