模糊最優(yōu)分割法及其在燕山水庫汛期水位分期劃分中的應(yīng)用

□李成林（河南省燕山水庫管理局）

1 汛期分期特性及其定量描述

隨著全球氣候條件變化，洪澇災(zāi)害和水資源短缺的問題同時并存，而我國北方地區(qū)整體上水資源短缺狀況日益加??；同時，隨著社會經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，對水庫的防洪安全與供水保障提出了更高要求，也使水庫防洪與興利之間的矛盾加劇。在確保水庫防洪安全的前提下，科學(xué)地設(shè)計與運用汛限水位，合理地利用水庫防洪與興利、重疊庫容，是發(fā)揮水庫綜合利用效益，緩解我國水資源緊缺與防洪減災(zāi)矛盾的有效手段之一。釆用科學(xué)方法，對汛期進(jìn)行合理劃分，則是實施汛限水位動態(tài)控制的必要前提。

汛期分期從數(shù)學(xué)角度分析，實質(zhì)是一個時間樣本序列的聚類分析問題。所謂聚類是指按照某種相似性原則將研究對象歸入相應(yīng)的類。這種相似性原則在數(shù)學(xué)上常用的是“距離最小原則”，在數(shù)理統(tǒng)計上則表示兩序列擬合誤差最小。常用的聚類分析法包括:模糊聚類法、動態(tài)聚類法、變點分析法和最優(yōu)分割法等。

汛期分期的定量描述如下：

以汛期作為論域X，水庫汛期內(nèi)時段t(日或旬）內(nèi)統(tǒng)計因子作為變量，表示為Xt=X1,X2,…Xn,結(jié)合研究對象具體情況，優(yōu)選m個指標(biāo)（降雨、徑流、洪峰、時段洪量等）用以表征汛期洪水特性，假設(shè)對象Xi的第k(k=1，2，…，m)個指標(biāo)的特征值為xik,則Xi可以用這m個指標(biāo)特征值來描述，記為Xi=(Xi1，Xi2，…，Xim)(i=1,2,…n)。按照聚類分析基本原理，將所有對象Xt劃分為 k 類(k=2,3,…，n-1)：{Xi1,Xi1+1,…，Xi2-1,}{Xi2,Xi2+1,…，Xi3-1,}，…，{Xik,Xik+1,…，Xn,}，對應(yīng)的時段子集即為汛期的各個分期。

2 最優(yōu)分割法

最優(yōu)分割法是對有序樣本進(jìn)行分類的一種統(tǒng)計方法。作為一種傳統(tǒng)的線性分類方法，已經(jīng)在氣象統(tǒng)計預(yù)報、水文周期劃分、工業(yè)產(chǎn)品檢測、病情診斷分析等許多方面得到了成功的應(yīng)用。該方法用來分類的基本依據(jù)是樣本的離差平方和最小，而進(jìn)行分割的原則是：使得各段（類）內(nèi)部樣本之間差異最小，而各段（類）之間的差異最大。具體過程如下：

對于n個有序樣本，釆用m個指標(biāo)描述樣本特性，特征值為x1,x2，…，xn(每個是m維向量)。假定某一分類為xi,xi+1,…，xj(j＞i)，其均值向量及直徑為:

直徑公式含義表示該分類內(nèi)部的差異情況，直徑越大，差異越大。

若將n個有序樣本分成k類，某一分法為：

F(n,k):［i1,i1+1,…，i2-1］,［i2,i2+1,…，i3-1］,…，［ik,ik+1,…，n］

其中，l=i1＜i2＜…＜ik≤n。

定義該分法的誤差函數(shù)為：

當(dāng)n和k固定時，E[F(n,k)]越小，表示各類的直徑和越小，分類就越合理。尋求到E[F(n,k)]的最小值E[F*(n,k)]后，通過繪制[F*(n,k)]～k相關(guān)曲線，從曲線拐點處的k值確定最優(yōu)分類數(shù)。

3 實例應(yīng)用

釆用最優(yōu)分割法，對燕山水庫汛期進(jìn)行分期設(shè)計計算。燕山水庫總庫容9.25億m3,屬大（2）型工程，工程等級為二等，主要建筑物為2級，釆用500年一遇洪水設(shè)計、5000年一遇洪水校核。水庫控制流域面積1169 km2，多年平均徑流量3.64億m3。根據(jù)流域規(guī)劃的要求，燕山水庫的開發(fā)任務(wù)是以防洪為主，結(jié)合供水、灌溉，兼顧發(fā)電等綜合利用。

3.1 指標(biāo)選擇

相比洪峰，時段洪量在汛限水位動態(tài)控制中起主要作用。選擇能反映流域暴雨洪水時程分布規(guī)律的降雨和徑流作為汛期分期的指標(biāo)，其中降雨指標(biāo)反映了氣象因素影響，徑流指標(biāo)則是降雨與下墊面等多種因素綜合作用的反映。基于以上分析，根據(jù)燕山水庫的基本資料，具體選取了6個指標(biāo)：旬暴雨日數(shù)、旬面平均雨量、旬最大1日面平均雨量、旬最大3日面平均雨量、旬最大7日面平均雨量以及旬入庫水量，其特征值見表1。

表1 燕山水庫汛期分期指標(biāo)特征值表

本次所釆用暴雨及降雨資料為樞紐建成后自2006年至2013年流域各站點記錄的逐日降雨量，通過點面雨量分析獲得，應(yīng)用流域金湯寨、小史店、治平、獨樹和官寨站5個典型站點，通過加權(quán)平均獲得流域面平均降雨量。五站點面積權(quán)重見表2。

表2 各雨量站面積權(quán)重表

3.2 指標(biāo)特征值的一致無量綱化

由于各個指標(biāo)的物理量量綱不同，在進(jìn)行分期時首先要消除量綱的影響。為此，對各指標(biāo)的特征值進(jìn)行一致無量綱化處理：

式中：n為樣本個數(shù)；m為指標(biāo)個數(shù)，xik為指標(biāo)特征值；xik'為一致無量綱化的指標(biāo)特征值；xmaxk和xmink分別為第k個指標(biāo)中xik的最大和最小值。

3.3 燕山水庫分期計算與設(shè)計

利用上述6個指標(biāo)，按照最優(yōu)分割法的計算步驟，計算出分類數(shù)k為2～11的所有分類結(jié)果，見表3。

表3 最優(yōu)分割法分類結(jié)果表

注：分類結(jié)果中的數(shù)字1～12分別代表汛期12個旬

做最小誤差函數(shù)E［F*（n,k）］～k相關(guān)曲線，如圖1所示。從中可以看出曲線在分類數(shù)為3時有一明顯拐點，該點之后趨向平緩，因此確定燕山水庫的汛期分3期為最優(yōu)，分期結(jié)果為：6月上旬～6月中旬為前汛期；6月下旬～8月下旬為主汛期；9月上旬～9月下旬為后汛期。

圖1 最小誤差函數(shù)E［F*（n,k）］值隨分類數(shù)k變化曲線圖

4 結(jié)論

根據(jù)燕山水庫的基本資料，選取了：旬暴雨日數(shù)、旬面平均雨量、旬最大1日面平均雨量、旬最大3日面平均雨量、旬最大7日面平均雨量以及旬入庫水量等6個指標(biāo)，釆用最優(yōu)分割法，構(gòu)建了燕山水庫汛期劃分計算模型，對燕山水庫汛期進(jìn)行了劃分：前汛期6月1日至6月20日，主汛期6月20日至8月31日，后汛期9月1日至9月末。因此，本次分期劃分成果與初步設(shè)計報告成果基本一致，主汛由8月中旬延遲至8月下旬，增加前汛期分期。