基于非抽取小波包變換的信號濾波算法

路偉濤 張書仙 楊文革 洪家財

（1裝備學院，北京101416） （2北京通信與跟蹤技術研究所，北京100094）

1 引言

航天測控信號發(fā)射功率有限、傳播路徑較長、信道環(huán)境多變，致使測站接收信號比較微弱，限制了測量精度。目前一般通過增大接收天線口徑、改善接收機性能等硬件層面上提高系統(tǒng)性能，代價高。進行信號濾波，通過數(shù)據(jù)處理上提高信噪比和系統(tǒng)性能，是一種比較可觀的改進措施。常用的濾波方法有FIR濾波、自適應濾波、高階譜濾波和小波變換濾波等。

文獻[1]針對微加速度計和微陀螺儀構成的微型慣性測量組合（MIMU）輸出信號的去噪處理，對比研究了中值濾波、有限沖激響應（FIR）濾波和小波濾波，指出小波濾波由于其在時頻域同時分析信號的特點，去噪效果最好。文獻[2]采用小波閾值濾波對統(tǒng)一載波系統(tǒng)的測控信號進行處理，提高了接收信號質(zhì)量。

小波變換因提供了固定的譜分割，具有子帶譜泄露和時頻分辨率固定等不足。相對于小波變換，小波包變換對低通子帶和高通子帶都進一步分解，具有更好的靈活性，更有利于跟蹤和定位某一特定頻帶的信號[3]。非抽取小波包變換（UWPT）的小波系數(shù)與原始信號等長，小波基具有平移不變性，該特點使得UWPT算法在擴頻信號窄帶干擾抑制中得到了深入研究[4-5]。

文獻[6]利用小波包變換和能量聚焦度進行直擴信號的窄帶干擾抑制研究，仿真效果良好，但未考慮高、低通子帶交界存在能量泄露的情況[7]。為此，文獻[8-9]提出了基于二重或多重判斷的小波包濾波算法，解決了干擾位于邊界時錯誤分解的問題。但是，考慮到窄帶干擾相對于信號帶寬比較窄，那么在分解過程中必然存在很多不必分解的子帶，如果采用二重或多重判斷將會增加算法的復雜度和計算量?？紤]到航天測控信號中的差分單程測距（Differential One-way Ranging，DOR）信標信號、TTC測距信號等屬于窄帶信號類型，與上述算法中的窄帶干擾屬于同一信號類型，所以上述算法可以借鑒到此類信號的濾波處理中。

本文將UWPT算法應用到航天測控DOR信標等單音信號的濾波算法處理中，給出了算法原理和算法流程圖；以功率平坦度為準則，改進了原濾波算法的分解過程；最后通過仿真分析和在軌衛(wèi)星實測數(shù)據(jù)處理證明了改進算法的有效性。

2 UWPT算法原理

UWPT根據(jù)單音信號與噪聲功率譜的特點有效跟蹤輸入信號頻譜的變化，從而對含噪單音信號進行快速定位。為了實現(xiàn)快速跟蹤定位，UWPT以能量聚集度（Energy Compaction Measure，ECM）為依據(jù)，判斷小波包分解的某一節(jié)點是否繼續(xù)分解，從而得到最佳樹形分解。

2.1 能量聚焦度

能量聚焦度是表征信號功率譜密度不均勻特性的常用參數(shù)，小波包變換的能量聚焦度[4]定義為其中，σ，σ，σ分別表示父節(jié)點、左節(jié)點、右節(jié)點信號的標準差。PLH

能量聚焦度Ecm越大，信號頻譜越不平坦，表明信號能量主要集中在某些子帶上。若Ecm小于閾值，說明該節(jié)點子帶頻譜比較均勻，可認為該節(jié)點頻帶主要由噪聲構成，反之則認為存在信號。以此可獲得一個非規(guī)則的最佳二叉樹分解結(jié)構，以保證信號集中在盡量少的子帶上。

2.2 UWPT算法

UWPT濾波算法包括小波包分解、噪聲抑制和小波包綜合三個過程，詳細步驟如下：

（1）小波包分解過程

1）設定最大分解層數(shù)J、各層閾值Tj，j＝1，…，J，并初始化分解層數(shù)j和節(jié)點數(shù)n都為1；

2）計算第n個節(jié)點的能量聚焦度Ecm，比較其與閾值之間的關系。若Ecm超過某一閾值，則該節(jié)點繼續(xù)分解，記錄節(jié)點信息；反之，低于門限則該節(jié)點停止分解。

3）重復第2步，直至分解完畢。

（2）噪聲抑制過程

計算左右子帶小波系數(shù)方差的比η＝σ2L／σ2H，若η大于某門限，則信號主要在左節(jié)點或低通節(jié)點；若1／η大于門限，則信號主要在右節(jié)點或高通節(jié)點。

（3）小波包綜合過程

對保留的小波包節(jié)點進行重構，即可得到濾波輸出信號。當然在剔除噪聲的同時也損失了有用信息，但因定位的信號子帶所占帶寬非常小，損失的有用信息部分對后續(xù)的信號處理影響不大。

2.3 UWPT算法存在的問題

由于信號可能位于高、低子帶交界處，UWPT算法以能量聚焦度為準則可能出現(xiàn)誤判的情況，如圖1所示，圖中，實心圓點表示存在信號，空心圓表示不存在信號。由圖1（a）可以看出在設定閾值的情況下，經(jīng)過一層分解后，信號位于左子節(jié)點；當分解該子節(jié)點時，信號能量分布在兩個孫子節(jié)點頻帶內(nèi)，則左子節(jié)點的Ecm很可能小于閾值，從而停止分解。若此時進行噪聲抑制和小波包綜合，那濾波效果達不到最佳。

文獻[8]提出的雙重判斷方式，如圖1（b）所示。若某一節(jié)點能量聚焦度小于閾值，那么再進一步判斷其左右子節(jié)點的能量聚焦度，若都小于閾值，則停止分解，否則繼續(xù)分解。由此可以看出雙重判斷克服了單重判斷的誤判問題。

考慮到信號帶寬相對于噪聲帶寬比較窄，那么在分解過程中含有噪聲的子帶占多數(shù)。為終止這些子帶的分解而采用二重或多重判斷必將會增加算法的復雜度和計算量。

圖1 基于能量聚焦度準則的小波分解示意Fig.1 Wavelet decomposition diagram based on ECM

3 UWPT算法改進

3.1 改進原理

由第2節(jié)的分析可以發(fā)現(xiàn)，上述兩種算法存在問題的原因是選擇了能量聚焦度為準則進行判斷節(jié)點是否分解，而能量聚焦度描述了某一節(jié)點與其子節(jié)點間的相對關系，對節(jié)點本身能量分布特點刻畫的并不一定準確。這里采用功率平坦度代替能量聚焦度為準則進行判斷。某一信號x的功率平坦度定義如下：

式中T[x]代表小波包變換或傅里葉變換。功率平坦度同樣考慮單音信號頻譜的尖峰特性和噪聲頻譜的平坦特性。當信號頻率位于某一子帶時，該子帶的功率平坦度將非常高，反之則非常低；當信號頻率位于高、低通子帶交界范圍內(nèi)時，兩個子帶的功率平坦度都比較高。信號頻率變化時，高、低通子帶功率平坦度的變化情況如圖2所示。

參考圖2中高、低通子帶功率平坦度的變化趨勢可以設定合適的閾值進行小波包分解，進而實現(xiàn)側(cè)音信號的精確定位。改進算法的流程圖如圖3所示，與原算法的主要區(qū)別在于改進算法采用功率平坦度為準則判斷某一節(jié)點是否進行分解。

圖2 信號頻率變化時高、低通子帶功率平坦度（fS＝4.092MHz，最大分解層數(shù)＝8）Fig.2 PF of high pass and low pass band with varying frequency （fS＝4.092MHz，decomposition level＝8）

3.2 閾值設定

在UWPT濾波算法，判斷某一節(jié)點是否分解關系到算法的濾波性能，這就是閾值設定問題。由圖2可以看出，信號在某一子帶（高通或低通子帶）時，該子帶的功率平坦度非常大，反之則非常小。所以可以根據(jù)信號的能量分布設定閾值。

圖3 改進UWPT算法流程Fig.3 Scheme of improved UWPT algorithm

首先對信號進行傅里葉變換，選取距峰值較遠的頻帶，此時認為該頻帶內(nèi)不含有信號能量；然后求得該頻帶的功率平坦度PF，以及其標準差σ?？紤]到噪聲的隨機性，根據(jù)統(tǒng)計理論改進算法的閾值可設為PF＋3σ。從上述過程可以看出，閾值的設定不需要任何先驗信息，通用性比較強。

3.3 算法對比

（1）閾值確定問題

基于雙重判斷的UWPT算法需要設置多個閾值，但每個閾值的設定尚未有理論支撐，只能通過多次試驗得到，過程繁瑣且適應性不強。改進算法只需設定一個通用閾值，該閾值的設定是依據(jù)統(tǒng)計學中的3σ準則，所以閾值設置簡單，且理論支撐較強。

（2）算法復雜度

基于雙重判斷的UWPT算法在判斷某一節(jié)點是否繼續(xù)分解時，需要求得該子節(jié)點和其左右子節(jié)點的能量聚焦度，需要3次小波包分解和能量聚焦度判斷，算法復雜，計算量較大。改進算法只需對某一節(jié)點的小波包系數(shù)進行求解，即可判斷是否需要分解，算法簡單，計算量相對較小。

4 仿真分析與實測數(shù)據(jù)處理

4.1 濾波性能評價準則及仿真參數(shù)設置

濾波性能可以選擇信噪比改善（RSNR）[10]和互相關系數(shù)（ρ）[11]等進行評判：

式中X0為理想信號，XNoi為含噪信號，XFilt為濾波信號。信號的信噪比越高，含噪信號與理想信號就越接近，其互相關系數(shù)也就越接近1，所以信噪比改善與互相關系數(shù)都反映了濾波前后信號質(zhì)量的改善程度。

本文選擇 “dB16”小波函數(shù)，最高分解層數(shù)為8；采樣率設為4.096MHz，采樣點數(shù)為4 096；信號為正弦信號，頻率為0.460 4MHz，相位隨機；蒙特卡洛仿真次數(shù)為200。下面從信號時域波形、信噪比改善和互相關系數(shù)以及算法計算量等幾個方面進行對比仿真。

4.2 濾波前后信號頻譜對比

信噪比為6dB時，原濾波算法和改進濾波算法濾波后信號時域波形與理想信號時域波形的對比如圖4所示?？梢钥闯?，經(jīng)過兩種算法處理后，信號在時域更接近理想信號的形式。對比可以發(fā)現(xiàn)改進算法濾波信號與理想信號重合度更高，說明改進算法的濾波性能優(yōu)于雙重判斷濾波算法。

4.3 不同信噪比下濾波效果對比

由圖5上圖可以看出，改進算法在低信噪比時，濾波后信號與原信號的互相關系數(shù)已經(jīng)接近于1，而雙重判斷算法在信噪比等于4dB時互相關系數(shù)才逐漸與改進算法的基本相同，這說明改進算法的信噪比容限要高于雙重判斷算法。

由圖5下圖可以看出，改進判斷算法在仿真信噪比情況下對信號的信噪比都有較大幅度的改善。而雙重判斷算法在信噪比小于4dB時，信噪比改善非常??；特別是信噪比小于2dB時，雙重判斷算法濾波輸出為零，所以[-6，2]dB這段曲線代表的是輸入信號信噪比的倒數(shù)。

圖4 濾波前后時域波形對比Fig.4 Comparison of waveforms in time domain before and after filtering

圖5 不同信噪比下兩種算法濾波性能對比Fig.5 Performance of the two filter algorithms under different SNRs

4.4 計算量對比

經(jīng)過第3.3節(jié)的分析可知，在節(jié)點分解過程中雙重判斷算法與改進判斷算法的算法復雜度和計算量不同。由兩者的算法流程可以看出，這種差異主要體現(xiàn)在判斷準則的計算方面，雙重判斷算法主要是得到三個節(jié)點的能量聚焦度，而改進判斷算法主要是得到節(jié)點的功率不平坦度。這里通過對這兩個過程的耗時仿真說明兩種算法的計算量差異。

考慮到雙重判斷算法在低信噪比時性能較差，這里選擇仿真信噪比區(qū)間為[4，10]dB，結(jié)果如圖6所示?？梢钥闯?，改進判斷算法在各種信噪比下，耗時基本穩(wěn)定；而雙重判斷耗時相對較大，約是改進判斷的2倍。圖6說明了分析的正確性和改進判斷的有效性。

圖6 兩種算法的耗時對比Fig6 Comparison of time-consuming of the two algorithms

4.5 差分相位提取

航天測控DOR信號一般由多個側(cè)音組成，在仿真和實測數(shù)據(jù)處理過程中提取出特定的側(cè)音進行處理，這里采用修正離散傅里葉變換相位差算法[12]對提取的側(cè)音進行差分相位估計。考慮到航天測控DOR信號實際中頻參數(shù)，這里設采樣率為56MHz、正弦信號為頻率14.01MHz、采樣點數(shù)為4 096；兩站相差一個采樣點，即差分相位約為π／4。仿真結(jié)果如圖7所示?？梢钥闯?，經(jīng)過改進UWPT濾波算法處理后差分相位估計性能比濾波前有明顯改善，相位估計均值抖動更小，相位估計精度約提高3倍（低信噪比時提高倍數(shù)稍低，高信噪比時提高倍數(shù)稍高）。

下面采用文中算法對2012年07月某日的在軌衛(wèi)星數(shù)據(jù)進行處理。讀取100段數(shù)據(jù)，每段長32 768（約0.585 14ms）。采樣頻率為56MHz，對數(shù)據(jù)中頻載波的差分相位進行估計，結(jié)果如圖8所示?？梢钥闯?，濾波后差分相位的抖動明顯減小。濾波前數(shù)據(jù)差分相位標準差為0.071 4rad；濾波后數(shù)據(jù)差分相位標準差為0.041 4rad，所以濾波后差分相位估計精度相對提高了0.72倍。

圖7 濾波前后差分相位估計性能對比Fig.7 Comparison of difference phase estimation performance before and after filtering

圖8 濾波前后TL數(shù)據(jù)中頻差分相位估計性能對比Fig.8 Comparison of difference phase estimation performance of TL data before and after filtering

5 結(jié)束語

本文借鑒UWPT在擴頻信號窄帶干擾抑制過程中的應用，將其轉(zhuǎn)化到航天測控信號的濾波處理中。在分析原算法濾波原理的基礎上，發(fā)現(xiàn)其存在因誤判而停止分解或多重分解帶來的計算量大、算法復雜的問題，以此提出了以功率平坦度為判斷準則的改進算法。

分析指出相對于已有的UWPT算法，改進算法具有閾值確定簡單有效、算法復雜度低的特點。仿真結(jié)果表明改進算法在降低算法復雜度的同時，濾波性能有所提高，這證明了分析的正確性和改進的有效性。最后將改進的濾波算法用于仿真信號和天鏈數(shù)據(jù)差分相位提取過程中，差分相位估計精度明顯得到提高。

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